Tensore metrico
Ciao a tutti, rieccomi dopo un po di tempo...
Spero anzitutto di aver aperto il post nella sezione corretta, ho pensato si collocasse in "Fisica Matematica"
in ogni caso, vi pongo la mia domanda:
Studiando un po di geometria riemanniana mi sono imbattuto nel seguente dubbio
Partendo da un diffeomorfismo $(x(u, v), y(u, v), z(u, v))$ che mappa una superficie regolare
se calcolo la norma quadra del vettore tangente ad una curva sulla superficie
$$\left|\left|\frac{dR}{dt}\right|\right|^2 = <\frac{\partial R }{\partial u}\frac{du }{dt}+\frac{\partial R }{\partial v}\frac{dv }{dt}, \frac{\partial R }{\partial u}\frac{du }{dt}+\frac{\partial R }{\partial v}\frac{dv }{dt}>$$
Arrivo alla prima forma fondamentale, ossia alla metrica della superficie
$$ \left|\left|\frac{dR}{dt}\right|\right|^2 = E\left(\frac{du}{dt}\right)^2 + 2F\left(\frac{du }{dt}\right)\left(\frac{dv}{dt}\right) + G\left(\frac{dv }{dt}\right)^2$$
E quindi al tensore metrico, rappresentato dalla matrice $2\times 2$
$$g_{ij} = \begin{pmatrix}
E & F \\ F & G \end{pmatrix} $$
Che nel caso della sfera di raggio $1$ in coordinate geografiche sarebbe il seguente:
$$g_{ij} = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\ 0 & sin^2u \end{pmatrix} $$
Ora, mi chiedo allora qual è la differenza di questa metrica con il tensore metrico delle coordinate sferiche
$$ \begin{cases} x = \rho cos\phi sen\theta \\ y = \rho sen\phi sen\theta \\ z = \rho cos\theta \end{cases} $$
$$g_{ij} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 0 & \rho^2 & 0 \\ 0 & 0 &\rho^2sin^2\theta \end{pmatrix} $$
Per quanto ho capito, questa dovrebbe essere una metrica euclidea (quella di $\mathbb R^3$) lo stesso quella cilindrica e quella cartesiana, mentre la matrice $2\times 2$ dovrebbe essere la metrica della sfera "intrinseca". Cioè se ho capito bene la metrica sulla sfera definita dal tensore$$g_{ij} = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\ 0 & sin^2u \end{pmatrix} $$
Dovrebbe essere la metrica della superficie che è stata immersa in $\mathbb R^3$, che a sua volta possiede la metrica euclidea, che a seconda che venga espressa nelle coordinate cilindriche, sferiche ecc, cambia forma.
La domanda è questi tensori metrici:
$$g_{ij} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 &1 \end{pmatrix} $$
$$g_{ij} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 0 & \rho^2 & 0 \\ 0 & 0 &1 \end{pmatrix} $$
$$g_{ij} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 0 & \rho^2 & 0 \\ 0 & 0 &\rho^2sin^2\theta \end{pmatrix} $$
sono lo stesso tensore di $\mathbb R^3$?
Grazie
Spero anzitutto di aver aperto il post nella sezione corretta, ho pensato si collocasse in "Fisica Matematica"
in ogni caso, vi pongo la mia domanda:
Studiando un po di geometria riemanniana mi sono imbattuto nel seguente dubbio
Partendo da un diffeomorfismo $(x(u, v), y(u, v), z(u, v))$ che mappa una superficie regolare
se calcolo la norma quadra del vettore tangente ad una curva sulla superficie
$$\left|\left|\frac{dR}{dt}\right|\right|^2 = <\frac{\partial R }{\partial u}\frac{du }{dt}+\frac{\partial R }{\partial v}\frac{dv }{dt}, \frac{\partial R }{\partial u}\frac{du }{dt}+\frac{\partial R }{\partial v}\frac{dv }{dt}>$$
Arrivo alla prima forma fondamentale, ossia alla metrica della superficie
$$ \left|\left|\frac{dR}{dt}\right|\right|^2 = E\left(\frac{du}{dt}\right)^2 + 2F\left(\frac{du }{dt}\right)\left(\frac{dv}{dt}\right) + G\left(\frac{dv }{dt}\right)^2$$
E quindi al tensore metrico, rappresentato dalla matrice $2\times 2$
$$g_{ij} = \begin{pmatrix}
E & F \\ F & G \end{pmatrix} $$
Che nel caso della sfera di raggio $1$ in coordinate geografiche sarebbe il seguente:
$$g_{ij} = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\ 0 & sin^2u \end{pmatrix} $$
Ora, mi chiedo allora qual è la differenza di questa metrica con il tensore metrico delle coordinate sferiche
$$ \begin{cases} x = \rho cos\phi sen\theta \\ y = \rho sen\phi sen\theta \\ z = \rho cos\theta \end{cases} $$
$$g_{ij} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 0 & \rho^2 & 0 \\ 0 & 0 &\rho^2sin^2\theta \end{pmatrix} $$
Per quanto ho capito, questa dovrebbe essere una metrica euclidea (quella di $\mathbb R^3$) lo stesso quella cilindrica e quella cartesiana, mentre la matrice $2\times 2$ dovrebbe essere la metrica della sfera "intrinseca". Cioè se ho capito bene la metrica sulla sfera definita dal tensore$$g_{ij} = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\ 0 & sin^2u \end{pmatrix} $$
Dovrebbe essere la metrica della superficie che è stata immersa in $\mathbb R^3$, che a sua volta possiede la metrica euclidea, che a seconda che venga espressa nelle coordinate cilindriche, sferiche ecc, cambia forma.
La domanda è questi tensori metrici:
$$g_{ij} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 &1 \end{pmatrix} $$
$$g_{ij} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 0 & \rho^2 & 0 \\ 0 & 0 &1 \end{pmatrix} $$
$$g_{ij} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 0 & \rho^2 & 0 \\ 0 & 0 &\rho^2sin^2\theta \end{pmatrix} $$
sono lo stesso tensore di $\mathbb R^3$?
Grazie
Risposte
Detto in termini molto elementari : La metrica del tensore 2X2 è quella (locale) della superficie sferica, che ha dimensione 2. I coefficienti E,F,G sono tipici della prima forma fondamentale scritta da Gauss . LA metrica 3X3 è invece riferita alo spazio tridimensionale, dotato delle note coordinate $ rho, theta, phi$. La prima è solo locale, puoi ben capire perché. Non è possibile, sulla superficie sferica, costruire un atlante fatto di una sola carta. anzi, più carte metti e meglio é (chiedo scusa a matematici e fisici se mi esprimo con un linguaggio poco rigoroso: sono concetti che andrebbero approfonditi più adeguatamente) .
La metrica 3x3 è invece riferita allo spazio tridimensionale, fogliato con superfici sferiche: in pratica stai assumendo coordinate sferiche anziché cartesiane. Ma anche qui ci sarebbe molto da aggiungere.
Poi, le tre matrici/tensori che hai scritto, che significato hanno? La terza è quella dello spazio 3D dotato di coordinate sferiche, come detto. LA prima, potrebbe essere la metrica di uno spazio 3D piatto ( non spaziotempo , che di dimensioni ne ha 4 !! ) espressa in forma diagonale, in coordinate cartesiane, infatti l’elemento lineare diventa : $ ds^2 = dx^2 +dy^2 +dz^2$ . Ma la seconda mi sfugge.
Se c’é qualche amico, come Lampo o Sergeant Elias, o chiunque sappia e voglia aggiungere e/o rettificare quanto detto, ben venga.
La metrica 3x3 è invece riferita allo spazio tridimensionale, fogliato con superfici sferiche: in pratica stai assumendo coordinate sferiche anziché cartesiane. Ma anche qui ci sarebbe molto da aggiungere.
Poi, le tre matrici/tensori che hai scritto, che significato hanno? La terza è quella dello spazio 3D dotato di coordinate sferiche, come detto. LA prima, potrebbe essere la metrica di uno spazio 3D piatto ( non spaziotempo , che di dimensioni ne ha 4 !! ) espressa in forma diagonale, in coordinate cartesiane, infatti l’elemento lineare diventa : $ ds^2 = dx^2 +dy^2 +dz^2$ . Ma la seconda mi sfugge.
Se c’é qualche amico, come Lampo o Sergeant Elias, o chiunque sappia e voglia aggiungere e/o rettificare quanto detto, ben venga.
Grazie per la risposta tempestiva in merito,
La seconda è la metrica in cilindriche
quindi se io volessi calcolare la lunghezza di una curva utilizzando la metrica locale o quella in $\mathbb R^3$ dovrei avere risultati analoghi?
La seconda è la metrica in cilindriche
quindi se io volessi calcolare la lunghezza di una curva utilizzando la metrica locale o quella in $\mathbb R^3$ dovrei avere risultati analoghi?
se io volessi calcolare la lunghezza di una curva utilizzando la metrica locale o quella in R3 dovrei avere risultati analoghi?
Non sono sicuro di aver capito quello che chiedi. Ma se è come intuisco, la risposta è negativa.
Prendi una sfera 3D , nello spazio euclideo tridimensionale, LA superficie di questa sfera, è quella che in geometria differenziale si chiama 2-sfera. È una varietà differenziabile a 2 dimensioni, naturalmente ( ti stimolo a fare una ricerca su come si definisce una varietà differenziabile, che di solito si indica con $M$ , iniziale di “manifold” in inglese). Prendi un punto $P$ su questa sfera, e considera il piano tangente $T_PM$ alla sfera in P. Parlando in maniera molto disinvolta[nota]se poi qualche matematico vuole intervenire e dare concetti rigorosi, è gradito[/nota],su questo piano tangente puoi definire in P un sistema di coordinate locali, per esempio cartesiane, ma anche polari o come altro tu vuoi; lo spazio $T_P$ si può intendere come spazio vettoriale tangente alla 2-sfera in P , con la stessa dimensione $2$ del manifold; un elemento di $T_P$ è un vettore , che puoi dire “vettore tangente alla varietà” nel punto $P$ .
Un insieme di n vettori linearmente indipendenti in $T_P$ ( nell’esempio n = 2) è una base per $T_P$ .
SE abbiamo un sistema di coordinate ${x^i}$ in un intorno U di P , le coordinate definiscono una “base coordinata” $ {(del)/(delx^i)} = e_i $ per tutti i punti di U . Allora un vettore $barV$ in $P$ è dato da :
$barV = V^i (del)/(delx^i) $
dove le $V^i$ son le componenti del vettore in quella base. Naturalmente nulla impedisce di assumere un’altra base $ {(del)/(delx^j)} = bare_j $ e scrivere lo stesso vettore come :
$barV = V^j’ bar e_j$
e fin qui niente di nuovo: è solo un cambiamento di base in $T_PM $ nell’intorno U del punto P .
Il tensore metrico qui dove interviene ? si tratta di una applicazione lineare, che prende come argomenti due vettori $barV, barU$ e restituisce i loro prodotto scalare :
$g(barV,barU) = g(barU,barV) = barV*barU $
se esprimi i vettori in funzione di componenti e basi coordinate, hai , per la linearità :
$g(barV,barU) = g(e_i,e_j) V^iU^j = g_(ij) V^iU^j$
le quantità $g_(ij)$ sono le componenti del tensore metrico, che formano una matrice n x n simmetrica, come hai già trovato tu. Ma valgono solo localmente, cioè nell’intorno dato del punto P . In generale, se la varietà M é qualsiasi, le componenti del tensore metrico cambiano a seconda del punto P sulla varietà che hai assunto. Ogni varietà di dimensione n è localmente omeomorfa ( cerca che vuol dire!) ad $RR^n$ , quindi due varietà della stessa dimensione, e stessa classe di differenziabilità ( ad es $C^\infty$) che localmente sono indistinguibili a livello di geometria differenziale, non lo sono più quando si considera la loro struttura globale.
Dati due punti qualsiasi P e Q su una 2-sfera, una cosa è calcolare la lunghezza di una curva, per esempio una geodetica, sulla 2-sfera ; un’altra cosa è calcolare la lunghezza della linea che unisce P con Q quando la 2-sfera non c’è : spero che questo sia chiaro.
Non è materia che si digerisce da un giorno all’altro, ma è basilare se si vuole afferrare la geometria differenziale, e poi vedere come essa entra in teorie fisiche avanzate, come ad es. la relatività generale.
Ti metto dei link che ho trovato, nel caso volessi approfondire o chiarire certi concetti, perché io certo non sono il massimo, e ci sarebbero tante cose da dire. Il terzo link è un breve corso sull’argomento.
https://en.wikipedia.org/wiki/Local_reference_frame
https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_coordinates
http://www.math.toronto.edu/mein/teachi ... mNotes.pdf
nel paragrafo 1.2 del corso detto, rilevo questa frase importante :
To describe the entire planet ( Earth) , one uses an atlas with a collection of such charts, such that every point on the planet is depicted in at least one such chart.
This idea will be used to give an ‘intrinsic’ definition of manifolds, as essentially a collection of charts glued together in a consistent way. One can then try to de- velop analysis on such manifolds – for example, develop a theory of integration and differentiation, consider ordinary and partial differential equations on manifolds, by working in charts; the task is then to understand the ‘change of coordinates’ as one leaves the domain of one chart and enters the domain of another.
Ciao Shackle.
A mio parere, più banalmente, Giux intendeva chiedere se la lunghezza di una curva, nel caso in cui appartenga ad una superficie sferica, possa essere calcolata, indifferentemente, utilizzando il tensore metrico bidimensionale o il tensore metrico tridimensionale. Se questo è il caso, inutile dire che sarebbe del tutto indifferente.
"Giux":
... se io volessi calcolare la lunghezza di una curva utilizzando la metrica locale o quella in $\mathbb R^3$ dovrei avere risultati analoghi?
A mio parere, più banalmente, Giux intendeva chiedere se la lunghezza di una curva, nel caso in cui appartenga ad una superficie sferica, possa essere calcolata, indifferentemente, utilizzando il tensore metrico bidimensionale o il tensore metrico tridimensionale. Se questo è il caso, inutile dire che sarebbe del tutto indifferente.
Ciao Sergeant Elias. Se quella era la richiesta di Giux, è giusto ciò che dici. Attendiamo la sua risposta.
Voce di Wikipedia su metric tensor:
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Metric_tensor
Voce di Wikipedia su metric tensor:
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Metric_tensor
Grazie a tutti delle risposte, scusate se riapro dopo un po di tempo la discussione, ma ho avuto problemi di accesso.
Esattamente intendevo questo!
"anonymous_0b37e9":
A mio parere, più banalmente, Giux intendeva chiedere se la lunghezza di una curva nel caso in cui appartenga ad una superficie sferica, possa essere calcolata, indifferentemente, utilizzando il tensore metrico bidimensionale o il tensore metrico tridimensionale. Se questo è il caso, inutile dire che sarebbe del tutto indifferente.
Esattamente intendevo questo!
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