Tensione ai capi di una fune
Salve,
la mia domanda è per certi versi non banale, ma banalissima. Però, come spesso accade, quelle che vengono spesso definite banalità si danno per assodate e diventano delle vere e proprie latenze..
Ciò che devo chiedere riguarda la tensione ai capi di una fune; avendo su un piano inclinato un sistema formato da un filo inestensibile che collega due masse, so che esse avranno la stessa accelerazione. Ma perchè le tensioni ai capi del filo sono anche uguali?
potrei pur prender ciò per acquisizione autoevidente, ma poi non capisco perchè la tensione vari in talatri casi (esempio: fune su carrucola che collega due masse, l'una sospesa nel vuoto, l'altra su un piano inclinato)..
Da cosa posso dire che le tensioni ai capi di una fune saranno uguali?
la mia domanda è per certi versi non banale, ma banalissima. Però, come spesso accade, quelle che vengono spesso definite banalità si danno per assodate e diventano delle vere e proprie latenze..
Ciò che devo chiedere riguarda la tensione ai capi di una fune; avendo su un piano inclinato un sistema formato da un filo inestensibile che collega due masse, so che esse avranno la stessa accelerazione. Ma perchè le tensioni ai capi del filo sono anche uguali?
potrei pur prender ciò per acquisizione autoevidente, ma poi non capisco perchè la tensione vari in talatri casi (esempio: fune su carrucola che collega due masse, l'una sospesa nel vuoto, l'altra su un piano inclinato)..
Da cosa posso dire che le tensioni ai capi di una fune saranno uguali?
Risposte
La tensione in un filo è uguale ai capi di questo, così come in ogni suo altro punto, se il filo può essere considerato ideale.
Affinchè un filo possa essere considerato tale deve risultare inestensibile e di massa trascurabile rispetto le altre masse che sono in gioco in quella circostanza.
Nell'ambito quindi di questa approssimazione, si ha appunto che la tensione è uniforme per tutta la lunghezza del cavo.
Un altro motivo per cui la tensione può non essere uguale ai due capi di una fune è nel caso in cui ci sia una puleggia di massa non trascurabile intorno a cui è avvolto. E questo anche nel caso di corda ideale.
Affinchè un filo possa essere considerato tale deve risultare inestensibile e di massa trascurabile rispetto le altre masse che sono in gioco in quella circostanza.
Nell'ambito quindi di questa approssimazione, si ha appunto che la tensione è uniforme per tutta la lunghezza del cavo.
Un altro motivo per cui la tensione può non essere uguale ai due capi di una fune è nel caso in cui ci sia una puleggia di massa non trascurabile intorno a cui è avvolto. E questo anche nel caso di corda ideale.
@eugeniobene58
Sì, ma si chiedeva il perché...
Per una fune di massa nulla tesa tra due punti materiali vale:
$m vec a=vec T_1 + vec T_2$
quindi poiché la massa è nulla deve essere, qualunque sia $vec a$, per forza $vec T_1= -vec T_2$, cioè le forze di tensione della fune da una parte e dell'altra sono uguali ed opposte, e appunto tendono la fune..
Nel caso di fune sempre di massa nulla aderente ad una puleggia vale invece:
$m vec a \equiv 0 = vec T_1+ vec T_2 -vec R$ con $vec R$ reazione risultante tra puleggia e fune.
Per cui se la reazione della puleggia non è nulla le tensioni da una parte e dell'altra possono essere diverse.
Per calcolare in questo caso il valore delle tensioni occorre scrivere l'equazione del momento angolare della puleggia e le equazioni di Newton delle altre masse in gioco.
Sì, ma si chiedeva il perché...
Per una fune di massa nulla tesa tra due punti materiali vale:
$m vec a=vec T_1 + vec T_2$
quindi poiché la massa è nulla deve essere, qualunque sia $vec a$, per forza $vec T_1= -vec T_2$, cioè le forze di tensione della fune da una parte e dell'altra sono uguali ed opposte, e appunto tendono la fune..
Nel caso di fune sempre di massa nulla aderente ad una puleggia vale invece:
$m vec a \equiv 0 = vec T_1+ vec T_2 -vec R$ con $vec R$ reazione risultante tra puleggia e fune.
Per cui se la reazione della puleggia non è nulla le tensioni da una parte e dell'altra possono essere diverse.
Per calcolare in questo caso il valore delle tensioni occorre scrivere l'equazione del momento angolare della puleggia e le equazioni di Newton delle altre masse in gioco.
Ah quindi nel caso della puleggia, vi sono altre forze per cui non si può avere un T conforme.. Vi ringrazio entrambi! buon finesettimana 
vero vero, sono stato un po' un cialtrone navigatore...dovevo essere più preciso.
ora comunque non mi torna una cosa a me...ma quella $\vec R$ che hai scritto, navigatore, come fa a annullarsi??
ora comunque non mi torna una cosa a me...ma quella $\vec R$ che hai scritto, navigatore, come fa a annullarsi??
Dovevi essere più preciso a rispondere anche ora: non sono navigatore 
Per il dubbio non l'ho capito, la $vec R$ non si annulla nel caso della puleggia (puleggia libera di ruotare attorno al suo asse fisso ovviamente), mentre nel caso della fune tra due masse oltre alle tensioni nessun'altra forza agisce.
Per il dubbio non l'ho capito, la $vec R$ non si annulla nel caso della puleggia (puleggia libera di ruotare attorno al suo asse fisso ovviamente), mentre nel caso della fune tra due masse oltre alle tensioni nessun'altra forza agisce.
mi scuso per lo scambio di identità auhauhhau spero mi perdoni
comunque è che avevo frainteso un po' la tua risposta.
dopo aver detto del caso in cui la corda sia arrotolata intorno a una puleggia, di cui hai giustamente riportato la prima cardinale, successivamente scrivi
e quindi, mi son chiesto, ma come fa a annullarsi $\vec R$ se la puleggia deve sostenere corda e eventuali masse attaccate ai sui capi?
comunque ho capito ora...
spero mi perdonicomunque è che avevo frainteso un po' la tua risposta.
dopo aver detto del caso in cui la corda sia arrotolata intorno a una puleggia, di cui hai giustamente riportato la prima cardinale, successivamente scrivi
"Faussone":
Per cui se la reazione della puleggia non è nulla le tensioni da una parte e dell'altra possono essere diverse.
e quindi, mi son chiesto, ma come fa a annullarsi $\vec R$ se la puleggia deve sostenere corda e eventuali masse attaccate ai sui capi?
comunque ho capito ora...
Hai ragione quella espressione è un po' infelice e si presta a malintesi, dovevo scrivere piuttosto:
"per cui poiché in generale la reazione della puleggia non è nulla le tensioni da una parte e dell'altra possono essere diverse."
"per cui poiché in generale la reazione della puleggia non è nulla le tensioni da una parte e dell'altra possono essere diverse."
Non è escluso che anche Faussone possa navigare.
Comunque, giusto per intromettermi solo un po', Faussone permettendo, io capisco che la difficoltà che incontrano gli studenti alle prime armi con questi problemi sta nel fatto che non si rendono ben conto di come funzioni il principio di "azione e reazione" in un sistema meccanico.
Per alcuni (Dino può confermare) risulta (quasi) incomprensibile il fatto che due forze interne ad un sistema si possano fare equilibrio, anche se il sistema è in moto. Mi spiego con un esempio. Se due masse sono collegate tra loro da un filo ideale, perfettamente flessibile e inestensibile, e se una massa tira l'altra con una forza $vecT$, la seconda tira la prima con la forza $-vecT$.
Esempio semplice: se un carro attrezzi rimorchia l'auto di Faussone in panne con un cavo ideale, oppure una pilotina rimorchia la barca di navigatore in avaria con lo stesso cavo, il tiro che il carro attrezzi esercita sull'auto in panne è uguale e contrario al tiro che l'auto in panne esercita sul carro attrezzi, indipendentemente dallo stato di moto del sistema: si tratta di forze interne, che si equilibriano.
E cosi succede, ad esempio, nelle due masse della macchina di Atwood, di cui una scende e l'altra sale.
Faussone, porta la macchina dal meccanico.
Comunque, giusto per intromettermi solo un po', Faussone permettendo, io capisco che la difficoltà che incontrano gli studenti alle prime armi con questi problemi sta nel fatto che non si rendono ben conto di come funzioni il principio di "azione e reazione" in un sistema meccanico.
Per alcuni (Dino può confermare) risulta (quasi) incomprensibile il fatto che due forze interne ad un sistema si possano fare equilibrio, anche se il sistema è in moto. Mi spiego con un esempio. Se due masse sono collegate tra loro da un filo ideale, perfettamente flessibile e inestensibile, e se una massa tira l'altra con una forza $vecT$, la seconda tira la prima con la forza $-vecT$.
Esempio semplice: se un carro attrezzi rimorchia l'auto di Faussone in panne con un cavo ideale, oppure una pilotina rimorchia la barca di navigatore in avaria con lo stesso cavo, il tiro che il carro attrezzi esercita sull'auto in panne è uguale e contrario al tiro che l'auto in panne esercita sul carro attrezzi, indipendentemente dallo stato di moto del sistema: si tratta di forze interne, che si equilibriano.
E cosi succede, ad esempio, nelle due masse della macchina di Atwood, di cui una scende e l'altra sale.
Faussone, porta la macchina dal meccanico.
navigatore,
le tue risposte sono sempre molto spassose e divertenti.
La mia macchina ogni tanto mi ha lasciato a piedi in effetti, come lo sapevi?
Il contenuto fisico della risposta invece lo condivido sì, ma io non centrerei la questione più di tanto sul principio di azione e reazione, solo con quello infatti potrebbe non essere evidente perché sia importante che il cavo abbia massa nulla.
...ma è una questione di gusti. E io e navigatore sovente abbiamo gusti incompatibili
le tue risposte sono sempre molto spassose e divertenti.
La mia macchina ogni tanto mi ha lasciato a piedi in effetti, come lo sapevi?Il contenuto fisico della risposta invece lo condivido sì, ma io non centrerei la questione più di tanto sul principio di azione e reazione, solo con quello infatti potrebbe non essere evidente perché sia importante che il cavo abbia massa nulla.
...ma è una questione di gusti. E io e navigatore sovente abbiamo gusti incompatibili
ora solo perchè ti ho nominato ti senti chiamato in causa?? comunque comprendo molto bene quello che hai detto, navigatore (stavolta non sbaglio)
il terzo principio è molto più difficile, e importante di quel che che sembra quando ti viene presentato la prima volta...io per comprenderlo appieno ho dovuto aspettare di iniziare il corso di tecnica delle costruzioni (anche se poi l'ho abbandonato per altre ragioni) in cui, la prima lezione, il prof ci ha lasciato tutti di stucco quando ci ha detto semplicemente di analizzare le forze che agiscono sul gesso sul banco...tutto si credeva la reazione di 3 principio al peso di questo fosse quella fatta dal tavolo...GRAVISSIMO errore! è quella che il gesso fa sulla terra.
il terzo principio è molto più difficile, e importante di quel che che sembra quando ti viene presentato la prima volta...io per comprenderlo appieno ho dovuto aspettare di iniziare il corso di tecnica delle costruzioni (anche se poi l'ho abbandonato per altre ragioni) in cui, la prima lezione, il prof ci ha lasciato tutti di stucco quando ci ha detto semplicemente di analizzare le forze che agiscono sul gesso sul banco...tutto si credeva la reazione di 3 principio al peso di questo fosse quella fatta dal tavolo...GRAVISSIMO errore! è quella che il gesso fa sulla terra.
Bè, io al tuo professore avrei detto così : "Niente gravissimo errore, professore mio. Sei tu che hai delle gravi paturnie.
È vero che il peso del pezzo di gesso è dovuto all'attrazione gravitazionale della Terra. Ma questo peso è applicato sul tavolo, il quale lo trasmette al pavimento, il quale lo trasmette alle fondamenta del palazzo, il quale lo trasmette alla Terra, la quale reagisce al palazzo, che reagisce al pavimento, che reagisce al tavolo, che reagisce al pezzo di gesso"
Ecco, non so se mi sono dimenticato qualche anello della catena. Penso di no.
Il succo del terzo principio è questo : se tiri un cavo ai due estremi, in qualunque sezione del cavo
esiste una tensione uguale alla tensione ad un estremo. Se tagli il cavo, ottieni due facce: su ciascuna di esse devi applicare la forza che il pezzo tagliato esercitava sul pezzo rimasto, se vuoi che i due pezzi restino in equilibrio.
E così fare i diagrammi di "corpo libero" diventa uno scherzo.
È vero che il peso del pezzo di gesso è dovuto all'attrazione gravitazionale della Terra. Ma questo peso è applicato sul tavolo, il quale lo trasmette al pavimento, il quale lo trasmette alle fondamenta del palazzo, il quale lo trasmette alla Terra, la quale reagisce al palazzo, che reagisce al pavimento, che reagisce al tavolo, che reagisce al pezzo di gesso"
Ecco, non so se mi sono dimenticato qualche anello della catena. Penso di no.
Il succo del terzo principio è questo : se tiri un cavo ai due estremi, in qualunque sezione del cavo
esiste una tensione uguale alla tensione ad un estremo. Se tagli il cavo, ottieni due facce: su ciascuna di esse devi applicare la forza che il pezzo tagliato esercitava sul pezzo rimasto, se vuoi che i due pezzi restino in equilibrio.
E così fare i diagrammi di "corpo libero" diventa uno scherzo.
ahahah.. chi l'avrebbe detto che avrei dato vita ad una discussione cosi interessante?
Ad ogni modo, l'unico vincolo che pongo all'identificazione smodata del terzo principio è il fare attenzione al fatto che le forze non siano applicate allo stesso corpo..
Mi spiego meglio: nel caso di una fune con un estremo attaccato al soffitto e con un corpo attaccato all'altro estremo, si avrà che il corpo sarà soggetto alla forza peso, di conseguenza la fune, che non si smembra, avrà una tensione $vecT$ che esprime fisicamente la resistenza della fune alla sua rottura.
Ma tale tensione, non è la reazione alla forza peso del corpo! la reazione di tale forza sarà la forza di reazione vincolare del soffitto, diretta in verso opposto alla forza peso..
Ad ogni modo, l'unico vincolo che pongo all'identificazione smodata del terzo principio è il fare attenzione al fatto che le forze non siano applicate allo stesso corpo..
Mi spiego meglio: nel caso di una fune con un estremo attaccato al soffitto e con un corpo attaccato all'altro estremo, si avrà che il corpo sarà soggetto alla forza peso, di conseguenza la fune, che non si smembra, avrà una tensione $vecT$ che esprime fisicamente la resistenza della fune alla sua rottura.
Ma tale tensione, non è la reazione alla forza peso del corpo! la reazione di tale forza sarà la forza di reazione vincolare del soffitto, diretta in verso opposto alla forza peso..
comunque Navigatore stavo pensando: riguardo al camion che tira un'auto, mi hai detto che l auto esercita una forza uguale e contraria a quella che esercita il camion.. anche se il sistema è in moto.. ma la mia domanda è: come fa il sistema ad essere in moto, se l'auto applica al carro una forza uguale e contraria?
Dino, la tensione della fune che sostiene la massa è uguale in tutte le sezioni della fune! Anche a distanza infinitesima dall'attacco alla massa sospesa, esiste la tensione, ed è uguale in valore al peso della massa.
Mica la reazione esiste solo nel punto in cui la fune si attacca al soffitto! Come si trasmette la tensione dalla massa al gancio? Pensaci un attimo, ho cercato di spiegarlo prima: taglia la fune in qualunque sezione, e dimmi che devi fare se vuoi che la massa non cada e il filo rimanga teso come prima.
Ecco, vedi Faussone, se leggi? Gli studenti fanno proprio fatica a capire che quando il carro attrezzi rimorchia la tua vecchia Fiat Topolino C anteguerra ( sarebbe ora che te la cambiassi, però....) a velocità costante, le due forze sul cavo di rimorchio sono uguali e contrarie...
Dino, le due forze che dicevo sono interne al sistema e si equilibrano, la potenza erogata dal carro attrezzi serve per assicurare la marcia a velocità costante del carro stesso, del cavo e della Topolino C, cioè a vincere tutte le resistenze passive che si oppongono al moto (essenzialmente attriti col suolo e con l'aria, attriti meccanici, gomme che si deformano...). Il cavo se ne va a spasso a velocità costante, tranquillamente teso tra carro attrezzi e Topolino....
Ma che succede se il caro attrezzi accelera, e quindi la velocità non è più costante anche solo per un piccolo $\Delta t$?
Supponi prima il cavo "ideale" cioè perfettamente flessibile e inestensibile....
Poi supponi un cavo reale, che si deforma.
Mica la reazione esiste solo nel punto in cui la fune si attacca al soffitto! Come si trasmette la tensione dalla massa al gancio? Pensaci un attimo, ho cercato di spiegarlo prima: taglia la fune in qualunque sezione, e dimmi che devi fare se vuoi che la massa non cada e il filo rimanga teso come prima.
Ecco, vedi Faussone, se leggi? Gli studenti fanno proprio fatica a capire che quando il carro attrezzi rimorchia la tua vecchia Fiat Topolino C anteguerra ( sarebbe ora che te la cambiassi, però....) a velocità costante, le due forze sul cavo di rimorchio sono uguali e contrarie...
Dino, le due forze che dicevo sono interne al sistema e si equilibrano, la potenza erogata dal carro attrezzi serve per assicurare la marcia a velocità costante del carro stesso, del cavo e della Topolino C, cioè a vincere tutte le resistenze passive che si oppongono al moto (essenzialmente attriti col suolo e con l'aria, attriti meccanici, gomme che si deformano...). Il cavo se ne va a spasso a velocità costante, tranquillamente teso tra carro attrezzi e Topolino....
Ma che succede se il caro attrezzi accelera, e quindi la velocità non è più costante anche solo per un piccolo $\Delta t$?
Supponi prima il cavo "ideale" cioè perfettamente flessibile e inestensibile....
Poi supponi un cavo reale, che si deforma.
Dunque, vediamo se ho capito.. il camion accelera e quindi se abbiamo a che fare con una fune ideale, che è inestensibile, la Topolino anteguerra subirà la stessa accelerazione del camion;
se invece la fune non è inestensibile, allora accade che la la fune o si deforma (e quindi l'auto non avrà la stessa accelerazione del camion), o si spezza!
Quindi se trasponiamo questo discorso al mio problema iniziale dall'idealità della fune segue che i due corpi sono in uguale accelerazione e che la fune non si deforma, quindi in ogni sezione infinitesima agiranno forze di tensione uguali e contrarie che garantiscono la non deformabilità della fune.
Sono in errore?
Ad ogni modo, ti ringrazio Navigatore, sempre provvidenziali i tuoi interventi!
se invece la fune non è inestensibile, allora accade che la la fune o si deforma (e quindi l'auto non avrà la stessa accelerazione del camion), o si spezza!
Quindi se trasponiamo questo discorso al mio problema iniziale dall'idealità della fune segue che i due corpi sono in uguale accelerazione e che la fune non si deforma, quindi in ogni sezione infinitesima agiranno forze di tensione uguali e contrarie che garantiscono la non deformabilità della fune.
Sono in errore?
Ad ogni modo, ti ringrazio Navigatore, sempre provvidenziali i tuoi interventi!
Va bene, con qualche precisazione.
Se la fune è ideale, quindi perfettamente "inestensibile", la possiamo evidentemente considerare come un palo rigido che collega i due mezzi, che per esempio sia saldato ad essi, ti sembra? LA fune è in tiro ed è indeformabile per ipotesi. E allora, il sistema accelera come un corpo rigido. E nessuno si meraviglia più, perché stiamo parlando di un corpo rigido che accelera.
Ma questa è un situazione ideale.
Se il cavo invece è deformabile e si può allungare, l'accelerazione del carro attrezzi significa : maggior forza rispetto alla tensione pre-esistente, e questa maggior forza ha l'effetto di causare un allungamento "locale" del primo pezzetto di corda attaccato dietro al carro. Una deformazione locale quindi, che si propaga in un tempo molto rapido ma finito, e calcolabile, dal punto iniziale al punto finale della fune. Nel primo istante dopo l'accelerazione del carro attrezzi, la Topolino che dista di $L$ "ancora non lo sa" quello che è successo al carro attrezzi, perché la deformazione impiega un certo tempo a propagarsi. Quando essa arriva infine al fondo, anche la Topolino aumenterà la propria velocità.
Se poi l'accelerazione del carro attrezzi molto grande, il cavo potrebbe addirittura spezzarsi, certo.
Se la fune è ideale, quindi perfettamente "inestensibile", la possiamo evidentemente considerare come un palo rigido che collega i due mezzi, che per esempio sia saldato ad essi, ti sembra? LA fune è in tiro ed è indeformabile per ipotesi. E allora, il sistema accelera come un corpo rigido. E nessuno si meraviglia più, perché stiamo parlando di un corpo rigido che accelera.
Ma questa è un situazione ideale.
Se il cavo invece è deformabile e si può allungare, l'accelerazione del carro attrezzi significa : maggior forza rispetto alla tensione pre-esistente, e questa maggior forza ha l'effetto di causare un allungamento "locale" del primo pezzetto di corda attaccato dietro al carro. Una deformazione locale quindi, che si propaga in un tempo molto rapido ma finito, e calcolabile, dal punto iniziale al punto finale della fune. Nel primo istante dopo l'accelerazione del carro attrezzi, la Topolino che dista di $L$ "ancora non lo sa" quello che è successo al carro attrezzi, perché la deformazione impiega un certo tempo a propagarsi. Quando essa arriva infine al fondo, anche la Topolino aumenterà la propria velocità.
Se poi l'accelerazione del carro attrezzi molto grande, il cavo potrebbe addirittura spezzarsi, certo.
Ho capito perfettamente grazie nuovamente Navigatore
grazie nuovamente Navigatore
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