Tensore

[supercecco]

Mi chiedevo se esistesse un tensore che in una certa base è rappresentato da una matrice simmetrica ma in un'altra base è una matrice qualunque; in pratica mi interessa sapere se per mostrare che un tensore sia simmetrico basta provare che in una base ha matrice simmetrica

[Didodock]

"supercecco":Mi chiedevo se esistesse un tensore che in una certa base è rappresentato da una matrice simmetrica ma in un'altra base è una matrice qualunque; in pratica mi interessa sapere se per mostrare che un tensore sia simmetrico basta provare che in una base ha matrice simmetrica

è la regola.

[supercecco]

"Didodock":[quote="supercecco"]Mi chiedevo se esistesse un tensore che in una certa base è rappresentato da una matrice simmetrica ma in un'altra base è una matrice qualunque; in pratica mi interessa sapere se per mostrare che un tensore sia simmetrico basta provare che in una base ha matrice simmetrica

è la regola.[/quote]

MM forse non mi sono espresso bene, la regola mi dice che un tensore è simmetrico se e solo se viene rappresentato da matrici simmetriche in ogni base, ma non mi pare che provare la simmetria in una sola base sia sufficiente a dimostrare la simmetria del tensore, a meno che cambiando la base la matrice resti simmetrica ma di questo nn sono certo

[Studente Anonimo]

"... a meno che cambiando la base la matrice resti simmetrica ..."

Secondo me, basta considerare la formula di trasformazione di un tensore e vedere se tale formula lascia invariata la "simmetricità".

ps. ovviamente, stiamo parlando di tensori del secondo ordine definiti alla Ricci-Curbastro, cioè come entità che si trasformano, in un cambiameto di coordinate, secondo certe ben definite formule. Per tensori di ordine superiore il problema si pone per coppie di indici.

Per altri tipi di definizioni di tensore bisognerà vedere caso per caso.

[Didodock]

"supercecco":[quote="Didodock"][quote="supercecco"]Mi chiedevo se esistesse un tensore che in una certa base è rappresentato da una matrice simmetrica ma in un'altra base è una matrice qualunque; in pratica mi interessa sapere se per mostrare che un tensore sia simmetrico basta provare che in una base ha matrice simmetrica

è la regola.[/quote]

MM forse non mi sono espresso bene, la regola mi dice che un tensore è simmetrico se e solo se viene rappresentato da matrici simmetriche in ogni base, ma non mi pare che provare la simmetria in una sola base sia sufficiente a dimostrare la simmetria del tensore, a meno che cambiando la base la matrice resti simmetrica ma di questo nn sono certo[/quote]

se $A \in \mbox{Lin }$, un cambio di base non varia la proprietà di simmetria; ovvero se la matrice associata è simmetrica rispetto ad una base, lo è anche per tutte le altre. Per dimostrarlo di consiglio di considerare la rappresentazione di una matrice mediante il prodotto diadico dei vettori colonna per i vettori di base, ovvero
$A=\sum_{i,j=1}^{3}v_i\otimese_j$
considera poi la stessa rappresentazione in una base $e'_i$, ottenuta da $e_i$ tramite una trasformazione $Q$. Vedrai allora che la matrice ottenuta è ancora simmetrica.

[supercecco]

Grazie ad entrambi ora ho tutto + chiaro