Tensore di levi civita e commutatori

[HaldoSax]

Buon giorno a tutti, . avrei una piccola domanda facile facile. In generale posso scrivere questa relazione:

$[v_i,v_j]=\varepsilon_{ijk}v_iv_j$

?

Perché ho provato a guardare in tanti siti ma non ho trovato risposta.

Grazie mille

[Spremiagrumi1]

Quando usi un tensore gli indici che compaiono due volte al secondo membro non devono esserci al primo, mentre gli indici che compaiono una sola volta al secondo devono comparire anche al primo (una sola volta).
Forse l'espressione che hai scritto è formalmente sbagliata anche se credo che basti definire quel commutatore come $c_k$ ad esempio e tutto torna. Lascio la parola ad altri più esperti, ma credo che sia corretta.

[redlex91-votailprof]

Assolutamente no!
Premetto alcune cose non utili alla questione in sé perché forse ho scritto nell'altro post qualcosa di non chiaro; sarò molto "sportivo". Se tu hai un tensore \(T^{ab}\), la sua parte antisimmetrica è definita come

\[
T^{[ab]}:=\frac{1}{2!}\{T^{ab}-T^{ba}\}
\]
Prendiamo ad esempio \(T^{ab}=v^av^b\) allora possiamo scrivere
\[
T^{[ab]}=v^{[a}v^{b]}=\frac{1}{2!}\{v^av^b-v^bv^a\}
\]
incidentalmente il commutatore di due "oggetti" \(A,B\) è definito come
\[
[A,B]:=AB-BA
\]
che eseguito su \(v^a,\,v^b\) dà
\[
[v^a,v^b]=v^av^b-v^bv^a=2v^{[a}v^{b]}
\]
che è la relazione che ho usato nell'altro post.

Nota l'enorme differenza fra
\[
[v^a,v^b]=\epsilon_{abc}v^av^b
\]
e
\[
[v^a,v^b]=2v^{[a}v^{b]}
\]
Mentre nel secondo caso hai due indici liberi a destra e due indici liberi a sinistra (ed è corretto), nel primo hai due indici liberi a sinistra e un indice libero a destra (stai sommando sugli indici ripetuti), e questo non ha senso: è come scrivere che una matrice \(n\times n\) è uguale a una \(n\)-nupla .

"Spremiagrumi":definire quel commutatore come \(c_k\) ad esempio e tutto torna. Lascio la parola ad altri più esperti, ma credo che sia corretta.

Anche no Scriveresti
\[
[v^a,v^b]=w^c
\]
giusto? È sbagliato per lo stesso motivo.

Forse ti confondi con relazioni del tipo
\[
[t^i,t^j]=\epsilon^{ij}_{\phantom{i}\phantom{j}k}t^k
\]
ma questa è la definzione di un'algebra di Lie (precisamente di \(\mathfrak{su}(2)\cong\mathfrak{so}(3)\)) mediante le costanti di struttura \(f_{ijk}=\epsilon_{ijk}\), data la base \(\{t_k\}_{k=1,\dots,3}\) (che trovi qui), e non una proprietà del tensore completamente antisimmetrico; ad esempio \(\mathfrak{su}(3)\) ha delle costanti di struttura completamente diverse (vedi qui).

Oppure, se \(T^{ab}\) è antisimmetrico allora esiste \(\omega_m\) tale che \(T^{ab}=\epsilon^{abm}\omega_m\): vi invito a dimostrarlo, è facile facile .

\[\begin{split}
T^{ab}=T^{[ab]}&=\frac{1}{2}\{T^{ab}-T^{ba}\}\\
&=\frac{1}{2}\{\delta^a_c\delta^b_d-\delta^b_c\delta^a_d\}T^{cd}\\
&=\frac{1}{2}\epsilon^{abm}\epsilon_{cdm}T^{cd}\\
&=\epsilon^{abm}\omega_m
\end{split}\]dove
\[
\omega_m:=\frac{1}{2}\epsilon_{cdm}T^{cd}
\]

Ciao

[Spremiagrumi1]

Ma se io dico che $epsilon_(123)=1$ e anche $epsilon_(213)=-1$, non potrei scrivere che

$epsilon_(123)v_1v_2+epsilon_(213)v_2v_1=v_1v_2-v_2v_1=w_3$ ?

Perché questo è sbagliato? Se lasciamo perdere contrazioni ma diamo solo dei valori a quel simbolo a seconda di come sono messi gli indici non dovrebbe risultare giusto?

Sto imparando a maneggiare i tensori da poco, quindi capita che mi confonda.

[redlex91-votailprof]

"Spremiagrumi":Ma se io dico che $epsilon_(123)=1$ e anche $epsilon_(213)=-1$, non potrei scrivere che

$epsilon_(123)v_1v_2+epsilon_(213)v_2v_1=v_1v_2-v_2v_1=w_3$ ?

Perché questo è sbagliato?

Così non è un'equazione fra tensori, giusto?

[Spremiagrumi1]

Giusto. Però forse non ha tanto senso scriverla, soprattutto in contesti dove si lavora con i tensori. Immagino che faccia confondere e basta.

[HaldoSax]

Grazie friction è la prima volta che utilizzo i tensori e ho notato che ho un gran casino in testa. Nell'altro post avevo capito i passaggi il dubbio mi è nato andando a vedere il prodotto vettoriale che possiamo scrivere $(a\times b)_i=\varepsilon_{ijk}a^jb^k$. E quindi avevo pensato che si potesse utilizzare la relazione scritta all'inizio.
Grazie ancora Friction e Spremiagrumi

[Spremiagrumi1]

"HaldoSax":
Grazie ancora Friction e Spremiagrumi

Grazie solo a Friction, che ha aperto gli occhi anche a me. Io volevo farti imbrogliare inserendo un indice per mascherare un tensore di rango 2 in un vettore (inconsapevolmente) ahah.

[Sk_Anonymous]

Chissà che questa discussione non possa esservi utile ….

viewtopic.php?f=19&t=128812&hilit=simbolo+permutazione#p827353

[redlex91-votailprof]

"HaldoSax":Grazie friction è la prima volta che utilizzo i tensori e ho notato che ho un gran casino in testa. Nell'altro post avevo capito i passaggi il dubbio mi è nato andando a vedere il prodotto vettoriale che possiamo scrivere $(a\times b)_i=\varepsilon_{ijk}a^jb^k$. E quindi avevo pensato che si potesse utilizzare la relazione scritta all'inizio.
Grazie ancora Friction e Spremiagrumi

Questa relazione
\[
(a\times b)_i=\varepsilon_{ijk}a^jb^k
\]
è corretta, infatti hai un vettore a sinistra ed un vettore a destra (anzi se \(a^i,b^i\) sono vettori polari, ovvero cambiano segno rispetto all'inversione \(x^i\rightsquigarrow -x^i\), si parla di pseudovettore perché le sue componenti non cambiano segno rispetto all'inversione spaziale). E fin qui tutto a posto.

In questo thread (che secondo me potrebbe essere unito al presente) abbiamo sfruttato la seguente fondamentale proprietà (prendiamo per semplicità tensori di rango 2): siano \(A^{ab}\) \(S_{ab}\) tensori rispettivamente antisimm. e simm. negli indici \((a,b)\), allora la contrazione \(A^{ab}S_{ab}\equiv0\); dimostrazione banale!

\[\begin{split}
2A^{ab}&=2A^{[ab]}=A^{ab}-A^{ba}\\
2S_{ab}&=2S_{(ab)}=S_{ab}+S_{ba}\\
4A^{ab}S_{ab} &= \{A^{ab}-A^{ba}\}\{S_{ab}+S_{ba}\}\\
&=A^{ab}S_{ab}+A^{ab}S_{ba}-\underbrace{A^{ba}S_{ab}-A^{ba}S_{ba}}_{a\leftrightarrow b}\\
&=A^{ab}S_{ab}+A^{ab}S_{ba}-\{A^{ab}S_{ba}+A^{ab}S_{ab}\}\\
&\equiv0\\
\end{split}\]
in quanto gli indici contratti sono muti e quindi negli ultimi due termini (quelli col \(-\)) possiamo scambiare \(a\leftrightarrow b\)

Corollario: se \(T^{ab}\) è un tensore generico e \(B_{ab}=B_{[ab]}\) oppure \(B_{ab}=B_{(ab)}\) allora si ha rispettivamente
\[\begin{split}
T^{ab}B_{ab}&=T^{[ab]}B_{ab}\\
T^{ab}B_{ab}&=T^{(ab)}B_{ab}
\end{split}\]
Basta scrivere \(T^{ab}=T^{[ab]}+T^{(ab)}\) e poi contrarre: \(B\) si "mangia" la parte simm. o antisimm. risp di \(T\).

Nel caso del tuo esercizio grazie al fatto che \(\epsilon_{ijk}\) è completamente antisimmetrico, si poteva "estrarre" \(v^{[j}v^{k]}\). Avresti potuto anche prendere \(\epsilon_{ijk}\sigma^i v^j v^k=\epsilon_{ijk}\sigma^{[i} v^j v^{k]}\) e dopo qualche raccoglimento avresti comunque isolato i commutatori. Per ora abbiamo fatto solo un po' di algebretta.

Ora, in presenza di un campo magnetico uniforme il potenziale vettore è dato da (vedi ad esempio Landau, Lifshitz - Course of Theoretical Physics, Vol. 2, §19)
\[
A^k=\frac{1}{2}(\vec{B}\times \vec{r})^k=\frac{1}{2}\epsilon^{kij}B_i r_j
\]
in approssimazione semiclassica, utilizzando la "sostituzione minimale" (ibidem, §17)
\[
p^k\rightsquigarrow p^k-\frac{e}{c}A^k
\]
possiamo (anzi, puoi ) calcolare il commutatore delle velocità
\[ v^k=\frac{p^k-\frac{e}{c}A^k}{m}\]

\[\begin{split}
[v^i,v^j]&=\frac{1}{m^2}[p^i-\frac{e}{c}A^i,p^j-\frac{e}{c}A^j]\\
&=\frac{1}{m^2}\left\{\underbrace{[p^i,p^j]}_{=0}-\frac{e}{c}[p^i,A^j]-\frac{e}{c}[A^i,p^j]+\frac{e^2}{c^2}\underbrace{[A^i,A^j]}_{=0}\right\}
\end{split}\]
abbiamo due commutatori nulli: il primo è ovvio, il secondo è invece
\[
[A^i,A^j]=\frac{1}{4}\epsilon^{ilm}\epsilon^{jrs}B_lB_r[r_m,r_s]=0
\]
rimangono da calcolare quelli "misti". Vediamo
\[
[p^i,A^j]=\frac{1}{2}\epsilon^{jlm}B_l[p^i,r_m]=\frac{1}{2}\epsilon^{jlm}B_l\frac{\hbar}{\imath}\delta^{i}_{\phantom{i}m}=\frac{\hbar}{2\imath}\epsilon^{jli}B_l=\frac{\hbar}{2\imath}\epsilon^{ijl}B_l
\]
il secondo è analogo
\[
[A^i,p^j]=-[p^j,A^i]=-\frac{\hbar}{2\imath}\epsilon^{jil}B_l=\frac{\hbar}{2\imath}\epsilon^{ijl}B_l
\]

il risultato è
\[
[v^i,v^j] = \frac{e\hbar\imath}{cm^2}\epsilon^{ijk}B_k=\frac{2}{m}\imath\mu_B\epsilon^{ijk}B_k
\]
che a parte il fattore \(\frac{e}{c}\), che rende l'hamiltoniana dimensionalmente corretta se \(\vec{A}\) è il potenziale vettore, è la misteriosa relazione che ti dava il testo!

Punto fondamentale della questione: questa relazione si ricava utilizzando le canonical commutation relations (CCR) (che sono fra i postulati della meccanica quantistica non relativistica), e che in ultimo sono tra le relazioni che definiscono l'algebra di Galilei (con estensione centrale) (vedi qui) che è l'algebra associata al gruppo delle trasformazioni di Galilei (per questo evidenzio che valgono in MQ non relativistica... in teoria dei campi non si usa il gruppo di Galilei ma quello di Poincaré); di più non chiedermi a riguardo perché non so

Osservo anche che: scrivo i pedici in alto ed in basso per abitudine ma in realtà non ha nessuna importanza dato che stiamo usando una metrica Riemanniana, definita come
\[
ds^2=dx^idx_i=dx^idx^j\delta_{ij}=dx^2+dy^2+dz^2\quad\text{(metrica Euclidea)}
\]
con
\[
\delta_{ij}=
\begin{bmatrix}
1 &0 &0\\
0 &1 &0\\
0 &0 &1
\end{bmatrix}
\]
In Geometria Differenziale indici alti e bassi hanno in generale un diverso significato! Ad esempio in Relatività Ristretta si usa spesso una metrica Lorentziana, definita come
\[
ds^2=dx^\alpha dx^\beta \eta_{\alpha\beta}=dx^\alpha dx_\alpha=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2\quad\text{(metrica di Minkowski)}
\]
con
\[
\eta_{\alpha\beta}=
\begin{bmatrix}
1 &0 &0 &0\\
0 &-1 &0 &0\\
0 & 0 &-1 &0 \\
0 & 0 & 0 &-1
\end{bmatrix}
\]

Scusate per la lungaggine
Ciao

[HaldoSax]

Super esauriente, grazie Friction. Un discorso limpido e chiaro adesso comincio a intravedere la luce.

Buona giornata