Tensori di Kronecker e Levi Civita
salve a tutti. L'altraq volta il prof a lezione ha introdotto questi due nuovi cosi: il tensore di kronecker e il tensore di levi civita.
Il primo mi sembra che era 1 se gli indici sono uguali 0 se sono diversi.
Il secondo era un casino, se era una permutazione pari di 123 valeva 1, se era dispari -1, in altri casi 0. MI pare di ricordare che fossero così ho scritto in un foglietto tutto quando prendevo appunti che però ora no ho sottomano....
Li ha usati per definire prima di tutto la terna ortogonale normale dello spazio cartesianoe fin lì l'ho seguito. Poi li ha usati in generale per definire prodotto scalare e vettoriale in generale, poi insomma pi pim pa pam e in tutto quel groviglio di dimostrazioni, calcoli, somamtorie sottointese con gli indici ripetuti, non ci ho capito una mazza.
Premettendo che io sono al secondo anno e quindi di tensori dal punto di vista matematico non li abbiamo ancora fatti,non so niente, nemmeno cosa sono...Qualcuno potrebbe spiegarmi meglio con calma come si usano questi due affari? COmemai si mischiano coi calcoli ai vettori, e quale sarebbe la convenizneza di scrivere tutto con questi due nuovi simboli che mi sembra incasinino tutto invece che semplificare?
Grazie in anticipo delle copiose risposte che (spero) mi invierete...
Il primo mi sembra che era 1 se gli indici sono uguali 0 se sono diversi.
Il secondo era un casino, se era una permutazione pari di 123 valeva 1, se era dispari -1, in altri casi 0. MI pare di ricordare che fossero così ho scritto in un foglietto tutto quando prendevo appunti che però ora no ho sottomano....
Li ha usati per definire prima di tutto la terna ortogonale normale dello spazio cartesianoe fin lì l'ho seguito. Poi li ha usati in generale per definire prodotto scalare e vettoriale in generale, poi insomma pi pim pa pam e in tutto quel groviglio di dimostrazioni, calcoli, somamtorie sottointese con gli indici ripetuti, non ci ho capito una mazza.
Premettendo che io sono al secondo anno e quindi di tensori dal punto di vista matematico non li abbiamo ancora fatti,non so niente, nemmeno cosa sono...Qualcuno potrebbe spiegarmi meglio con calma come si usano questi due affari? COmemai si mischiano coi calcoli ai vettori, e quale sarebbe la convenizneza di scrivere tutto con questi due nuovi simboli che mi sembra incasinino tutto invece che semplificare?
Grazie in anticipo delle copiose risposte che (spero) mi invierete...
Risposte
il tensore di levi civita è un ente a tre indici $\epsilon^{ijk}$, che basta definire con due proprietà:
a) vale 1 se (i,j,k) = (1,2,3)
b) è totalmente antisimmetrico
da qui consegue che per permutazioni pari di (1,2,3) vale 1, per permutazioni dispari -1 e 0 in caso di indici ripetuti
il delta di kroeneker è banalmente niente di più di come l'hai definito tu
se la prima impressione è di complicazione come dici, in realtà rendono le cose più semplici e corte da scrivere.
hai citato il prodotto vettoriale:
$\vec{a} wedge \vec{b} = \epsilon^{ijk} \vec{e_i} a_j b_k$ è molto più corto che scrivere tutte le componenti di a e b
inoltre ci sono un po' di regole che fanno passare dal delta di kroenecker ai simboli di levi-civita, e spesso vengono utilizzate nelle dimostrazioni, come $\epsilon^{ijl} \epsilon_{ijk} = 2 \delta_{k}^{l}$
PS con la contrazione di indici bisogna farci la mano, in bocca al lupo. può essere comunque tutto definito in maniera formale, guarda http://en.wikipedia.org/wiki/Tensor_contraction
a) vale 1 se (i,j,k) = (1,2,3)
b) è totalmente antisimmetrico
da qui consegue che per permutazioni pari di (1,2,3) vale 1, per permutazioni dispari -1 e 0 in caso di indici ripetuti
il delta di kroeneker è banalmente niente di più di come l'hai definito tu
se la prima impressione è di complicazione come dici, in realtà rendono le cose più semplici e corte da scrivere.
hai citato il prodotto vettoriale:
$\vec{a} wedge \vec{b} = \epsilon^{ijk} \vec{e_i} a_j b_k$ è molto più corto che scrivere tutte le componenti di a e b
inoltre ci sono un po' di regole che fanno passare dal delta di kroenecker ai simboli di levi-civita, e spesso vengono utilizzate nelle dimostrazioni, come $\epsilon^{ijl} \epsilon_{ijk} = 2 \delta_{k}^{l}$
PS con la contrazione di indici bisogna farci la mano, in bocca al lupo. può essere comunque tutto definito in maniera formale, guarda http://en.wikipedia.org/wiki/Tensor_contraction
O cavoli è tutto in ingleseeeee....come farò d'ora in avanti che in italiano non c'è più nienteeee 
Cmq domandina stupida, nell'attesa di ragionare un po' con calma su quello che mi hai scritto (grazie a proposito)...perchè a volte gli indici sull'epsilon li metti sopra e a volte sotto?
Cmq domandina stupida, nell'attesa di ragionare un po' con calma su quello che mi hai scritto (grazie a proposito)...perchè a volte gli indici sull'epsilon li metti sopra e a volte sotto?
sull'inglese devi abituarti al più presto.
se non hai mai visto il calcolo tensoriale è tempo perso spiegare il perchè degli indici sopra o sotto (covarianti o controvarianti), in questo caso non era molto importante.
cosa studi? se fai matematica o fisica dovresti vedere la cosa prima o poi
se non hai mai visto il calcolo tensoriale è tempo perso spiegare il perchè degli indici sopra o sotto (covarianti o controvarianti), in questo caso non era molto importante.
cosa studi? se fai matematica o fisica dovresti vedere la cosa prima o poi
sì sì io faccio fisica a genova
Studia l'inglese, subito senza perdere tempo, altrimenti sarai tagliato fuori dai corsi successivi, visto che studi Fisica
Prima l'inglese poi i tensori, non scherzo.
Prima l'inglese poi i tensori, non scherzo.
no ma cmq scherzi a parte ci capisco alal fine più o meno...solo che ci metto il triplo del tempo, e visto che l'argomento già non è dei più agibili...
nel tensore di levi civita cosa sono e1 e2 e3 ?
sono una base ortonormale dello spazio
P.S.: guarda qua: formule
P.S.: guarda qua: formule
buongiorno ho un problema con la contrazione del tensore di Levi Civita :
$\epsilon^(i j k) epsilon_(mnr) $
contraendo per esempio j = n e k = r si ha
$\epsilon^(i j k) epsilon_(mjk) $ tale prodotto per essere diverso da zero deve avere i $ != $ j.
ora $\epsilon^(i j k) epsilon_(mjk) = | ( delta_m^i , delta_j^i ),( delta_m^j , delta_j^j ) | $
$\epsilon^(i j k) epsilon_(mjk) = delta_m^i * delta_j^j - delta_j^i * delta_m^j $
$\epsilon^(i j k) epsilon_(mjk) = 3 delta_m^i - delta_j^i * delta_m^j $**
quindi $\epsilon^(i j k) epsilon_(mjk) = 3 delta_m^i -[ delta_1^i * delta_m^1 +delta_2^i * delta_m^2+delta_3^i * delta_m^3 ] $
dei termini nella quadra solo uno sopravvive e quindi
$\epsilon^(i j k) epsilon_(mjk) = 3 delta_m^i - delta_m^i = 2 delta_m^i$ che è la giusta soluzione.
Ma se mi fermo a ** io scriverei $\epsilon^(i j k) epsilon_(mjk) = 3 delta_m^i $ perchè $delta_j^i = 0$
dovendo essere i $ != $ j. Grazie per una eventuale risposta
$\epsilon^(i j k) epsilon_(mnr) $
contraendo per esempio j = n e k = r si ha
$\epsilon^(i j k) epsilon_(mjk) $ tale prodotto per essere diverso da zero deve avere i $ != $ j.
ora $\epsilon^(i j k) epsilon_(mjk) = | ( delta_m^i , delta_j^i ),( delta_m^j , delta_j^j ) | $
$\epsilon^(i j k) epsilon_(mjk) = delta_m^i * delta_j^j - delta_j^i * delta_m^j $
$\epsilon^(i j k) epsilon_(mjk) = 3 delta_m^i - delta_j^i * delta_m^j $**
quindi $\epsilon^(i j k) epsilon_(mjk) = 3 delta_m^i -[ delta_1^i * delta_m^1 +delta_2^i * delta_m^2+delta_3^i * delta_m^3 ] $
dei termini nella quadra solo uno sopravvive e quindi
$\epsilon^(i j k) epsilon_(mjk) = 3 delta_m^i - delta_m^i = 2 delta_m^i$ che è la giusta soluzione.
Ma se mi fermo a ** io scriverei $\epsilon^(i j k) epsilon_(mjk) = 3 delta_m^i $ perchè $delta_j^i = 0$
dovendo essere i $ != $ j. Grazie per una eventuale risposta
"antdimuro":
buongiorno ho un problema con la contrazione del tensore di Levi Civita :
$\epsilon^(i j k) epsilon_(mnr) $
contraendo per esempio j = n e k = r si ha
$\epsilon^(i j k) epsilon_(mjk) $ tale prodotto per essere diverso da zero deve avere i $ != $ j.
ora $\epsilon^(i j k) epsilon_(mjk) = | ( delta_m^i , delta_j^i ),( delta_m^j , delta_j^j ) | $
C'e' qualcosa che non va in quel determinante.
L'hai copiata o l'hai ricavata tu ? Perche' non compare $k$ ?
Comunque, per avere $\epsilon_{ijk} \ne 0$ gli indici devono essere diversi.
Una volta fissati $j$ e $k$, la scelta di $i$ e' obbligata, e anche quella di $m$,
quindi per avere $\epsilon^(i j k) epsilon_(mjk) \ne 0$ deve essere $m=i$
A questo punto la soluzione e' proprio $2 \delta_m^i$.
Non so che bisogno c'e' di ricorrere a quella matrice.
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