Tensione di un filo in funzione del tempo durante il moto

[Peppermint1]

Ciao, ho un dubbio sulla risoluzione di un esercizio:

Ho una sbarra rigida, liscia e omogenea lunga L e di massa M. Un suo estremo A è incernierato al pavimento mentre B è appesa al soffitto tramite una corda inestensibile. La corda è verticale e la sbarra forma con il pavimento un angolo $\theta=30°$
Mi viene chiesto di calcolare la tensione del filo e la reazione esercitata dal vincolo A all'equilibrio (e fin qui tutto ok)
Poi mi dice che a un certo istante viene messo in B un punto materiale di massa m che quando viene lasciato libero inizia a muoversi lungo la sbarra, arriva in A e poi prosegue lungo il piano orizzontale.
Mi chiede di determinare la tensione della corda in funzione del tempo durante il moto del punto materiale lungo la sbarra.



allora ho pensato che la tensione del filo vale $T=1/2*M*G+m*g+...$ cioè ovviamente la tensione dovuta alla sbarra e quella dovuta al punto materiale più un termine in funzione del tempo dovuto al punto materiale che si sposta

dalle formule per il piano inclinato so che l'accelerazione vale $m*g*sen\theta=m*a to a=g*sen(30)=1/2*g$
e che quindi la forza che si esercita e si oppone alla tensione è $F=m*a=1/2*m*g$
che però non dipende dal tempo quindi avevo pensato all'equazione del moto uniformemente accelerato ma i conti non mi tornano...

[Studente Anonimo]

Se orienti, lungo il piano inclinato, un asse verso il basso con l'origine in $B$:

$[T_B=sqrt3/2mg(L-x(t))+sqrt3/4MgL] ^^ [0lt=xlt=L]$

essendo $x(t)$ l'ascissa del punto materiale dipendente dal tempo.

[Peppermint1]

Grazie mille!
Guardando la soluzione del prof però lui da come risultato $T(t)=1/2 Mg+mg-1/(4L)m*g^2 t^2$ e non riesco a capire come questa equazione si lega al tempo.
Per esempio il termine mg, in teoria quando la pallina smette di rotolare sulla sbarra e rotola sul piano orizzontale, dovrebbe sparire ma per come compare nella soluzione rimane costante..

[Studente Anonimo]

"anonymous_0b37e9":
$[T_B=sqrt3/2mg(L-x(t))+sqrt3/4MgL] ^^ [0lt=xlt=L]$

Scusami, avevo dimenticato il braccio della tensione, non tornava nemmeno dimensionalmente:

$[sqrt3/2T_BL=sqrt3/2mg(L-x(t))+sqrt3/4MgL] rarr$

$rarr [T_B=(mg)/L(L-x(t))+1/2Mg] ^^ [0lt=xlt=L]$

Quindi, trattandosi di un moto uniformemente accelerato:

$[x(t)=1/4g t^2] rarr [T_B=(mg)/L(L-1/4g t^2)+1/2Mg] rarr$

$rarr [T_B=-1/(4L)mg^2t^2+mg+1/2Mg]$

a patto che $[0lt=xlt=L]$, ossia, $[0lt=tlt=sqrt((4L)/g)]$.

"Peppermint":
... il termine mg ...

Hai senz'altro ragione, si tratta di una funzione definita a tratti:

$[tgt=sqrt((4L)/g)] rarr [T_B=1/2Mg]$

Infatti, se sostituisci $[t=sqrt((4L)/g)]$ in $[T_B=-1/(4L)mg^2t^2+mg+1/2Mg]$, ottieni proprio $[T_B=1/2Mg]$.

Tuttavia:

"Peppermint":
Mi chiede di determinare la tensione della corda in funzione del tempo durante il moto del punto materiale lungo la sbarra.

Se rispetti la consegna alla lettera, non sei tenuto a considerare la seconda fase.