Teorema della divergenza
in fisica abbiamo trattato il t della divergenza, che già avevo visto ad analisi 2. non riesco a capire bene il significato fisico dell'espressione $ = rho / epsilon_0$ (ricordo che sono nell'ambito dell'elettrostatica, quindi E è il campo elettrico, rho la densità volumica di carica). ho già cercato in alcuni topic di questo sito, ma non ho trovato niente che mi renda un po' meno antipatica l'astrazione che dovrei fare. in particolare, perchè si dice che nei punti in cui la densità (e quindi la divergenza di E) tende ad infinito, il campo diverge? e poi, dire che il campo diverge cosa significa?
grazie..
grazie..
Risposte
quella che hai scritto è una delle equazioni di Maxwell per il campo elettrico, il teorema della divergenza ti serve eventualmente per dimostrarla...
per il teorema della divergenza dovresti postare nella sezione di Analisi...
Non ho capito bene di che astrazione parli, ma comunque provo a rispondere,
secondo me i passi principali sono 3:
-Diciamo di piazzare una carica nello spazio, l'ipotesi fisica è che esiste un campo [tex]E[/tex] tale da giustificare la "forza elettrica" che si vede in laboratorio
-Si può dimostrare che il flusso di questo campo attraverso una superficie chiusa dipende dalle cariche all'interno della superficie diviso una costante (Teorema di Gauss)
-Da quest'ultimo teorema, mediante il teorema della divergenza vedi che [tex]\nabla E=\frac{\rho}{\epsilon_0}[/tex]
Prendiamo la regione [tex]A\subset \mathbb{R}^3[/tex]. Sia [tex]\rho[/tex] infinita su un sottoinsieme di misura non nulla [tex]B\subset A[/tex].
Adesso se ti vai a fare il flusso uscente da [tex]A[/tex], usando il teorema della divergenza trovi che è infinito a causa del contributo della regione [tex]B[/tex]...
La divergenza è un artificio matematico, intuitivamente la divergenza rappresenta quanto il campo "fugge" da quel punto,
infatti integrata la divergenza su una regione ottieni un flusso...
Accanto all'intuito però conserva ragionamenti formali...
Non ho capito bene di che astrazione parli, ma comunque provo a rispondere,
secondo me i passi principali sono 3:
-Diciamo di piazzare una carica nello spazio, l'ipotesi fisica è che esiste un campo [tex]E[/tex] tale da giustificare la "forza elettrica" che si vede in laboratorio
-Si può dimostrare che il flusso di questo campo attraverso una superficie chiusa dipende dalle cariche all'interno della superficie diviso una costante (Teorema di Gauss)
-Da quest'ultimo teorema, mediante il teorema della divergenza vedi che [tex]\nabla E=\frac{\rho}{\epsilon_0}[/tex]
Prendiamo la regione [tex]A\subset \mathbb{R}^3[/tex]. Sia [tex]\rho[/tex] infinita su un sottoinsieme di misura non nulla [tex]B\subset A[/tex].
Adesso se ti vai a fare il flusso uscente da [tex]A[/tex], usando il teorema della divergenza trovi che è infinito a causa del contributo della regione [tex]B[/tex]...
La divergenza è un artificio matematico, intuitivamente la divergenza rappresenta quanto il campo "fugge" da quel punto,
infatti integrata la divergenza su una regione ottieni un flusso...
Accanto all'intuito però conserva ragionamenti formali...
prima di tutto vi ringrazio entrambi.
scusa mi sono scordato di dire una cosa: se hai il libro di fisica 2 di mazzoldi-nigro-voci, vedi che il teorema della divergenza si dimostra diversamente rispetto ai libri di analisi, nel senso che mediante lo sviluppo in serie di taylor del campo che attraversa una superficie chiusa infinitesima, la quale contenga un volumetto di densità rho, calcolando il flusso (infinitesimo) si ottiene il t della divergenza in "forma locale" (o teorema di gauss in forma differenziale se preferisci), da cui integrando sul volume si ottiene il vero e proprio teorema della divergenza, cioè quello che ti permette di semplificare un integrale triplo in uno di superficie. detto così non si capisce granchè, ma era solo per chiarire la diversità rispetto alla trattazione in analisi, nella quale ci si limita a verificare un'identità sostanzialmente (per cui non è di grande interesse).
@Fox: non ho problemi a trattarlo formalmente, piuttosto a darci un senso fisico. quello che non capisco è come fare a sviluppare l'intuito: il fatto che integrando la divergenza si ottenga il flusso è un risultato matematico, vorrei evitare di partire da questo presupposto, perchè è circa come dimostrare un corollario di un teorema. io non voglio necessariamente dimostrazioni, ma piuttosto capire cosa succede localmente e perchè. puoi darmi qualche altro suggerimento?
"walter89":
quella che hai scritto è una delle equazioni di Maxwell per il campo elettrico, il teorema della divergenza ti serve eventualmente per dimostrarla...
scusa mi sono scordato di dire una cosa: se hai il libro di fisica 2 di mazzoldi-nigro-voci, vedi che il teorema della divergenza si dimostra diversamente rispetto ai libri di analisi, nel senso che mediante lo sviluppo in serie di taylor del campo che attraversa una superficie chiusa infinitesima, la quale contenga un volumetto di densità rho, calcolando il flusso (infinitesimo) si ottiene il t della divergenza in "forma locale" (o teorema di gauss in forma differenziale se preferisci), da cui integrando sul volume si ottiene il vero e proprio teorema della divergenza, cioè quello che ti permette di semplificare un integrale triplo in uno di superficie. detto così non si capisce granchè, ma era solo per chiarire la diversità rispetto alla trattazione in analisi, nella quale ci si limita a verificare un'identità sostanzialmente (per cui non è di grande interesse).
@Fox: non ho problemi a trattarlo formalmente, piuttosto a darci un senso fisico. quello che non capisco è come fare a sviluppare l'intuito: il fatto che integrando la divergenza si ottenga il flusso è un risultato matematico, vorrei evitare di partire da questo presupposto, perchè è circa come dimostrare un corollario di un teorema. io non voglio necessariamente dimostrazioni, ma piuttosto capire cosa succede localmente e perchè. puoi darmi qualche altro suggerimento?
"enr87":
non ho problemi a trattarlo formalmente, piuttosto a darci un senso fisico. quello che non capisco è come fare a sviluppare l'intuito: il fatto che integrando la divergenza si ottenga il flusso è un risultato matematico, vorrei evitare di partire da questo presupposto, perchè è circa come dimostrare un corollario di un teorema. io non voglio necessariamente dimostrazioni, ma piuttosto capire cosa succede localmente e perchè. puoi darmi qualche altro suggerimento?
Beh, non puoi fare fisica se non sai la matematica... La fisica parte da delle ipotesi e poi sviluppa la teoria in ambito matematico.
La fisica "sceglie" che il campo elettrico esiste ed ha proprietà di continuità e derivabilità (ipotesi tra l'altro che nella realtà non è vera, lo vedrai nei corsi più avanti post meccanica quantistica quando si scopre che anche il campo elettrico è quantizzato), poi la matematica ti dice come studiare i campi che hanno tali proprietà.
Una di queste proprietà è la divergenza. Un'altra è il rotore. Intuitivamente ti dicono quanto localmente il campo "scappa" e quanto "crea vortici"...
Non a tutto si arriva con l'intuito puro e semplice, ci vuole una base di conoscenza. Certo, senza intuito non si va da nessuna parte, ma anche il contrario è impossibile...
Magari ti turba il fatto che non sai perché quel teorema è vero, o non ne sei così convinto, allora potresti guardare la dimostrazione rigorosa. Forse questo ti chiarirebbe le idee, non so...
no, quello non mi turba (so che il teorema è vero e so il perchè, di conseguenza ne sono convinto). il problema è che la matematica, in casi come questo o il teorema del rotore che hai citato, dà solo dei mezzi di calcolo: pur sapendo dimostrare questi ultimi, non si trovano facilmente dei riscontri "concreti". per me non è così intuitivo affermare che la divergenza è indice di quanto il campo scappa, ma questo perchè parto dal presupposto che mi trovo di fronte ad una somma di derivate parziali, e mi trovo un po' spiazzato. comunque a questo punto non credo sia conveniente perderci troppo tempo, eventualmente mi rifaccio vivo in futuro se mi venisse qualche altro dubbio. ti ringrazio per lo sforzo.
prego, mi dispiace non aver centrato il punto...
Un ultimo consiglio, non prenderla male cerco solo di fare una critica costruttiva. Magari mi sbaglierò, ma questa tua frase sembra riflettere il fatto che parti un pò prevenuto di fronte a questo oggetto... E in matematica questo atteggiamento è fortemente controproducente.
A proposito, prova a leggere il racconto zen della tazza di tè, a me piace molto, è un piccolo racconto, va letto con calma e bisogna rifletterci su un pò...
Lo trovi anche qui http://ilmiote.wordpress.com/2010/07/04 ... toria-zen/
Ciao!
"enr87":
per me non è così intuitivo affermare che la divergenza è indice di quanto il campo scappa, ma questo perchè parto dal presupposto che mi trovo di fronte ad una somma di derivate parziali, e mi trovo un po' spiazzato.
Un ultimo consiglio, non prenderla male cerco solo di fare una critica costruttiva. Magari mi sbaglierò, ma questa tua frase sembra riflettere il fatto che parti un pò prevenuto di fronte a questo oggetto... E in matematica questo atteggiamento è fortemente controproducente.
A proposito, prova a leggere il racconto zen della tazza di tè, a me piace molto, è un piccolo racconto, va letto con calma e bisogna rifletterci su un pò...
Lo trovi anche qui http://ilmiote.wordpress.com/2010/07/04 ... toria-zen/
Ciao!
pensavo si mettesse a calcolare la portata a un certo punto (con la divergenza, ovvio 
)
il fatto è che quando studio matematica cerco di pensare da matematico (anche se mi piace poco e mi riesce male), allo stesso modo quando studio fisica cerco di pensare da fisico (non mi riesce meglio, ma ci provo ugualmente). ho fatto la stessa domanda al mio insegnante prima di chiedere qui, e in qualche modo mi ha dato una mezza idea di quello che succede a livello di derivate, in un caso un po' particolare. ora cercavo di approfondire ulteriormente questa motivazione qualitativa che certamente non può essere rigorosa, però credo sia importante per avere un'idea più o meno vaga di quello che accade, altrimenti resta tutto troppo nell'astratto. questo nei limiti del possibile, non pretendo certo di scoprire la quinta dimensione. mettila così: se qualcuno ha chiamato questa cosa "divergenza", l'avrà fatto con cognizione di causa. questo non per screditare la matematica, ma per cercare di avere più punti di vista per studiare un oggetto.. insomma, se ho due tazzine cerco di riempirle entrambe.
comunque mi fa piacere essere criticato, non preoccuparti se vuoi farmi osservazioni (vale anche per il futuro).
)il fatto è che quando studio matematica cerco di pensare da matematico (anche se mi piace poco e mi riesce male), allo stesso modo quando studio fisica cerco di pensare da fisico (non mi riesce meglio, ma ci provo ugualmente). ho fatto la stessa domanda al mio insegnante prima di chiedere qui, e in qualche modo mi ha dato una mezza idea di quello che succede a livello di derivate, in un caso un po' particolare. ora cercavo di approfondire ulteriormente questa motivazione qualitativa che certamente non può essere rigorosa, però credo sia importante per avere un'idea più o meno vaga di quello che accade, altrimenti resta tutto troppo nell'astratto. questo nei limiti del possibile, non pretendo certo di scoprire la quinta dimensione. mettila così: se qualcuno ha chiamato questa cosa "divergenza", l'avrà fatto con cognizione di causa. questo non per screditare la matematica, ma per cercare di avere più punti di vista per studiare un oggetto.. insomma, se ho due tazzine cerco di riempirle entrambe.
comunque mi fa piacere essere criticato, non preoccuparti se vuoi farmi osservazioni (vale anche per il futuro).
A queste domande sul significato intuitivo degli operatori differenziali classici puoi trovare delle risposte molto carine qui:
http://www.math.umn.edu/~nykamp/m2374/r ... athml.html
e anche sul libro Div, Grad, Curl and all of that di Schey.
http://www.math.umn.edu/~nykamp/m2374/r ... athml.html
e anche sul libro Div, Grad, Curl and all of that di Schey.
E fai bene a farti domande e cercare ad andare a fondo alla questione finché non ti convince, è l'atteggiamento giusto
solo che io non so più come aiutarti,
per me è chiamata divergenza perché in un certo senso le linee di forza divergono... anche se ora che ci penso non sono sicuro di sapere in "italiano" che vuol dire che una cosa diverge!!!
spero che trovi ciò che cerchi nel link di dissonance,
Ciao
solo che io non so più come aiutarti,
per me è chiamata divergenza perché in un certo senso le linee di forza divergono... anche se ora che ci penso non sono sicuro di sapere in "italiano" che vuol dire che una cosa diverge!!!
spero che trovi ciò che cerchi nel link di dissonance,
Ciao
grazie anche a te dissonance, purtroppo nemmeno al link ho trovato niente di nuovo rispetto a quello che sapevo già; meglio che non ci perda su troppo tempo per ora, grazie di nuovo a tutti e alla prossima!
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