Tensori e duali
Ciao a tutti,
dato il tensore antisimmetrico di rango 2, $A^(ik)$, come mai il suo duale è definito come $A^(* ik) = 1/2 (e^(iklm) A_(lm))$, dove $e^(iklm) $ è il tensore unitario completamente antisimmetrico di rango 4? Inoltre cosa significa che $e^(iklm) $ è uno pseudo-tensore e il prodotto $e^(iklm)e^(p rst)$ è invece un vero tensore ?
Grazie in anticipo per l'aiuto.
dato il tensore antisimmetrico di rango 2, $A^(ik)$, come mai il suo duale è definito come $A^(* ik) = 1/2 (e^(iklm) A_(lm))$, dove $e^(iklm) $ è il tensore unitario completamente antisimmetrico di rango 4? Inoltre cosa significa che $e^(iklm) $ è uno pseudo-tensore e il prodotto $e^(iklm)e^(p rst)$ è invece un vero tensore ?
Grazie in anticipo per l'aiuto.
Risposte
up 
Non so se reisco a darti una qualche risposta, ma per quel poco che so un qualsiasi tensore con $det\ne 0$ è possibile scomporlo in una parte simmetrica e una antisimmetrica.
la parte simmetrica è definita come $sym=1/2*[\bar{\bar{A}}+(\bar{\bar{A}})^T]$
quella antisimmetrica $\mbox{antysym}=1/2*[\bar{\bar{A}}-(\bar{\bar{A}})^T]$
Credo che in qualche maniera ci si può ricondurre a ciò che hai scritto...
la parte simmetrica è definita come $sym=1/2*[\bar{\bar{A}}+(\bar{\bar{A}})^T]$
quella antisimmetrica $\mbox{antysym}=1/2*[\bar{\bar{A}}-(\bar{\bar{A}})^T]$
Credo che in qualche maniera ci si può ricondurre a ciò che hai scritto...
Ciao.
In teoria dei campi si parla di pseudotensori come di quegli oggetti che sotto parità (che è la trasformazione che scambia destra e sinistra, oppure $\vec x \rightarrow - \vec x$ ) vanno in meno sè stessi.....ma non so se questo aiuti.....
Per quanto riguarda il duale che hai definito sinceramente non so risponderti.....ma le stai studiando in un corso di elettrodinamica queste cose?
In teoria dei campi si parla di pseudotensori come di quegli oggetti che sotto parità (che è la trasformazione che scambia destra e sinistra, oppure $\vec x \rightarrow - \vec x$ ) vanno in meno sè stessi.....ma non so se questo aiuti.....
Per quanto riguarda il duale che hai definito sinceramente non so risponderti.....ma le stai studiando in un corso di elettrodinamica queste cose?
Una risposta non molto illuminante alla prima domanda è che il tensore $A^{**}$ definito in quel modo è il duale di Hodge di $A$. Se vuoi puoi andare a cercare la definizione di duale di Hodge e vedere perchè si introduce, ma onestamente non credo possa servirti molto, semplicemente prendila come definizione di quella quantità.
Per quanto riguarda la seconda domanda invece essenzialmente la risposta è quella che diceva alle.fabbri, ovvero per trasformazioni di coordinate $x'=\Lambda x$ con $det(\Lambda)<0$ il tensore completamente antisimmetrico ha un segno di differenza rispetto alla legge di trasformazione usuale per un tensore. Chiaramente questo segno di differenza scompare quando fai il prodotto di due pseudotensori, ottieni quindi in questo caso un tensore.
Per quanto riguarda la seconda domanda invece essenzialmente la risposta è quella che diceva alle.fabbri, ovvero per trasformazioni di coordinate $x'=\Lambda x$ con $det(\Lambda)<0$ il tensore completamente antisimmetrico ha un segno di differenza rispetto alla legge di trasformazione usuale per un tensore. Chiaramente questo segno di differenza scompare quando fai il prodotto di due pseudotensori, ottieni quindi in questo caso un tensore.
Grazie a tutti per le vostre risposte. Penso di essermi chiarito le idee. 
@alle.fabbri.... In realtà sono concetti che sto incontrando in un corso di teoria dei campi.
@alle.fabbri.... In realtà sono concetti che sto incontrando in un corso di teoria dei campi.
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