Tensione filo...

[zannas]

Nel piano Oxy con y verticale ascendente, un disco omogeneo di massa m e raggio R appoggia senza attrito su sue aste AB e AC di massa trascurabile e di uguale lunghezza l, incernierate in A a un supporto esterno fisso. Gli estremi B e C delle aste sono collegati da un filo ideale, di massa trascurabile, in modo che sia $2 alpha$ l'angolo BAC. Supposto che il sistema sia in equilibrio (la retta y sia bisettrice dell'angolo BAC) si chiede di terminare con PLV la tensione del filo.

Il mio metodo (errato):
Associo una rotazione $-csi$ rotazione infinitesima su A
$vec tau* vec (delta C) + m vec g * vec(delta G) = 0$
$vec(delta C) = -vec psi x AC = psi l cos (alpha) vec i - psi l sin (alpha) vec j$
$vec tau = -tau vec i$
Prendendo M come punto dove il cerchio tange l'asta
$AM =R/tan(alpha) (sin alpha vec i + cos alpha vec j)$
$delta M = -vec psi x AM = R/(tg(alpha)) cos(alpha) psi vec i - R cos(alpha) psi vec j$
G = punto dove è applicata la forza peso
quindi se data una rotazione infinitesima $psi$ l'asta si abbassa di $R cos(alpha) psi$ per simmetria anche l'altra asta si abbasserà di $R cos(alpha) psi$ e quindi anche G si abbasserà di $R cos(alpha) psi$
$=> -tau psi l cos alpha - g m (-psi) R cos alpha = 0$
$tau = gmR/l$
è errato in quanto dovrebbe essere: $tau = gmR/(2 l sin^2(alpha))$

[Conte_De_Saint_venant]

Sinceramente non capisco il disegno....ANzi esattamente non capisco dove stia il disco...Magari metti un disegno....ti aiuto volentieri

[zannas]

clicca per vedere il disegno

[zannas]

uppete

[Conte_De_Saint_venant]

Scusa che non ti ho risposto prima ho avuto impegni....

allora per il calcolo delle coordinate del baricentro del disco:

$y= tan alpha x$
retta che descrive tutte i punti dell'asta nel primo quadrante.

$x^2 + (y- y_g)^2=R^2$

sostituendo e riordinando rispetto a y si ha:

$ (1+tan^2 alpha) y^2 - 2 y y_g + (y_g^2 -R^2)=0$

imponendo al condizione di tangenza ($delta=0) ottengo ysubg:

$y_g= R /(sin alpha)$


QUINDI:

$vec (OG)= R /(sin alpha) vec j $
$vec(OB)= l (cos alpha vec i + sin alpha j)$

le forze sono:
$ vec (F_(grav))=-mg vecj$
$ vec T=t_x vec i$

Ho supposto la forza agente sull'asta per effetto della presenza del filo con il segno positivo. A riogore dovrei considerare l'altra componente nel secodno quadrante ma per la simmetria la considero contanto due volte il lavoro virtuale che fa $ vec T$ per lo spostamento virtuale $d alpha$


Scrivo le quantità virtuali:
$d(vec(OG))= -R cos alpha/(sin^2 alpha) d alpha$
$d(vec(OB))=l ( -sin alpha vec i + cos alpha vec j) d alpha$


imponendo nullo il lavoro virtuale eseternoa ttorno alla posizione di equilinrio:


$dLe=0= vec F_( grav) * d(vec(OG)) + 2 vecT* d(vec(OB))$

sostituendo le quantità sopra trovate si ottiene:

$T=- (mgR)/(sin^2 alpha l)$

che è il risultato cercato.

Commento al segno meno:

Nello scrivere l'equazione di lavori virtuali ho considerato la T che era la forza che risentiva l'asta per l'effettuo dell'azione mutua che si scambiano filo e asta nel punto di contatto. Se ipotizzo che sia positiva sull'asta, allora sarà uguale è opposta sul filo, ovvero il filo sarebbe compresso (Impossibile!!!!). Poichè ho ipotizzato che la forza sia diretta nel verso positivo e mi è uscita col sgno meno dai calcoli vuol dire che essa ha verso opposta ovvero negativa sull'asta e positiva sul filo (filo teso) quindi la tensione è proprio quella calcolata...
Non so se sono stato abbastaza chiaro(anche perchè scrivo d fretta)...nel caso fammi sapere cercherò di migliorare.

Ciao.