Teorema dell'energia cinetica. Esercizio.

[Antonio_80]

Il sistema di figura è formato da due punti materiali di ugual massa $m$ vincolati mediante un filo inestensibile di massa trascurabile. Una forza $F = Fi$ incognita è applicata al punto $A$. Detta $x$ l'ascissa del punto $A$, si chiede di:
(1) scrivere l'energia cinetica del sistema in funzione di $x$ e $dot(x)$;
(2) calcolare la potenza della forza $F$ affinchè il punto $A$ si muova con velocità costante $v_0$
(3) nelle condizioni del punto precedente, calcolare la forza $F$ che garantisce tale moto.

Vorrei fare un buon ragionamento in merito a questo esercizio, potreste per favore darmi qualche consiglio?

[Falco5x]

Punto 1)
L'energia cinetica di A dipende solo dalla sua velocità orizzontale. Riguardo a B la sua energia cinetica dipende solo dalla sua velocità verticale, la quale però dipende sia dalla velocità orizzontale che dalla posizione di A. Devi fare in modo che l'energia cinetica totale figuri come funzione della posizione e della velocità di A.
Punto 2)
La potenza è la derivata temporale dell'energia totale di A+B, quindi non solo dell'energia cinetica di A+B già calcolata ma anche dell'energia potenziale di B che aumenta all'aumentare della posizione di A. Questa derivata va espressa solo in funzione della posizione e della velocità di A, la quale velocità va mantenuta però costante, quindi alla fine dipenderà solo dalla posizione di A mentre la sua velocità dovrà comparire nella formula come un parametro costante.
Punto 3)
La forza si ottiene dividendo la potenza per la velocità di A (costante).

[Antonio_80]

Ok Falco, per il punto 1) sono arrivato alla conclusione che l'energia cinetica sia $U = 1/2mdot(x) * (2x^2+h^2)/(x^2+h^2)$, e quindi ci siamo, ma per il punto 2), dove sei stato chiaro, non mi viene in mente come calcolare la potenza della forza $F$ affinchè il punto $A$ si muova con velocità costante $v_0$

Come si deve fare?

Se ho la velocità $v_A = v_B = (xdot(x))/(sqrt(x^2+h^2))$.
Io so dalla teoria che la potenza $Pi = F*v$, che si tratta della potenza di tutte le forze in gioco in un sistema!

Come faccio a calcolare questa potenza?

[Falco5x]

Prima di tutto nell'energia cinetica hai dimenticato un quadrato

$${E_k} = \frac{1}
{2}m\left( {1 + \frac{{{x_A}^2}}
{{{x_A}^2 + {h^2}}}} \right){{\dot x}_A}^2$$

Poi la velocità del punto B è giusta ma non è uguale a quella del punto A, che è invece ovviamente $\dot x_A$.
Ma presumo che queste siano solo delle sviste.

Riguardo alla potenza: noi dobbiamo calcolare quale potenza si debba applicare al punto A per tirare il sistema a velocità costante. Ma noi sappiamo che la potenza è l'energia spesa (cioè il lavoro) nell'unità di tempo.
Allora per prima cosa dobbiamo scrivere la formula dell'energia in funzione della posizione e velocità del punto A. Quella dell'energia cinetica l'hai già scritta, a questa basta aggiungere l'energia potenziale, sempre in funzione dell'ascissa di A. Fatto questo, siccome la velocità di A deve essere costante, al posto di $\dot x_A$ scrivi $v_0$, così nei calcoli successivi non rischierai di considerarla una variabile, perché in realtà deve essere un valore fisso, un parametro insomma.
Fatto ciò hai l'energia totale in funzione solo di $x_A$ (perché la velocità è stata impostata in modo fisso).
La potenza dunque non è altro che il ritmo di aumento nel tempo di questa energia, ovvero la derivata temporale. Non resta pertanto che fare la derivata temporale della funzione dell'energia totale, fatto il calcolo sostituire nuovamente la $\dot x_A$ con $v_0$, ed ecco la formula della potenza, che pertanto sarà solo funzione di $x_A$.
Infine dividendo per $v_0$ avremo il valore della forza.

[Antonio_80]

Quindi, l'Energia totale è data dalla seguente:

$E = K - U$

uso però la $E_k$ al posto di $K$ per indicare l'energia cinetica, $U$ l'energia potenziale, quindi:

$E = E_k - U$

$E = 1/2mdot(x)^2 * ((2x^2+h^2)/(x^2+h^2))^2 - mgx$


$E = 1/2mv_0^2 * ((2x^2+h^2)/(x^2+h^2))^2 - mgx$

tralasci i pedici in quanto è scontato di cosa stiamo parlando.

Adesso se voglio calcolare la potenza che è dettata dalla seguente formula:

$P = (dW)/(dt)$

cioè la derivata del lavoro $W$ sul tempo $dt$.

Adattata al caso è:

$P = (dE) /(dt)$

$P = (d(1/2mv_0^2 * ((2x^2+h^2)/(x^2+h^2))^2 - mgx)) /(dt)$

Adesso devo però calcolare la derivata

$(d(1/2mv_0^2 * ((2x^2+h^2)/(x^2+h^2))^2 - mgx)) /(dt)$

io so calcolare perfettamente le derivate, ma in questa formula che ho scritto, penso che le variabili tempo sono contenute nelle $x$ e nella $v$ e nella $h$, vero?

Insomma se devo fare la derivata di questa formula rispetto al tempo, come devo fare?

[Falco5x]

Prima di procedere vorrei farti notare un paio di errori.
L'energia totale è la somma dell'energia cinetica più l'energia potenziale, non capisco perché hai messo il segno meno.
E in ogni caso l'energia potenziale non è quella che hai scritto, ma è questa:

$${E_p} = mg{y_B} = mg\left( {h + \sqrt {{x_A}^2 + {h^2}} - L} \right)$$

dove con L ho indicato la lunghezza del filo. Questa lunghezza non influirà sul bilancio della potenza perché essendo costante derivando sparirà. Serve solo per impostare correttamente il problema.

Allora l'energia totale è:

$$E = {E_k} + {E_p} = \frac{1}
{2}m\left( {1 + \frac{{{x_A}^2}}
{{{x_A}^2 + {h^2}}}} \right){v_0}^2 + mg\left( {h + \sqrt {{x_A}^2 + {h^2}} - L} \right)$$

Come puoi notare ho scritto $v_0$ al posto di $\dot x_A$ proprio perché quando tu deriverai questa funzione nel tempo dovrai considerare questa $v_0$ una costante e non una funzione del tempo.
Naturalmente derivando la $x_A$ tornerà fuori la $\dot x_A$ che tu dopo sostituirai di nuovo con $v_0$.

In definitiva si ha:

$$P = \frac{{dE}}
{{dt}} = \frac{1}
{2}m{v_0}^2\frac{{2{x_A}{h^2}}}
{{{{\left( {{x_A}^2 + {h^2}} \right)}^2}}}{v_0} + mg\frac{{{x_A}}}
{{\sqrt {{x_A}^2 + {h^2}} }}{v_0} = m{v_0}\frac{{{x_A}}}
{{\sqrt {{x_A}^2 + {h^2}} }}\left( {\frac{{{h^2}{v_0}^2}}
{{{{\left( {{x_A}^2 + {h^2}} \right)}^{\frac{3}
{2}}}}} + g} \right)$$