Teorema di Coulomb e condensatori piani
Ciao a tutti,
è da un po' di giorni che mi sto scervellando con il seguente problema. Cercherò di dividerlo in più punti, così da facilitare la comprensione delle mie incomprensioni.
1 Dal teorema di Coulomb, risulta che il campo elettrico generato dalla carica presente sulla superficie di un conduttore è, in prossimità di questa :
$ vecE = sigma/epsilon_0 vecu_n $
ed è nullo al suo interno.
2 Per una superficie carica infinita (superficie -> con spessore nullo) sappiamo che giocando con il teorema di Gauss per il campo elettrico, troviamo la discontinuità del campo al passaggio della superficie :
$ DeltaE = sigma/epsilon_0 $
quindi in entrambi i lati, avrò un campo con modulo:
$ E = sigma/{2epsilon_0} $
3 Se ora consideriamo due superfici a distanza h l'una dall'altra (come descritte nel punto 2), una con carica superficiale uniforme $ sigma $ e l'altra $ -sigma $, risulta immediato verificare che tra le due superfici il campo elettrico vale:
$ E = sigma/{epsilon_0} $
mentre all'esterno è nullo.
4 Prendendo una lastra conduttrice carica e infinita (lastra ->spessore->due superfici) e partendo dal punto 2, riesco ad arrivare al punto 1; ovvero:
sommando i contributi delle due superfici del conduttore, il campo elettrico interno alla lastra conduttrice è nullo mentre all'esterno, sia a destra che a sinistra del conduttore, risulta:
$ E = sigma/{epsilon_0} $
ED ECCO IL PROBLEMA
Prendiamo due lastre come descritte al punto 4:
sommando i contributi come è stato fatto nel punto 3, arriviamo alla doppia contraddizione:
esterno.....lastra.....interno.....lastra.....esterno
$ E=0 |E=sigma/epsilon_0|E={2sigma}/epsilon_0|E=sigma/epsilon_0|E=0 $
Doppia contraddizione perché : dentro alle lastre il campo dovrebbe essere nullo e tra le due dovrebbe valere $ sigma/epsilon_0 $
Anche cambiando il mio ragionamento, sono arrivato al massimo ad avere campo nullo dentro le lastre, ma $ {2sigma}/epsilon_0 $ tra le due.
Quello che non riesco a capire veramente è : anche se avessi due lastre infinitamente distanti l'una dall'altra, non potrei avere la condizione dei punti 1 e 4.
Sapreste spiegarmi dove sbaglio in modo rigoroso (sono un po' un tontolone a volte).
Grazie mille
è da un po' di giorni che mi sto scervellando con il seguente problema. Cercherò di dividerlo in più punti, così da facilitare la comprensione delle mie incomprensioni.
1 Dal teorema di Coulomb, risulta che il campo elettrico generato dalla carica presente sulla superficie di un conduttore è, in prossimità di questa :
$ vecE = sigma/epsilon_0 vecu_n $
ed è nullo al suo interno.
2 Per una superficie carica infinita (superficie -> con spessore nullo) sappiamo che giocando con il teorema di Gauss per il campo elettrico, troviamo la discontinuità del campo al passaggio della superficie :
$ DeltaE = sigma/epsilon_0 $
quindi in entrambi i lati, avrò un campo con modulo:
$ E = sigma/{2epsilon_0} $
3 Se ora consideriamo due superfici a distanza h l'una dall'altra (come descritte nel punto 2), una con carica superficiale uniforme $ sigma $ e l'altra $ -sigma $, risulta immediato verificare che tra le due superfici il campo elettrico vale:
$ E = sigma/{epsilon_0} $
mentre all'esterno è nullo.
4 Prendendo una lastra conduttrice carica e infinita (lastra ->spessore->due superfici) e partendo dal punto 2, riesco ad arrivare al punto 1; ovvero:
sommando i contributi delle due superfici del conduttore, il campo elettrico interno alla lastra conduttrice è nullo mentre all'esterno, sia a destra che a sinistra del conduttore, risulta:
$ E = sigma/{epsilon_0} $
ED ECCO IL PROBLEMA
Prendiamo due lastre come descritte al punto 4:
sommando i contributi come è stato fatto nel punto 3, arriviamo alla doppia contraddizione:
esterno.....lastra.....interno.....lastra.....esterno
$ E=0 |E=sigma/epsilon_0|E={2sigma}/epsilon_0|E=sigma/epsilon_0|E=0 $
Doppia contraddizione perché : dentro alle lastre il campo dovrebbe essere nullo e tra le due dovrebbe valere $ sigma/epsilon_0 $
Anche cambiando il mio ragionamento, sono arrivato al massimo ad avere campo nullo dentro le lastre, ma $ {2sigma}/epsilon_0 $ tra le due.
Quello che non riesco a capire veramente è : anche se avessi due lastre infinitamente distanti l'una dall'altra, non potrei avere la condizione dei punti 1 e 4.
Sapreste spiegarmi dove sbaglio in modo rigoroso (sono un po' un tontolone a volte).
Grazie mille
Risposte
Non ho capito tanto bene, però mi pare che consideri uguali la situazione 3 e 4: solo che in 3 le due superfici hanno cariche OPPOSTE, in 4 cariche UGUALI.
Ora, con cariche opposte, si ha che solo fra le due superfici i campi (uguali in modulo) hanno lo stesso verso e si sommano, quindi campo diverso da zero in mezzo e zero fuori
Mentre, con cariche uguali, è il contrario: campi di verso opposto fra le due, quindi nullo, e concordi fuori
Ora, con cariche opposte, si ha che solo fra le due superfici i campi (uguali in modulo) hanno lo stesso verso e si sommano, quindi campo diverso da zero in mezzo e zero fuori
Mentre, con cariche uguali, è il contrario: campi di verso opposto fra le due, quindi nullo, e concordi fuori
Ciao e grazie per aver risposto così in fretta
Comunque no, non considero 3 e 4 come la stessa cosa, infatti ho scritto quello che hai detto tu.
il mio problema è che se vado a studiare il campo all'interno di un condensatore costituito da due superfici (con spessore 0), ottengo il classico risultato
$ E_text(esterno)=0|E_text{tra le superfici}= sigma/epsilon_0|E_text(esterno)=0 $
e qui tutto ok.
Se però vado a fare gli stessi identici ragionamenti per trovare il campo tra le superfici di un condensatore avente le due armature con spessore finito, il campo tra le superfici interne alle armature è:
$ E_text{tra le superfici}={2sigma}/epsilon_0 $
Ma OVUNQUE (libri e internet) risulta che il campo tra le superfici deve essere
$ E_text{tra le superfici}= sigma/epsilon_0 $
Non riesco a capire dove sta l'errore.
È più chiaro così?
Grazie per l'attenzione
Comunque no, non considero 3 e 4 come la stessa cosa, infatti ho scritto quello che hai detto tu.
il mio problema è che se vado a studiare il campo all'interno di un condensatore costituito da due superfici (con spessore 0), ottengo il classico risultato
$ E_text(esterno)=0|E_text{tra le superfici}= sigma/epsilon_0|E_text(esterno)=0 $
e qui tutto ok.
Se però vado a fare gli stessi identici ragionamenti per trovare il campo tra le superfici di un condensatore avente le due armature con spessore finito, il campo tra le superfici interne alle armature è:
$ E_text{tra le superfici}={2sigma}/epsilon_0 $
Ma OVUNQUE (libri e internet) risulta che il campo tra le superfici deve essere
$ E_text{tra le superfici}= sigma/epsilon_0 $
Non riesco a capire dove sta l'errore.
È più chiaro così?
Grazie per l'attenzione
Ma tu come te le immagini distribuite le cariche in un condensatore con lastre spesse? + e + su una lastra, - e - sull'altra?
O + e - su entrambe? Ma nessuna delle due è accettabile (perchè?)
A mio parere, la distribuzione è questa
Suppongo se se prendi questa configurazione ti torni tutto. O no?
O + e - su entrambe? Ma nessuna delle due è accettabile (perchè?)
A mio parere, la distribuzione è questa
Suppongo se se prendi questa configurazione ti torni tutto. O no?
Certo, certo.
Però anche qui non mi torna una cosa: è ovvio che la distribuzione finale è questa, ma come ci si arriva matematicamente?
Nel senso che nell'altro esempio, quello con solo due superfici, tramite somma vettoriale si arriva alla soluzione, mentre in questo se parto dal teorema di Coulomb, non riesco ad arrivare a questa distribuzione finale.
Forse in questo caso non bisogna considerare il suddetto teorema ?
Ti chiedo scusa se ti sto stressando ahahah
Però anche qui non mi torna una cosa: è ovvio che la distribuzione finale è questa, ma come ci si arriva matematicamente?
Nel senso che nell'altro esempio, quello con solo due superfici, tramite somma vettoriale si arriva alla soluzione, mentre in questo se parto dal teorema di Coulomb, non riesco ad arrivare a questa distribuzione finale.
Forse in questo caso non bisogna considerare il suddetto teorema ?
Ti chiedo scusa se ti sto stressando ahahah
In effetti non mi pare il caso di usare il teorema di Coulomb quando c'è il teorema di Gauss tanto comodo.
Usando questo, vedi subito che in presenza di cariche sulle facce A e D il campo all'interno delle lastre non è nullo, quindi...
Usando questo, vedi subito che in presenza di cariche sulle facce A e D il campo all'interno delle lastre non è nullo, quindi...
Probabilmente il tuo problema è stato affrontato in questa discussione:
viewtopic.php?f=19&t=169123#p8249701
viewtopic.php?f=19&t=169123#p8249701
GRAZIE MILLE, ora è tutto chiaro.
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