Teorema dell'energia cinetica e sistemi inerziali
Ho un dubbio relativo al teorema dell'energia cinetica, che afferma:
$W_(AB)$ $=$ $1/2 m v_B^2-1/2 m v_A^2$
Il problema è sorto, a mio vedere, dal fatto che a seconda del sistema di riferimento il lavoro di una forza varia! Per quanto so io, a seconda del sistema di riferimento variano le posizioni, le velocità e le accelerazioni, ma non le forze; quindi secondo la definizione di lavoro, esso dovrebbe sempre essere lo stesso, almeno in un sistema inerziale (anche perchè ad esempio il lavoro, se definito come differenza di energia potenziale, essendo essa definita a meno di costanti additive, $W_(AB)$ rimane costante in un sistema inerziale). Però in questo caso, supponendo che ad esempio l'osservatore di un sistema inerziale che si muove con velocità relativa rispetto al primo maggiore di $v_0$, si avrebbe:
$W_(AB)$ $=$ $1/2 m (v_B+v_0)^2-1/2 m (v_A+v_0)^2$
che con semplici calcoli risulta essere diverso dal lavoro calcolato prima.
Dove sbaglio??
Grazie in anticipo.
$W_(AB)$ $=$ $1/2 m v_B^2-1/2 m v_A^2$
Il problema è sorto, a mio vedere, dal fatto che a seconda del sistema di riferimento il lavoro di una forza varia! Per quanto so io, a seconda del sistema di riferimento variano le posizioni, le velocità e le accelerazioni, ma non le forze; quindi secondo la definizione di lavoro, esso dovrebbe sempre essere lo stesso, almeno in un sistema inerziale (anche perchè ad esempio il lavoro, se definito come differenza di energia potenziale, essendo essa definita a meno di costanti additive, $W_(AB)$ rimane costante in un sistema inerziale). Però in questo caso, supponendo che ad esempio l'osservatore di un sistema inerziale che si muove con velocità relativa rispetto al primo maggiore di $v_0$, si avrebbe:
$W_(AB)$ $=$ $1/2 m (v_B+v_0)^2-1/2 m (v_A+v_0)^2$
che con semplici calcoli risulta essere diverso dal lavoro calcolato prima.
Dove sbaglio??
Grazie in anticipo.
Risposte
Le forze rimangono uguali tra sistemi ma il lavoro no perchè, come dicevi sopra, lo spostamento cambia.
Le forze non cambiano ma gli spostamenti sì, dunque il lavoro dipende dal sistema di riferimento.
Perché tanta meraviglia?
Se nel sistema in movimento una forza esegue uno spostamento dal punto A al punto B, la distanza tra questi due punti è diversa rispetto a quella misurata nel sistema fisso, dunque è diverso il lavoro, e questo è coerente con quello che succede in pratica.
Prendiamo ad esempio un treno che viaggia a velocità costante di 9 m/s. Sul treno c'è una cassa di massa 100 kg appoggiata su un carrello senza attrito e un operaio la deve spingere nella direzione del moto in modo da farle raggiungere la velocità relativa di 1m/s. Dunque l'operaio impiega un lavoro di 1/2x100x1=50J nel sistema "treno" (trascuriamo il fatto che anche l'operaio ha una sua massa corporea).
Se però consideriamo la cosa nel sistema "terra", la velocità della cassa viene fatta passare da 9 m/s a 10m/s, dunque il lavoro impiegato nel sistema fisso sembra essere 1/2x100x(100-81)=950J. E' coerente tutto ciò? l'operaio ha consumato in effetti solo 50 J, gli altri 900 J nel sistema fisso da dove vengono? c'è forse un errore nel ragionamento?
La risposta è nel fatto che poiché l'operaio per spingere la cassa esercita una spinta all'indietro con le scarpe sul pavimento del treno, questa spinta tenderebbe a far rallentare il treno, dunque il motore del treno per mantenere la velocità costante deve applicare un'energia aggiuntiva di 900 J, corrispondente al lavoro aggiuntivo che fa il treno per spingere le scarpe dell'operaio che spinge la cassa.
Per mettere dei numeri supponiamo che l'operaio spinga con una forza di 100 N (pertanto con accelerazione pari a 1): deve dunque spingere per un tempo pari a 1 secondo. In questo secondo il treno percorre 9 metri, dunque il treno spinge le scarpe dell'operaio per 9 metri con una forza di 100 N, quindi fa il lavoro di 900 N, come detto già.
Questo è solo un esempio perché sarebbe risultato lo stesso lavoro anche se l'operaio avesse applicato una forza diversa, ferma restando la velocità finale.
Esempi di questo tipo se ne possono inventare quanti se ne vogliono per convincersi che il lavoro cambia se i sistemi di riferimento sono in moto relativo tra loro.
Perché tanta meraviglia?
Se nel sistema in movimento una forza esegue uno spostamento dal punto A al punto B, la distanza tra questi due punti è diversa rispetto a quella misurata nel sistema fisso, dunque è diverso il lavoro, e questo è coerente con quello che succede in pratica.
Prendiamo ad esempio un treno che viaggia a velocità costante di 9 m/s. Sul treno c'è una cassa di massa 100 kg appoggiata su un carrello senza attrito e un operaio la deve spingere nella direzione del moto in modo da farle raggiungere la velocità relativa di 1m/s. Dunque l'operaio impiega un lavoro di 1/2x100x1=50J nel sistema "treno" (trascuriamo il fatto che anche l'operaio ha una sua massa corporea).
Se però consideriamo la cosa nel sistema "terra", la velocità della cassa viene fatta passare da 9 m/s a 10m/s, dunque il lavoro impiegato nel sistema fisso sembra essere 1/2x100x(100-81)=950J. E' coerente tutto ciò? l'operaio ha consumato in effetti solo 50 J, gli altri 900 J nel sistema fisso da dove vengono? c'è forse un errore nel ragionamento?
La risposta è nel fatto che poiché l'operaio per spingere la cassa esercita una spinta all'indietro con le scarpe sul pavimento del treno, questa spinta tenderebbe a far rallentare il treno, dunque il motore del treno per mantenere la velocità costante deve applicare un'energia aggiuntiva di 900 J, corrispondente al lavoro aggiuntivo che fa il treno per spingere le scarpe dell'operaio che spinge la cassa.
Per mettere dei numeri supponiamo che l'operaio spinga con una forza di 100 N (pertanto con accelerazione pari a 1): deve dunque spingere per un tempo pari a 1 secondo. In questo secondo il treno percorre 9 metri, dunque il treno spinge le scarpe dell'operaio per 9 metri con una forza di 100 N, quindi fa il lavoro di 900 N, come detto già.
Questo è solo un esempio perché sarebbe risultato lo stesso lavoro anche se l'operaio avesse applicato una forza diversa, ferma restando la velocità finale.
Esempi di questo tipo se ne possono inventare quanti se ne vogliono per convincersi che il lavoro cambia se i sistemi di riferimento sono in moto relativo tra loro.
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