Teorema di Gauss Sfere concentriche
TESTO DELL'ESERCIZIO:
Un conduttore sferico cavo, di raggio interno R2 = 9cm e raggio esterno R3 = 10 cm, contiene una sfera conduttrice, concentrica di raggio R1 = 5cm su cui è stata depositata una quantità di carica q1 = 10^-9 C. Determinare (supponendo il sistema isolato e induzione completa):
applicando il teorema di Gauss il campo elettrico E(r) ovunque nello spazio in funzione della distanza r dal centro della sfera, in modulo, direzione e verso e dare una rappresentazione grafica di E(r).
Il potenziale elettrico V(r) nei punti solo esterni alla sfera.
successivamente la sfera interna viene posta a contatto con la superficie interna R2, descrivere la situazione all'equilibrio e come varia il campo E(r) ovunque nello spazio.
Ciao a tutti ragazzi, sto svolgendo un esercizio in preparazione all'esame di fisica riguardo il Teorema di Gauss per sfere concentriche. In particolare ho un conduttore sferico cavo composto da tre sfere di raggio R1, R2 ed R3 e con una carica di densità superficiale $ sigma $ depositata sulla sfera di raggio R1. L'esercizio chiede di trovare il campo elettrico in tutti i punti dello spazio, quindi per $ r < R1, R1 <= r < R2, R2 <= r < R3, r >= R3 $ .
Io ho innanzitutto fatto il disegno del conduttore e individuando da subito i punti in cui il campo elettrico è pari a zero, dato che stiamo parlando di un sistema isolato dove vi è induzione completa.
Quindi ho messo:
$ E(r) = 0 $ per $ r < R1, R2 < r
Per $ R1 <= r < R2 $:
$ intE*dA = Q/epsilon $ ed a sua volta $ E(r)*4pir^2 = (sigma*4piR1^2)/epsi $ dove quindi: $ E(r) = (sigma*R1^2)/(epsi*r^2) $
Lo stesso ho fatto per $ r >= R3 $ ovviamente cambiando il raggio. Il dubbio è che sul libro come soluzione di questo esercizio ho che il campo elettrico $ E(r) = (sigma)/(epsi) $ che a sua volta è uguale a: $ E(r) = (Q)/(4piepsir^2) $ .
Come mai? Perchè mi vengono due risultati non concordi?
Vi lascio l'immagine dell'esercizio svolto da me nel caso in cui vi sia d'aiuto:
http://s27.postimg.org/m85uon9r7/IMG_20 ... 115811.jpg
Inoltre come cosa succede a questa domanda?
successivamente la sfera interna viene posta a contatto con la superficie interna R2, descrivere la situazione all'equilibrio e come varia il campo E(r) ovunque nello spazio.
Grazie mille per eventuali aiuti...
Un conduttore sferico cavo, di raggio interno R2 = 9cm e raggio esterno R3 = 10 cm, contiene una sfera conduttrice, concentrica di raggio R1 = 5cm su cui è stata depositata una quantità di carica q1 = 10^-9 C. Determinare (supponendo il sistema isolato e induzione completa):
Ciao a tutti ragazzi, sto svolgendo un esercizio in preparazione all'esame di fisica riguardo il Teorema di Gauss per sfere concentriche. In particolare ho un conduttore sferico cavo composto da tre sfere di raggio R1, R2 ed R3 e con una carica di densità superficiale $ sigma $ depositata sulla sfera di raggio R1. L'esercizio chiede di trovare il campo elettrico in tutti i punti dello spazio, quindi per $ r < R1, R1 <= r < R2, R2 <= r < R3, r >= R3 $ .
Io ho innanzitutto fatto il disegno del conduttore e individuando da subito i punti in cui il campo elettrico è pari a zero, dato che stiamo parlando di un sistema isolato dove vi è induzione completa.
Quindi ho messo:
$ E(r) = 0 $ per $ r < R1, R2 < r
Per $ R1 <= r < R2 $:
$ intE*dA = Q/epsilon $ ed a sua volta $ E(r)*4pir^2 = (sigma*4piR1^2)/epsi $ dove quindi: $ E(r) = (sigma*R1^2)/(epsi*r^2) $
Lo stesso ho fatto per $ r >= R3 $ ovviamente cambiando il raggio. Il dubbio è che sul libro come soluzione di questo esercizio ho che il campo elettrico $ E(r) = (sigma)/(epsi) $ che a sua volta è uguale a: $ E(r) = (Q)/(4piepsir^2) $ .
Come mai? Perchè mi vengono due risultati non concordi?
Vi lascio l'immagine dell'esercizio svolto da me nel caso in cui vi sia d'aiuto:
http://s27.postimg.org/m85uon9r7/IMG_20 ... 115811.jpg
Inoltre come cosa succede a questa domanda?
Grazie mille per eventuali aiuti...
Risposte
Per quanto riguarda il campo, le cariche si dispongono uniformemente su ciascuna superficie, quindi ciascun campo è $ +-q/(4piepsilon_0r^2) bar(u)_r $ e nullo all'interno della rispettiva sfera. Basta sommarli tutti e tre. Il libro intende il campo sulla superficie è pari a $ sigma/epsilon_0 $, cioè $bar(E)(R_1) $che infatti hai calcolato correttamente.
Infine se i conduttori sono a contatto le cariche si elidono fluendo tra il primo conduttore e la faccia interna del secondo, equivalentemente il potenziale deve ora essere costante tra i due, e quindi la differenza di potenziale tra loro è nulla. Il campo nella cavità risulta quindi nullo. Al di fuori la carica $ q $ sulla superficie esterna non varia ed è sempre uniformemente distribuita realizzando già la condizione di contributo di campo nullo all'interno del conduttore. Per cui all'esterno il campo è inalterato. Questo è l'effetto di schermo elettrostatico, cioè il campo all'interno è variato (annullandosi) ma all'esterno no.
Infine se i conduttori sono a contatto le cariche si elidono fluendo tra il primo conduttore e la faccia interna del secondo, equivalentemente il potenziale deve ora essere costante tra i due, e quindi la differenza di potenziale tra loro è nulla. Il campo nella cavità risulta quindi nullo. Al di fuori la carica $ q $ sulla superficie esterna non varia ed è sempre uniformemente distribuita realizzando già la condizione di contributo di campo nullo all'interno del conduttore. Per cui all'esterno il campo è inalterato. Questo è l'effetto di schermo elettrostatico, cioè il campo all'interno è variato (annullandosi) ma all'esterno no.
"luc.mm":
Per quanto riguarda il campo, le cariche si dispongono uniformemente su ciascuna superficie, quindi ciascun campo è $ +-q/(4piepsilon_0r^2) bar(u)_r $ e nullo all'interno della rispettiva sfera. Basta sommarli tutti e tre. Il libro intende il campo sulla superficie è pari a $ sigma/epsilon_0 $, cioè $bar(E)(R_1) $che infatti hai calcolato correttamente.
Infine se i conduttori sono a contatto le cariche si elidono fluendo tra il primo conduttore e la faccia interna del secondo, equivalentemente il potenziale deve ora essere costante tra i due, e quindi la differenza di potenziale tra loro è nulla. Il campo nella cavità risulta quindi nullo. Al di fuori la carica $ q $ sulla superficie esterna non varia ed è sempre uniformemente distribuita realizzando già la condizione di contributo di campo nullo all'interno del conduttore. Per cui all'esterno il campo è inalterato. Questo è l'effetto di schermo elettrostatico, cioè il campo all'interno è variato (annullandosi) ma all'esterno no.
Non riesco proprio a capire perchè il campo è uguale a $ +-q/(4piepsilon_0r^2) bar(u)_r $ e non a quello da me trovato tra R1 < r < R2... io ho utilizzato gauss per trovare il campo tra le due superfici e ho comunque due raggi da considerare nella formula... perchè sbaglio?
Non sbagli ma non ti ricordi la relazione $ q=sigma 4pi epsilon_0R_1^2$. Sono due modi di scrivere la stessa formula.
"luc.mm":
Non sbagli ma non ti ricordi la relazione $ q=sigma 4pi epsilon_0R_1^2$. Sono due modi di scrivere la stessa formula.
Ok, ma se io sostituisco:
$ E(r) = (sigma*R^2)/(epsilon*r^2) $
$ q = sigma*A $ dove A è l'area della sfera ovvero $4piR^2$
come come è possibile che sia la stessa cosa?
$ q= sigma A $ equivale a $ sigma=q/A $ e quindi $ E(r)=(qR^2)/(Aepsilon_0 r^2)=q/(4pi epsilon_0 r^2) $
"luc.mm":
$ q= sigma A $ equivale a $ sigma=q/A $ e quindi $ E(r)=(qR^2)/(Aepsilon_0 r^2)=q/(4pi epsilon_0 r^2) $
Adesso ho Capito! Grazie mille
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