Tensore di inerzia

[pigrecoedition]

Salve,
Voglio proporvi un problema che riguarda il tensore di inerzia. Sappiamo che il tensore di inerzia è simmetrico e dunque diagonalizzabile, una terna in cui tale tensore è rappresentato da una matrice simmetrica è detta terna principale di inerzia. La terna principale di inerzia è una terna rispetto alla quale è simmetrico un solido oppure è simmetrica l'ellissoide di inerzia?
Grazie.

[Shackle]

L'ellissoide.
Dato un corpo rigido qualsiasi, anche senza alcuna simmetria, e un punto P , dentro o fuori del corpo (lo puoi prendere anche sulla Luna! ) , nel punto P esiste una terna principale di inerzia per il corpo.

[pigrecoedition]

Quindi non posso dire che gli assi principali di inerzia sono assi di simmetria per un solido?

[donald_zeka]

Puoi dire che gli assi di simmetria sono principali d'inerzia (per essere precisi, devono essere assi di simmetria materiali...)

[Shackle]

"Vulplasir":Puoi dire che gli assi di simmetria sono principali d'inerzia (per essere precisi, devono essere assi di simmetria materiali...)

Spiega meglio , Vulpalsir, altrimenti qualcuno non capisce. Non basta la simmetria "geometrica" , ci vuole anche una simmetria nella distribuzione delle masse, se non si suppone che il corpo rigido sia omogeneo.

Prendiamo il corpo rigido più simmetrico che possiamo immaginare, una sfera omogenea , di massa $M$ , centro $O$ e raggio $R$ . aggiungiamo sulla superficie della sfera una massa puntiforme in un punto $P$ , di massa $m$ : la simmetria geometrica della sfera non è cambiata, perché il volume di $P$ si suppone nullo.
Ma aggiungendo $(P,m)$ abbiamo appena distrutto una infinità di assi di simmetria materiale .
L'asse passante per $P$ ed $O$ è un asse di simmetria, ed è principale di inerzia per tutti i suoi punti, perché passa per il CM ( è condizione necessaria e sufficiente , si dimostra) . Per avere altri assi principali di inerzia, che facciano parte di una terna principale di cui fa parte l'asse detto, dobbiamo considerare un piano qualunque, perpendicolare alla retta detta, e una qualunque coppia di assi tra loro perpendicolari, giacenti nel piano ora tracciato , con origine nel punto di intersezione con la retta .