Teorema di Liouville: Dubbio sulle traiettorie per diverse condizioni iniziali

[Nick_931]

Salve ragazzi =) ho un dubbio che si cela dietro il teorema di Liouville. Nello spazio delle fasi, ogni punto rappresenta uno stato di un sistema fisica, e differiscono tra di loro solo per le condizioni iniziali. Ora, se faccio evolvere il sistema per due diversi punti, le traiettorie potranno mai incontrarsi? So che la risposta è no, ma non ho ben chiaro il perchè?

[anonymous_af8479]

Al di là dei motivi matematici, la cosa, secondo me, si potrebbe spiegare intuitivamente. Se due traiettorie nello spazio delle fasi di uno stesso sistema si incontrassero, l'istante successivo avrebbero due possibilità distinte di proseguire e questo in contraddizione col fatto che, date le condizioni iniziali, in MC le traiettorie sono uniche. Può funzionare?

[Nick_931]

Non lo so. Per esempio, ho due gas in due recipienti distinti, che differiscono solo per le condizioni iniziali. Perchè, facendo evolvere questi due stati, a un certo punto della traiettoria non possono continuare nella loro evoluzione allo stesso modo? (Forse ho interpretato male la situazione che si evince dal Teorema )

[anonymous_af8479]

Ops, io mi riferivo ad un sistema deterministico classico ... e per condizioni iniziali intendevo un punto $(q , p)$ ...

[anonymous_af8479]

Per un gas ideale, il punto si muove su una ipersuperficie dello spazio delle fasi per una data temperatura. Se cambio temperatura, cambio ipersuperficie, per cui la traiettoria su di essa non puo' intersecare una traiettoria sull'altra.

[Nick_931]

E se ho due gas ideali che partono da condizioni iniziali diverse (temperature diverse), i due punti che rappresentano i due gas ideali si muovono su ipersuperfici diverse fin quando non raggiungono ugual temperatura, e da quel punto in poi evolvono lungo la stessa ipersuperficie. Dov'è che sbaglio?

[anonymous_af8479]

Secondo me, non puoi prendere due spazi delle fasi distinti per due gas che si mescolano. Essi costituiscono un unico sistema. Poi, qui, ti metti nella situazione assai più complicata dei fenomeni irreversibili ...

[Nick_931]

Forse il mio è proprio un problema concettuale. Io ho un unico spazio delle fasi, sul quale descrivo lo stesso gas, a partire da contizione iniziali diverse. Una traiettoria parte da una temperatura di T1 e un'altra traiettoria parte da una temperatura T2. Le traiettorie perchè non possono entrambe raggiungere la temperatura T3 allo stesso istante, pur partendo da temperature diverse?

[anonymous_af8479]

Se hai un gas isolato a temperatura $T_1$ esso rimane sempre alla stessa temperatura ed il suo punto si muove sempre sulla stessa ipersuperficie.

[Nick_931]

Ok credo di esserci. Se dico che ciò dipende dal fatto che il moto descritto nello spazio delle fasi è di tipo deterministico, quindi ogni punto della traiettoria è giù implicito nelle condizioni iniziali, ed essendo differenti le condizioni iniziali, devono essere differenti anche tutti i punti della traiettoria

[anonymous_af8479]

No

[anonymous_af8479]

Prima di tutto, su cosa stiamo discutendo? Un sistema meccanico o statistico?

[Nick_931]

Vorrei discutere prima l'uno e poi l'altro. (Ma nello spazio delle fasi la loro evoluzione non è descritta per entrambi dalle equazioni di Hamilton? Cioè il gas lo descrivo come un intorno che evolve nello spazio delle fasi)

[anonymous_af8479]

Sì, sotto c'è sempre Hamilton, ma, nella fisica statistica, ci sono anche le variabili macroscopiche di stato, la faccenda della reversibilità ecc. ...

Il caso più semplice è la singola particella classica che descrive una linea nello spazio delle fasi (SDF). Se le condizioni iniziali sono diverse, i punti dello SDF di partenza sono diversi e le traiettorie sono diverse. Supponiamo che poi esse si incontrino in un punto singolo. Se si incontrano in un punto, questo punto costituisce la nuova condizione iniziale dalla quale può partire una singola traiettoria, non due! Il motivo di questo sta nell'unicità della soluzione dell'equazione del moto che è una equazione differenziale del secondo ordine ...

Siamo d'accordo fin qui ?

[Nick_931]

Ok fin qui tutto chiaro!

[anonymous_af8479]

Bene. Passiamo alla fisica statistica nel caso di un gas ideale isolato ed in equilibrio. esso è dotato di variabili microscopiche e macroscopiche. Le prime sono le coordinate e gli impulsi di tutte le particelle e le seconde sono pressione, volume, temperatura.

Anche qui, il sistema è rappresentato da un punto (perché sopra parlavi di dominio?) che si muove nello SDF. Esso descrive una linea complicatissima ed ingestibile, dato dall'enorme numero dei gradi di libertà. Però, se la temperatura è costante, allora l'energia del sistema è costante, per cui il punto si muove sulla ipersuperficie $E = \c\o\s\t\a\n\t\e$ dello SDF.

Se il gas si trova ad un'altre temperatura (sempre in equilibrio) allora il punto rappresentante il sistema si muoverà su un'altra ipersuperficie che, evidentemente, non può intersecare la prima. Se ciò accadesse, avresti alla stessa temperatura due ipersuperficie distinte con la stessa energia, cosa assurda.

Se il sistema non è in equilibrio, allora le trasformazioni sono irreversibili, e qui io non so andare avanti ...

[Nick_931]

Scusami se ritardo a rispondere. Comunque ho riletto tutta la discussione e in effetti il punto cruciale che ora è chiaro è che

Se si incontrano in un punto, questo punto costituisce la nuova condizione iniziale dalla quale può partire una singola traiettoria, non due! Il motivo di questo sta nell'unicità della soluzione dell'equazione del moto che è una equazione differenziale del secondo ordine ...

quindi tutto chiaro (per ora ). Ti ringrazio

[anonymous_af8479]