Tensori: Cauchy vs Maxwell
Che differenza c'è tra il tensore degli sforzi di Cauchy (quello che si usa in meccanica dei continui) e il tensore degli sforzi di Maxwell (quello che emerge in eletteomagnetismo)?
Uno è un caso particolare dell'altro?
Uno è un caso particolare dell'altro?
Risposte
No. Il tensore degli sforzi in Meccanica è un tensore simmetrico le cui componenti sono le sollecitazioni unitarie normali $\sigma_\alpha$ e tangenziali $\tau_(\alpha\beta)$ agenti sulle facce del cubetto elementare, con indici variabili da 1 a 3.
Il tensore di Maxwell ha invece per componenti le componenti del vettore campo elettrico $vecE$ e del campo magnetico $vecB$
http://it.wikipedia.org/wiki/Tensore_de ... di_Maxwell
In Meccanica, non si parla di campi elettromagnetici.
Il tensore di Maxwell ha invece per componenti le componenti del vettore campo elettrico $vecE$ e del campo magnetico $vecB$
http://it.wikipedia.org/wiki/Tensore_de ... di_Maxwell
In Meccanica, non si parla di campi elettromagnetici.
"navigatore":
In Meccanica, non si parla di campi elettromagnetici.
..ma la realtà fisica è un tutt'uno.
Conosco bene il tensore di Cauchy, meno quello di Maxwell. Potresti farmi un esempio che metta in luce la differenza fra i due
Hai dato un'occhiata al link?
Sì, grazie.
Il problema è che le forze in natura sono di 3 tipi: gravitazionale, elettrodebole(=elettromagnetica+interazione debole da poco unificate) e interazione forte.
Il tensore di Cauchy rappresenta le forze per unità di superficie che agiscono all'interno del continuo (tralascio qui i dettagli della sua definizione).
Forze, ok, ma che tipo di forze? Immagino elettrodebole (o no?). Quindi in questo senso sembra parente stretto del tensore degli sforzi di Maxwell
Il problema è che le forze in natura sono di 3 tipi: gravitazionale, elettrodebole(=elettromagnetica+interazione debole da poco unificate) e interazione forte.
Il tensore di Cauchy rappresenta le forze per unità di superficie che agiscono all'interno del continuo (tralascio qui i dettagli della sua definizione).
Forze, ok, ma che tipo di forze? Immagino elettrodebole (o no?). Quindi in questo senso sembra parente stretto del tensore degli sforzi di Maxwell
Certamente le forze che si esercitano tra le molecole di un corpo sono forze di natura elettromagnetica.
Ma penso non sia il caso di scervellarsi troppo, per cercare una parentela, che certamente esiste, tra il tensore degli sforzi di Cauchy e il tensore degli sforzi di Maxwell del campo e.m.
Mi spiace, non so dirti di più al riguardo.
Ma penso non sia il caso di scervellarsi troppo, per cercare una parentela, che certamente esiste, tra il tensore degli sforzi di Cauchy e il tensore degli sforzi di Maxwell del campo e.m.
Mi spiace, non so dirti di più al riguardo.
Grazie lo stesso!
@navigatore: rivedrei un po' il suo "no" lapidario
@navigatore: rivedrei un po' il suo "no" lapidario
"ralf86":
Il tensore di Cauchy rappresenta le forze per unità di superficie che agiscono all'interno del continuo (tralascio qui i dettagli della sua definizione).
Forze, ok, ma che tipo di forze? Immagino elettrodebole (o no?). Quindi in questo senso sembra parente stretto del tensore degli sforzi di Maxwell
Secondo me per capire il significato fisico (e la parentela) dei summenzionati due tensori devi andarti a guardare le equazioni che questi soddisfano - queste mettono in correlazione questi tensori e le forze in gioco. Per esempio il campo elettromagnetico soddisfa la sua equazione peculiare, in cui compare oltre alla forza e al tensore degli sforzi anche un termine "radiativo": questa cosa e' molto importante per quanto riguarda la fisica del campo em. Anche il tensore di Cauchy ha la sua equazione che definisce la fisica del continuo. E in effetti entrambi possono essere definiti come quei tensori che soddisfano quelle equazioni, quindi il "cerchio si chiude"
Personalmente quando ho dei dubbi cerco sempre di "tornare alle fonti"...
Sono d'accordo, visto che non è facile trovare scritti sull'argomento credo che il modo forse più semplice di capirne la differenza sia quello di vedere i due tensori "all'opera" in un esempio pratico.
Forse da un bilancio di quantità di moto in magnetoidrodinamica si può estrapolare qualcosa. Che ne pensi?
Il t. di Maxwell è definito in termini di componenti di E e di B. Quello di Cauchy invece non mi pare, la sua esistenza è sostanzialmente un postulato.
Forse da un bilancio di quantità di moto in magnetoidrodinamica si può estrapolare qualcosa. Che ne pensi?
"yoshiharu":
Anche il tensore di Cauchy ha la sua equazione che definisce la fisica del continuo. E in effetti entrambi possono essere definiti come quei tensori che soddisfano quelle equazioni, quindi il "cerchio si chiude"
Il t. di Maxwell è definito in termini di componenti di E e di B. Quello di Cauchy invece non mi pare, la sua esistenza è sostanzialmente un postulato.
up
"ralf86":
Forse da un bilancio di quantità di moto in magnetoidrodinamica si può estrapolare qualcosa.
Non sono sicuro di aver capito bene questa parte; comunque il tensore degli sforzi di Maxwell e' quello che compare nell'equazione della forza che un campo e.m. opera su una distribuzione di materia (che a sua volta genera un campo etc.), per cui, termini radiativi a parte, dovrebbe essere abbastanza immediato fare un confronto partendo proprio dall'equazione della forza su un elemento di fluido (evidentemente dotato di carica).
Il t. di Maxwell è definito in termini di componenti di E e di B. Quello di Cauchy invece non mi pare, la sua esistenza è sostanzialmente un postulato.
Beh, il tensore degli stress di Maxwell ha quella forma per via delle equazioni di Maxwell, e per via della forma della forza di Lorentz. Il tensore di Cauchy e' un po' un contenitore vuoto: ci metti quello che hai; ma comunque non e' che si debba postulare un granche', e' il tensore che sta a destra nell'equazione dinamica. Se hai anche le equazioni dinamiche che governano le forze in gioco (diciamo a livello "microscopico") allora hai qualche altro elemento da metterci dentro, altrimenti puoi fare ragionamenti di simmetria, approssimazioni, etc.
Dipende anche un po' dal ragionamento che ci vuoi fare sopra, credo.
scusa ma non mi è altrettanto evidende il modo di fare il confronto sull elemento di fluido. Potresti fare un esempio (numerico sarebbe meglio)
"ralf86":
scusa ma non mi è altrettanto evidende il modo di fare il confronto sull elemento di fluido. Potresti fare un esempio (numerico sarebbe meglio)
Beh, "esempio numerico" mi sembra eccessivo
Comunque volevo solo dire di confrontare le espressioni per le forze sull'elemento di volume del caso fluido e del caso "distribuzione di cariche e correnti". Ripeto che il confronto da fare dipende un po' da cosa interessa a te, non ho capito del tutto, per cui vado per tentativi.
Nel caso di un fluido, hai l'equazione
[tex]\rho \mathbf{a} = \rho \mathbf{f} + \nabla\cdot \sigma[/tex]
laddove il primo termine a destra e' la forza per unita' di volume ($\mathbf{f}$ e' la forza per unita' di massa), e il secondo e' la divergenza del tensore di stress. La prima puo' essere per es. la forza di gravita', mentre la seconda e' dovuta al fatto che gli elementi del fluido agiscono gli uni sugli altri ("a spallate", diceva un mio professore
).Nel caso di una distribuzione di cariche e correnti (con relativo campo em) la forza su ogni elemento e' data da [tex]\nabla\cdot \mathbf{T} -\frac{1}{c^2}\frac{\partial \mathbf{S}}{\partial t}[/tex]: qui il secondo termine e' un termine di volume che dipende solo dalla radiazione ($\mathbf{S}$ e' il vettore di Poynting), mentre il primo corrisponde al termine di superficie. A questo punto le conclusioni da trarre dipendono un po' dalle considerazioni che vuoi fare tu: col campo em bisogna fare un po' di attenzione perche' ha le sue particolarita' (ad esempio proprio l'apparire nell'equazione di sopra del vettore di Poynting non ha un analogo meccanico, e anche il termine di superficie non e' immediatamente comprensibile), ma se lo scopo e' solo quello di fare un'analogia probabilmente si puo' partire da qui.
Grazie yoshiharu del prezioso intervento.
Sono meno familiare con [tex]\nabla\cdot \mathbf{T} -\frac{1}{c^2}\frac{\partial \mathbf{S}}{\partial t}[/tex]
rispetto alla prima formula e forse è proprio questo che mi induce molti dubbi e incertezze.
- 1° dubbio
Se non sbaglio sia T che S esistono dove esiste il campo elettromagnetico (basta vedere le loro definizioni), quindi in particolare esistono anche nel vuoto come anche la forza elementare [tex]\nabla\cdot \mathbf{T} -\frac{1}{c^2}\frac{\partial \mathbf{S}}{\partial t}[/tex]. Morale: ha senso parlare di forza elettromagnetica nel vuoto?! cioè in un mezzo immateriale?
Sono meno familiare con [tex]\nabla\cdot \mathbf{T} -\frac{1}{c^2}\frac{\partial \mathbf{S}}{\partial t}[/tex]
rispetto alla prima formula e forse è proprio questo che mi induce molti dubbi e incertezze.
- 1° dubbio
Se non sbaglio sia T che S esistono dove esiste il campo elettromagnetico (basta vedere le loro definizioni), quindi in particolare esistono anche nel vuoto come anche la forza elementare [tex]\nabla\cdot \mathbf{T} -\frac{1}{c^2}\frac{\partial \mathbf{S}}{\partial t}[/tex]. Morale: ha senso parlare di forza elettromagnetica nel vuoto?! cioè in un mezzo immateriale?
"ralf86":
- 1° dubbio
Se non sbaglio sia T che S esistono dove esiste il campo elettromagnetico (basta vedere le loro definizioni), quindi in particolare esistono anche nel vuoto come anche la forza elementare [tex]\nabla\cdot \mathbf{T} -\frac{1}{c^2}\frac{\partial \mathbf{S}}{\partial t}[/tex]. Morale: ha senso parlare di forza elettromagnetica nel vuoto?! cioè in un mezzo immateriale?
Spiego un po' meglio la relazione elettromagnetica che ho scritto nel post di prima.
Il termine [tex]\frac{1}{c^2}\frac{\partial \mathbf{S}}{\partial t}[/tex] rappresenta la variazione rispetto al tempo dell'impulso del campo elettromagnetico (diciamo la densita' di impulso in unita' di volume). Lo si vede anche nell'analoga relazione di conservazione dell'energia. Mentre la forza (densita' di forza per unita' di volume) e' la variazione dell'impulso meccanico della distribuzione di carica. Per cui questa relazione e' un bilancio dell'impulso nell'unita' di volume, quindi il termine [tex]\nabla\cdot\mathbf{T}[/tex] e' il flusso di impulso.
Spesso trovi scritta questa relazione nella forma
[tex]\frac{\partial \mathbf{p}_{mech}}{\partial t} + \frac{\partial \mathbf{p}_{EM}}{\partial t} = \nabla\cdot\mathbf{T}[/tex]
che forse e' piu' chiara.
In questa interpretazione fisica, se non c'e' una distribuzione di carica o corrente nell'elemento di volume considerato, cio' che "porta via" quantita' di moto dall'elemento fluido e' proprio il campo em. Tipicamente nella forma di onde (visto che per un campo statico si annullerebbe). Anche nel vuoto (nel senso di assenza di materia) c'e' comunque il campo.
quindi sostituendo:
\[\rho {\mathbf{a}} = \frac{{\partial {{\mathbf{p}}_{mech}}}}{{\partial t}} = \rho {\mathbf{f}} + \nabla \cdot\sigma \]
nella
\[\frac{{\partial {{\mathbf{p}}_{mech}}}}{{\partial t}} + \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{\partial {\mathbf{S}}}}{{\partial t}} = \nabla \cdot{\mathbf{T}}\]
si trova:
\[\rho {\mathbf{f}} + \nabla \cdot\sigma + \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{\partial {\mathbf{S}}}}{{\partial t}} = \nabla \cdot{\mathbf{T}}\]
che sembra una relazione tra il tensore di cauchy sigma e quello di maxwell T. Corretto?
\[\rho {\mathbf{a}} = \frac{{\partial {{\mathbf{p}}_{mech}}}}{{\partial t}} = \rho {\mathbf{f}} + \nabla \cdot\sigma \]
nella
\[\frac{{\partial {{\mathbf{p}}_{mech}}}}{{\partial t}} + \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{\partial {\mathbf{S}}}}{{\partial t}} = \nabla \cdot{\mathbf{T}}\]
si trova:
\[\rho {\mathbf{f}} + \nabla \cdot\sigma + \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{\partial {\mathbf{S}}}}{{\partial t}} = \nabla \cdot{\mathbf{T}}\]
che sembra una relazione tra il tensore di cauchy sigma e quello di maxwell T. Corretto?
"ralf86":
\[\rho {\mathbf{f}} + \nabla \cdot\sigma + \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{\partial {\mathbf{S}}}}{{\partial t}} = \nabla \cdot{\mathbf{T}}\]
che sembra una relazione tra il tensore di cauchy sigma e quello di maxwell T. Corretto?
Non saprei, finche' si resta nell'analogia puo' anche andare, ma non so bene dove vuoi arrivare. Tieni presente che le "parti elettromagnetiche" di questa relazione si possono scrivere semplicemente usando l'espressione della forza di Lorentz
[tex]\mathbf{f}_{em} = \rho \mathbf{E} + \rho\frac{\mathbf{v}}{c}\times \mathbf{B}[/tex]
che potrebbe essere piu' semplice (a seconda di quello che vuoi fare) se cerchi di mettere in relazione il tensore di Cauchy con le quantita' del campo em.
provo a esprimermi con esempio: consideriamo un fluido viscoso, la cui unica forza di volume significativa sia la gravità e scriviamo il bilancio di quantità di moto
\[\rho \left( {\frac{{\partial v}}{{\partial t}} + v \cdot gradv} \right) = divS + g\]
immaginiamo ora di applicare al fluido un campo elettrico e magnetico, noto punto per punto, istante per istante e che il fluido sia di natura tale che il suo moto ne risenta.
Come devo modificare l'equazione scritta sopra per tenerne conto? basta aggiungere la forza di Lorentz?
\[\rho \left( {\frac{{\partial v}}{{\partial t}} + v \cdot gradv} \right) = divS + g\]
immaginiamo ora di applicare al fluido un campo elettrico e magnetico, noto punto per punto, istante per istante e che il fluido sia di natura tale che il suo moto ne risenta.
Come devo modificare l'equazione scritta sopra per tenerne conto? basta aggiungere la forza di Lorentz?
"ralf86":
Come devo modificare l'equazione scritta sopra per tenerne conto? basta aggiungere la forza di Lorentz?
Credo di si'. Tieni pero' conto che il fluido, essendo carico, crea anche lui un campo elettromagnetico. Se questo non puo' essere trascurato ovviamente le cose si complicano (perche' i campi dipendono dal moto del fluido e dalla densita'). Se pero' sostituisci alla densita' di carica e alla corrente la loro espressione che viene dalle equazioni di Maxwell, trovi il tensore di Maxwell (appunto). Non so pero' se questo ti e' di aiuto per i tuoi scopi...le cose possono diventare rapidamente complicate...
Se sfogli per esempio un libro di teoria dei plasmi, vedi subito che non si tratta di un campo semplice della fisica
Il mio scopo è capirci un po' di più, diciamo tentativo di trovare estensioni della meccanica del continuo (quella strettamente meccanica) verso il dominio dell'elettromagnetismo classico.
Se suppongo il campo elettromagnetico noto sto già tenendo conto di queste interazioni. Ovvio che in un problema concreto sarà nota la corrente che scorre in un solenoide (ad esempio), quindi il campo esterno, ed occorre risolvere maxwell..
Il mio dubbio è concettuale: immaginiamo noto il campo come si modifica il bilancio di quantità di moto?
"yoshiharu":
Tieni pero' conto che il fluido, essendo carico, crea anche lui un campo elettromagnetico. Se questo non puo' essere trascurato ovviamente le cose si complicano (perche' i campi dipendono dal moto del fluido e dalla densita').
Se suppongo il campo elettromagnetico noto sto già tenendo conto di queste interazioni. Ovvio che in un problema concreto sarà nota la corrente che scorre in un solenoide (ad esempio), quindi il campo esterno, ed occorre risolvere maxwell..
Il mio dubbio è concettuale: immaginiamo noto il campo come si modifica il bilancio di quantità di moto?
"ralf86":
Se suppongo il campo elettromagnetico noto sto già tenendo conto di queste interazioni. Ovvio che in un problema concreto sarà nota la corrente che scorre in un solenoide (ad esempio), quindi il campo esterno, ed occorre risolvere maxwell..
Quello che voglio dire e' che le equazioni di Maxwell vanno risolte simultaneamente sia per i campi, sia per le sorgenti esterne, sia per la corrente e la densita' del fluido; normalmente avrai bisogno di un'equazione di stato per la materia per poter chiudere il sistema di equazioni.
Chiaramente esistono nelle condizioni opportune diversi schemi di approssimazione.
Il mio dubbio è concettuale: immaginiamo noto il campo come si modifica il bilancio di quantità di moto?
L'equazione scritta precedentemente rimane ovviamente valida, ma le correnti e i campi in gioco devono essere soluzione delle equazioni di Maxwell, dell'equazione di continuita', e dell'equazione di stato (altrimenti non sei in grado poi di risolvere anche per le componenti di $\sigma$, cosa possibile in certe condizioni).
Comunque per avere un'idea piu' definita di questo genere di problemi potresti dare un'occhiata per esempio a questa voce su wikipedia; anche sul Jackson c'e' un capitolo che fa una introduzione alla magnetoidrodinamica. E' un ambito un po' piu' ristretto di quello che cerchi tu, ma ti puo' dare qualche idea.
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