Teorema di Clausius

[wanderer1]

Salve,
avrei una domanda da porvi di teoria. Il teorema di Clausius, nel caso del ciclio irreversibile, sul mio libro è riportato come:

$ oint {d Q_{irr}}/T < 0$

Mentre un attimo prima, per il secondo principio della termodinamica, si era dimostrato semplicemente che:

$ oint {d Q}/T <= 0$

Il mio libro non giustifica questo passaggio, affermando che "a rigore" nel caso della trasformazione irreversibile si mantiene il minore o uguale. Io invece mi chiedo se vi sia una dimostrazione rigorosa del perché si possa mettere lo strettamente minore invece del minore o uguale. Anche perché molte altre fonti, tra cui il mio professore, lo riportano con il segno strettamente minore.
Grazie infinite

[ariels.boiardi]

Ciao, premetto che non ho mai scritto sul forum, e che non sono del tutto certo che la riposta sia esatta; in ogni caso provo.

La quantità $ \oint {\delta Q}/T $ che compare nel teorema di Clausius viene direttamente dal teorema di Carnot, il quale asserisce che:

Il rendimento di tutte le macchine termiche reversibili che operino fra due sorgenti a temperature $T_1$ e $T_2$ vale $$\eta_c=1-\frac{T_1}{T_2}$$
Nessuna macchina che operi fra le stesse temperature può avere rendimento maggiore, i.e. $$\eta<\eta_c$$
[/list:u:1gpclfcn]

Riscrivendo l'efficienza in funzione dei calori scambiati, come da definizione, si ottiene che per una macchina termica reversibile: $$\frac{Q_1}{T_1}+\frac{Q_2}{T_2}=0$$
Mentre per una macchina irreversibile, siccome l'efficienza è sicuramente minore di quella della macchina reversibile (in pratica il teorema di Carnot dice che, come ovvio, la macchina reversibile è quella che meglio sfrutta l'energia fornita come calore), si ha che vale il minore stretto:$$\frac{Q_1}{T_1}+\frac{Q_2}{T_2}<0$$

Ora, riportando tutto ciò ad infinitesimi come ha fatto Clausius (chiedo scusa ma ho un esame fra pochi giorni e non riesco a scrivere tutti i passaggi), si ottiene che per un ciclo reversibile la somma infinita dei calori infinitesimi scambiati (l'integrale) è nulla, ovvero $$ \oint \frac{\delta Q}{T} = 0 $$
Se invece il ciclo è irreversibile, anche in questo caso vale il minore stretto: $$ \oint \frac{\delta Q_{irr}}{T} < 0 $$

Pertanto in generalissimo istanza vale:$$ \oint \frac{\delta Q}{T} \leq 0 $$

[wanderer1]

"ariels.boiardi":
Nessuna macchina che operi fra le stesse temperature può avere rendimento maggiore, i.e. $$\eta<\eta_c$$

Ciao,
Secondo me si torna sempre allo stesso problema. Anche il teorema di Carnot dimostra la relazione tra i rendimenti con il segno minore uguale. $$\eta \leq \eta_c$$ Infatti afferma, come hai riportato anche te, che nessuna macchina [...] può avere rendimento maggiore, non specifica però che debba avere rendimento strettamente minore nel caso in cui sia irreversibile...

[ariels.boiardi]

Vero, in effetti che nel caso irreversibile il minore sia stretto viene un po' dato come assunto, non ho trovato dimostrazioni neanche andando a risciogliare le dispense di Fisica 1. Diciamo che preso per buono questo fatto, cioè che $\eta_{irr} < \eta_c$ dovrebbe venire tutto abbastanza bene. Per questo però non saprei, forse qualcuno che ne sa più di me potrà dire la sua.