Teorema dell'immagini dimostrazione

[Ahi1]

Ciao a tutti!
Sto guardando gli appunti di campi e ho appena finito di dimostrare il teorema delle immagini. Solo che ad un certo punto il professore inizia un altro discorso che non ho capito a cosa si riferisce (penso sempre al teorema delle immagini). Ci sono dei passaggi che non ho capito.

Allora viene preso un conduttore elettrico perfetto (PEC) per cui si sa che:

$hatn x vecE = 0$ e quindi $vecE = vecE_x*hatx + vecE_y*haty + vecE_z*hatz$

ad un certo punto fa questa posizione $hatn = hatz$ (perché fa ciò? Cosa vuole dimostrare?) e si ha:

$hatz x vecE = 0$ e quindi $vec E = vecE_x hatz x hatx + vecE_y hatz x haty$ $=>$ $vecE_x*haty-vecE_yhatx = 0$ perché esce quel meno? Il resto so perché viene così per le proprietà cicliche.
Quindi le componenti tangeziali si devono annullare se ho un CEP. Ecco perché è importante per il teorema delle immagini?

Continuando dopo viene rimosso il piano conduttore e vengono messe le cariche immagini e si ha: $vecE_(tot)=vec(E)+vec(E')$
dove $vecE'$ è dato dalle sorgenti immagini. Ora se sono verificate le condizioni a contorno anche la somma, poiché le eq di maxwell sono lineari, verifica la condizione al contorno. Da cui si scrive:

$vecE_(tot) (x,y,0,t) = vecE (x,y,0,t) + vecE" (x',y',0,t) = vecE (x,y,0,t) + vecE" (x,y,0,t)$

$vecE_(tot) x = vecE_x (x,y,0,t) + vecE_x' (x',y',0,t) = vecE_x (x,y,0,t) - vecE_x' (x,y,0,t) = 0$
$vecE_(tot) y = vecE_y (x,y,0,t) + vecE_y' (x',y',0,t) = vecE_y (x,y,0,t) + vecE_y' (x,y,0,t) = vecE_y (x,y,0,t) - vecE_y (x,y,0,t)=0$

questi passaggi non li ho capiti...sarà la tarda notte ma non riesco a capirli

[raff5184]

a parte gli errori sulle x e y nell'ultimo passaggio viene 'meno' perché $hatzXhaty=$-$hatx$

regola della mano destra