Teorema del trasporto

[pegasu1]

Ciao

C'è una vecchia discussione su cui mi sono incastrato nella compresione: https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 0#p8463910

Piccola nota: Molto spesso per ricavare il bilancio di massa si fanno delle ipotesi sul volume di controllo,in genere lo si assume fisso, oppure che si muove come un volume materiale, ossia segue il flusso, ma non si dice mai in genere cosa succede per un volume di controllo la cui superficie si muove con velocità $u$, mentre il flusso ha velocità $v$. Quando u=0 si ha il volume di controllo fisso, quando u=v si ha il volume di controllo materiale. La cosa interessante è che l'equazione di bilancio non cambia nel generico caso con u e w. La dimostrazione è semplice sfrutta il teorema del trasporto:
Bilancio integrale: dM/dt=flusso di massa sul volume V(t) (notare che la derivata temporale è una derivata totale, non parziale, in molti testi derivano sotto il segno di integrale e magicamente quella derivata totale diventa parziale, senza un perché)

$M=int_(V(t))rho$

flussi = $int_(partialV(t)) rhow*n$

Essendo $w=v-u$ la velocità relativa del flusso rispetto al volume di controllo.

Il teorema del trasposrto dice che: $d/(dt) int_(V(t))rho=int_(V(t))(partial rho)/(partial t)-int_(partialV(t))rho u\cdot n$

E quindi:

$int_(V(t))(partial rho)/(partial t)=int_(partialV(t))rho (u+w)\cdot n=int_(partialV(t))rho v\cdot n$

In genere questo passaggio non viene fatto, si prende sempre un volume di controllo V(t) mobile, senza dire nulla su come si muove, e si dice subito

$int_(V(t))(partial rho)/(partial t)=int_(partialV(t))rho v\cdot n$

Interpretandola alla buona come: tasso di variazione di rho= flussi in ingresso/uscita. E' chiaro che tale equazione scritta così senza dire nient'altro non ha nessun fondamento, probabilmente è così che te l'hanno insegnata.

Non ho mai studiato realmente tale teorema, però di solito si applica in tutti i corsi di fisica che ho seguito, ma non capisco come arrivi all'ultima: $int_(V(t))(partial rho)/(partial t)=int_(partialV(t))rho v\cdot n$

Intuitivamente avrei detto che era: $int_(V(t))(partial rho)/(partial t)=int_(partialV(t))rho w\cdot n$

Qualcuno saprebbe spiegarmi in modo meno criptico quel messaggio? Grazie

[Quinzio]

Io prima cercherei qualche cosa di piu' "controllato".
Ad es: http://passionefluidodinamica.yolasite.com/resources/IL%20TEOREMA%20DEL%20TRASPORTO%20DI%20REYNOLDS%20(E%20TEOREMA%20DI%20LEIBNITZ).Pdf

[pegasu1]

Grazie mille, domani a mente fresca e da PC lo leggo.
Ma cosa intendi per più controllato? Non ho capito