Teorema del lavoro e dell'energia cinetica
Il lavoro compiuto da qualsiasi forza per spostare un oggetto dalla posizione $P_1$ alla $P_2$ lungo la traiettoria $c$ è pari alla variazione dell'energia cinetica posseduta in $P_2$ e $P_1$.
Allora ci si può arrivare così:
$dL = vec F * d vec s = m (d vec v) / dt vec v dt = m\ d vec v\ vec v$
Quindi $dL = m\ d vec v\ vec v = m\ d(vec v^2 / 2)$ fin qui tutto bene (cit. La Haine)
Ora vorrei capire, se c'è un motivo, qualche conseguenza o qualche eccezione da fare, nel poter mettere $m$ dentro il differenziale:
$dL = d(1/2 m vec v^2)$ ora devo fare gli integrare ma gli estremi di integrazione di $dL$ quali sono? devo fare così?
$L = \int_{P_1}^{P_2} vec F\ d vec s = \int_{v_1}^{v_2} d(1/2 m vec v^2) = 1/2\ m\ v_2^2 - 1/2\ m\ v_1^2$
cosa altro ci sarebbe da dire? l'ho dimostrato tutto giusto?
Una cosa ma il lavoro della reazione vincolare è sempre nullo perchè perpendicolare allo spostemento, e si chiama forza deviatrice, mentre il lavoro della forza peso come può chiamarsi?
Grazie
PS forse dovrei dire che gli integrali di cui parlo sono curvilinei, però non ho capito bene come si calcolano, io analisi 2 ce l'ho l'anno prossimo!!
Allora ci si può arrivare così:
$dL = vec F * d vec s = m (d vec v) / dt vec v dt = m\ d vec v\ vec v$
Quindi $dL = m\ d vec v\ vec v = m\ d(vec v^2 / 2)$ fin qui tutto bene (cit. La Haine)
Ora vorrei capire, se c'è un motivo, qualche conseguenza o qualche eccezione da fare, nel poter mettere $m$ dentro il differenziale:
$dL = d(1/2 m vec v^2)$ ora devo fare gli integrare ma gli estremi di integrazione di $dL$ quali sono? devo fare così?
$L = \int_{P_1}^{P_2} vec F\ d vec s = \int_{v_1}^{v_2} d(1/2 m vec v^2) = 1/2\ m\ v_2^2 - 1/2\ m\ v_1^2$
cosa altro ci sarebbe da dire? l'ho dimostrato tutto giusto?
Una cosa ma il lavoro della reazione vincolare è sempre nullo perchè perpendicolare allo spostemento, e si chiama forza deviatrice, mentre il lavoro della forza peso come può chiamarsi?
Grazie
PS forse dovrei dire che gli integrali di cui parlo sono curvilinei, però non ho capito bene come si calcolano, io analisi 2 ce l'ho l'anno prossimo!!
Risposte
"davidedesantis":Butta un occhio a questo sito, ti spiega l'idea senza perdersi in fatti tecnici:
PS forse dovrei dire che gli integrali di cui parlo sono curvilinei, però non ho capito bene come si calcolano, io analisi 2 ce l'ho l'anno prossimo!!
http://mathinsight.org/line_integral_sc ... troduction
grazie mille dissonance! quindi quello che ho scritto non sono bestemmie, no? 
Bestemmie grosse non ne vedo, c'è solo una cosa che non ho capito: perché gli estremi di integrazione sono \(v_1, v_2\)? Prima erano \(P_1, P_2\), due punti, e poi diventano due velocità... è un po' brutto da vedere. Comunque, sono dettagli.
Il fatto che puoi portare \(m\) dentro il simbolo di differenziale dipende dal fatto che \(m\) è costante, perché stai parlando di un punto materiale; se poi vuoi schematizzare come punti dei sistemi a massa variabile questo teorema te lo scordi.
Ma "lavoro della forza peso" non ti piace? Non è tanto brutto in fondo
Il fatto che puoi portare \(m\) dentro il simbolo di differenziale dipende dal fatto che \(m\) è costante, perché stai parlando di un punto materiale; se poi vuoi schematizzare come punti dei sistemi a massa variabile questo teorema te lo scordi.
Una cosa ma il lavoro della reazione vincolare è sempre nullo perchè perpendicolare allo spostemento, e si chiama forza deviatrice, mentre il lavoro della forza peso come può chiamarsi?Boh? "Forza pesatrice"?
Ma "lavoro della forza peso" non ti piace? Non è tanto brutto in fondo
hahah hai ragione non è brutto...però gli estremi di integrazione devono essere necessariamente quelli no? nel primo integrale ho un $ds$ nel secondo un $dv$...
"davidedesantis":
$dL = d(1/2 m vec v^2)$ ora devo fare gli integrare ma gli estremi di integrazione di $dL$ quali sono? devo fare così?
$L = \int_{P_1}^{P_2} vec F\ d vec s = \int_{v_1}^{v_2} d(1/2 m vec v^2) = 1/2\ m\ v_2^2 - 1/2\ m\ v_1^2$
Gli estremi di integrazione sono quelli corrispondenti (cioe' se $v_1$ e' la velocita' che aveva al punto $P_1$, e analogo per l'altro estremo, l'integrale andra' calcolato tra $1/2 m v_1^2$ e $1/2 m v_2^2$ ).
Tieni conto che la velocita' iniziale e quella finale, cosi' come la posizione iniziale e finale sono quantita' che sono collegate tra di loro dalla forma della equazione oraria. Praticamente devi calcolare quell'integrale sulla particolare soluzione dell'equazione del moto sulla quale ti interessa di calcolare il lavoro. In generale, in caso di forze anche non conservative, il lavoro dipende dal percorso, quindi dalla particolare traiettoria.
Una cosa ma il lavoro della reazione vincolare è sempre nullo perchè perpendicolare allo spostemento, e si chiama forza deviatrice, mentre il lavoro della forza peso come può chiamarsi?
Variazione di potenziale gravitazionale?
PS forse dovrei dire che gli integrali di cui parlo sono curvilinei, però non ho capito bene come si calcolano, io analisi 2 ce l'ho l'anno prossimo!!
Beh, non importa, ti basta sapere che sarai in grado di fare questi conti con piu' rigore dopo aver studiato un po' piu' matematica. Per il momento basta questo. Non porti troppi problemi (ce ne sono gia' tanti...).
"dissonance":
Bestemmie grosse non ne vedo, c'è solo una cosa che non ho capito: perché gli estremi di integrazione sono \(v_1, v_2\)? Prima erano \(P_1, P_2\), due punti, e poi diventano due velocità... è un po' brutto da vedere. Comunque, sono dettagli.
Queste variazioni "running" (senza preavviso) degli estremi di integrazione sono una specie di seconda pelle per un fisico
Dopo un po' ci trovi anche un gusto perverso, a vedere i matematici che ti guardano male
Se il lavoro dipende anche dalla traiettoria, perchè nella formula sono in gioco solo le velocità inziali e finali?
Per quanto riguarda le variazioni "running" sono giuste insomma?
su internet alcuni siti direbbero di si, ma mai fidarsi completamente della rete!
Per quanto riguarda le variazioni "running" sono giuste insomma?
su internet alcuni siti direbbero di si, ma mai fidarsi completamente della rete!
"davidedesantis":
Se il lavoro dipende anche dalla traiettoria, perchè nella formula sono in gioco solo le velocità inziali e finali?
Per la prima frase con cui hai iniziato il thread
sono un attimino confuso...quello che mi domando è: se il lavoro matematicamente dipende dalla velocità nel punto iniziale e dalla velocità nel punto finale, perchè dovrebbe anche dipendere da come ci arriva a questi punti? cioè dalla traiettoria curvilinea??
Sempre per la prima frase che hai scritto: Il lavoro è uguale alla differenza di energia cinetica quindi non dipende dalla traiettoria.
Attenzione però che si parla di lavoro totale, va computato quindi il lavoro di tutte le forze agenti sul corpo (compreso l'attrito)
Attenzione però che si parla di lavoro totale, va computato quindi il lavoro di tutte le forze agenti sul corpo (compreso l'attrito)
"davidedesantis":
:-D sono un attimino confuso...quello che mi domando è: se il lavoro matematicamente dipende dalla velocità nel punto iniziale e dalla velocità nel punto finale, perchè dovrebbe anche dipendere da come ci arriva a questi punti? cioè dalla traiettoria curvilinea??
Mettiamola cosi': il lavoro non e' l'unica cosa che dipende dalla traiettoria
In altre parole anche la velocita' finale dipende dalla traiettoria: hai una equazione differenziale del secondo ordine, con date condizioni iniziali (posizione e velocita').
Velocita' e posizione ad un dato tempo $t$ dipendono da questi due dati, cosi' come in generale tutta la traiettoria.
La traiettoria non e' arbitraria, ma e' determinata dalla equazione del moto.
E il cerchio si chiude
"davidedesantis":
:-D sono un attimino confuso...quello che mi domando è: se il lavoro matematicamente dipende dalla velocità nel punto iniziale e dalla velocità nel punto finale, perchè dovrebbe anche dipendere da come ci arriva a questi punti? cioè dalla traiettoria curvilinea??
Questa obiezione non la capisco proprio.
Ti hanno già risposto, però io sono abituato a fare esempi molto terra-terra e allora ti rispondo in soldoni.
Siccome il lavoro lo puoi appunto misurare considerando solo le velocità iniziali e finali, se per arrivare da P1 a P2 hai possibilità di strada diverse non è mica detto che alla fine la v2 sarà sempre la stessa nei diversi casi!
Tu sei su una macchina che corre a 100 km/h. Arrivato al punto P1 cominci a frenare perché vedi che a P2 c'è un limite di velocità a 50 km/h. I tuoi freni non sono buoni, supponi, e applicano una forza limitata e costante pari a F. Dunque hai una certa energia da consumare. Se freni in linea retta magari arrivi a P2 a 60 km/h, se invece fai un po' di curve in modo da allungare il percorso può darsi che arrivi a P2 rispettando il limite di 50 km/h. Quindi in questo caso che è non conservativo la v2 dipende dal percorso. Se invece la v2 non dipendesse dal percorso ma fosse sempre la stessa in ogni caso, allora vuol dire che saresti in un ambiente conservativo.
"Falco5x":
...non è mica detto che alla fine la v2 sarà sempre la stessa nei diversi casi!
Perfetto!
"Falco5x":
Se invece la v2 non dipendesse dal percorso ma fosse sempre la stessa in ogni caso, allora vuol dire che saresti in un ambiente conservativo.
in un ambiente conservativo, cosa succede? la forza è conservativa? e cosa la fa essere tale?
Grazie mille
"davidedesantis":
in un ambiente conservativo, cosa succede? la forza è conservativa? e cosa la fa essere tale?
A rigore non è la forza da sola che è conservativa ma più correttamente lo è un campo di forze. Se hai una regione dello spazio a ogni punto del quale puoi associare una forza, per esempio il campo di forze gravitazionali, oppure il campo di forze elastiche (prodotte dalla presenza di molle) ecc..., ha senso chiedersi se il campo è conservativo.
Ci sono varie definizioni di conservatività e che sono tutte equivalenti. Forse la può classica è questa: se fai compiere al tuo corpo un percorso chiuso nella regione del campo il lavoro complessivo fatto dalle forze del campo è nullo (e questo vale per qualunque percorso chiuso).
Da questa definizione (quindi facendo il calcolo) discendono molte conseguenze che puoi interpretare come teoremi tra cui: un campo uniforme è conservativo, un campo centrale è conservativo, ecc...
Per un campo conservativo può essere definita l'energia potenziale (sempre del campo) che rappresenta uno strumento molto comodo per calcolare il lavoro fatto dalle forze del campo senza dover svolgere integrali.
"mircoFN":
Per un campo conservativo può essere definita l'energia potenziale (sempre del campo) che rappresenta uno strumento molto comodo per calcolare il lavoro fatto dalle forze del campo senza dover svolgere integrali.
In quanto $L = - \DeltaU$ vero?
se $L$ è il lavoro fatto dalle forze del campo, si. Può precisamente:
$U_A-U_B=-L_(AB)$
$U_A-U_B=-L_(AB)$
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