Tempo: Per chi scorre più lento?
Ci sono Paolo e Marco nel sistema S nella galassia G. Il sistema si muove con una velocità di $0,8*c$ nella galassia (per un determinato tempo, senza considerare la possibilità che il sistema esca prima o poi da essa).
Marco si muove ad una velocità di $0,8*c$ rispetto a Paolo. Marco dice di essere fermo, considerando S come sistema di riferimento; Paolo invece, che considera G come sistema di riferimento, dice di essere lui fermo.
Ora Paolo dice:"Essendo io fermo, per Marco, avendo lui una velocitá prossima a quella della luce, il tempo scorre più lento". Marco fa un ragionamento del tutto analogo.
Questo è praticamente il ragionamento del paradosso dei gemelli, ma a me viene in mente che questo problema non si ha solo nel paradosso ma in ogni situazione, da ció la teoria della relatività mi lascia in dubbio.
Non insultatemi se vi riesce.
Marco si muove ad una velocità di $0,8*c$ rispetto a Paolo. Marco dice di essere fermo, considerando S come sistema di riferimento; Paolo invece, che considera G come sistema di riferimento, dice di essere lui fermo.
Ora Paolo dice:"Essendo io fermo, per Marco, avendo lui una velocitá prossima a quella della luce, il tempo scorre più lento". Marco fa un ragionamento del tutto analogo.
Questo è praticamente il ragionamento del paradosso dei gemelli, ma a me viene in mente che questo problema non si ha solo nel paradosso ma in ogni situazione, da ció la teoria della relatività mi lascia in dubbio.
Non insultatemi se vi riesce.
Risposte
"kobeilprofeta":
Ci sono Paolo e Marco nel sistema S nella galassia G. Il sistema si muove con una velocità di $0,8*c$ nella galassia (per un determinato tempo, senza considerare la possibilità che il sistema esca prima o poi da essa).
Marco si muove ad una velocità di $0,8*c$ rispetto a Paolo. Marco dice di essere fermo, considerando S come sistema di riferimento; Paolo invece, che considera G come sistema di riferimento, dice di essere lui fermo.
Ora Paolo dice:"Essendo io fermo, per Marco, avendo lui una velocitá prossima a quella della luce, il tempo scorre più lento". Marco fa un ragionamento del tutto analogo.
Questo è praticamente il ragionamento del paradosso dei gemelli, ma a me viene in mente che questo problema non si ha solo nel paradosso ma in ogni situazione, da ció la teoria della relatività mi lascia in dubbio.
Non insultatemi se vi riesce.
Eccoci di nuovo a parlare di gemelli.
No, nessuno ti insulta, né ora né mai. Guarda, ti dirò anzi che alla fine di tante discussioni sono stato insultato io varie volte, che difendo la Relatività e la sua logica a volte sottile e apparentemente contraddittoria.
Il tuo dubbio non è solo tuo, e ha lasciato perplessi milioni di persone, anche fisici famosi, a partire dal primo che propose il famoso "paradosso" a Einstein.
Ne abbiamo parlato molto in questo forum. Ti invito a guardare alcune discussioni al riguardo.
Per esempio, questa è una :
viewtopic.php?f=19&t=103595&hilit=+gemelli#p683610
poi, se vuoi, ne riparliamo. Se guardi il disegno del viaggio di Galileo su una stella S lontana 36 anni luce, con velocità $0.6c$ , considera in un primo momento solo il "balzo diretto", cioè la linea azzurra che unisce l'origine con S, e i "tempi" valutati dai due osservatori.
Il punto chiave, in queste discussioni, sta nella "relatività della contemporaneità" di due eventi nello spaziotempo.
Guarda pure, sempre se vuoi, quest'altra discussione sull'iperbole invariante :
viewtopic.php?f=19&t=130470&hilit=+iperbole
Con riferimento alla figura, vista la definizione di tempo proprio, come distanza pseudoeuclidea lungo una curva nello spazio-tempo e visto il modo in cui i due osservatori possono misurare il tempo, cioè inviando dei raggi di luce e ricevndoli riflessi da una distanza nota (traiettorie in rosso in figura), si può intendere la domanda che hai fatto come: quale delle due distanze pseudoeuclidee è maggiore, tra OA e OA'? Notare che OA e OA' sono fissati nello spazio tempo bidimensionale rappresentato in figura, così come le traiettorie dei raggi luce che i due osservatori utilizzano per misurare il tempo, e che le trasformazioni di Lorentz lasciano le distanze pseudoeuclidee invariate (sia quelle dei segmenti OA, OA' che delle distanze spaziali che gli osservatori utilizzano per i loro orologi a luce). Quindi l'unico modo per cui il rapporto tra le distanze pseudoeuclidee possa variare è con una trasformazione di deformazione dello spazio-tempo, con eventuale ridefinizione del "tensore" metrico nello spazio deformato.
Chiaro che, nel fare la rappresentazione della situazione ho dato per scontato un fatto, non indifferente, cioè che gli assi dell'osservatore S (x,t) siano ortogonali dal punto di vista euclideo. Perchè questo non è indifferente? Perchè la risposta alla domanda, dati i due sistemi di riferimento inerziali, dipende da questo.
Può essere la situazione relativa? Cioè si può trovare uno spazio-tempo bidimensionale deformato sul piano tale per cui il rapporto tra i tempi proprii sia simmetrico, cioè uno in cui il rapporto tra i tempi proprii sia inverso, e siano rispettati tutti i principi fisici (costanza della velocità della luce in tutte le direzioni, punti liberi che seguono traiettorie geodetiche)? Su questo non ti so dire di preciso, mi pare di capire che dipende da cosa si intende per spazio-tempo. L'unica cosa che posso notare è che una deformazione che trasforma tutte le rette in rette (geodetiche in geodetiche, nello spazio-tempo piatto) non lascia inalterata la velocità della luce.
@sonoqui
hai riproposto gli stessi dubbi che avevi scritto quando ho parlato della "iperbole invariante", qui :
viewtopic.php?f=19&t=130470&hilit=+iperbole
e non hai evidentemente digerito la spiegazione che ti ho dato, nel mio ultimo messaggio relativo al topic ora citato, dove ti ho detto che la metrica di Minkowski : $\eta _(\mu\nu) = diag(-1,1,1,1)$ rimane invariata nelle trasformazioni di Lorentz tra riferimenti inerziali in Relativita ristretta, e quindi si trasforma per quello che è : un tensore covariante simmetrico del secondo ordine.
Il disegno sul piano bidimensionale di Minkowski $(t,x)$ non deve trarre in inganno, tutti gli assi come $(t,x) , (t',x') , (t'', x'')….$ , sono ortogonali nella geometria pseudoeuclidea del piano stesso.Te l'ho anche fatto vedere matematicamente, ma tu non lo hai recepito, evidentemente.
I riferimenti inerziali sono tutti equivalenti tra loro, non ce n'è uno privilegiato. Lo spaziotempo della RR è piatto, e tale rimane passando da un rif. inerziale ad un altro. Nel disegno sul piano di Minkowski a due dimensioni, per disegnare i due assi t ed x passando da un rif. inerziale ad un altro occorre eseguire una rotazione iperbolica degli stessi, non ordinaria. La velocità della luce rimane sempre la stessa, non subisce alcuna modificazione. Non c'è alcuna "deformazione" dello spaziotempo indotta dal disegnare due assi $(t',x')$ ruotati iperbolicamente rispetto ad altri due, e tutte le coppie di assi sono equivalenti.
Qualche giorno fa, rispondendo a grimx, che mi chiedeva spiegazioni sul tensore metrico, gli ho risposto questo, dandogli qualche chiarimento :
viewtopic.php?f=19&t=131150&hilit=+grimx#p840204
Adesso ritengo quindi necessario spiegare come si fa a dimostrare che, se in un dato riferimento di Lorentz $(t,x,y,z)$ dello spaziotempo piatto della RR la metrica è quella di Minkowski , cioè :$ \eta_(\mu\nu) = diag (-1,1,1,1)$ , eseguendo una trasformazione di Lorentz ad un altro riferimento $(t',x',y',z')$ come boost in direzione spaziale $x=x'$ il tensore metrico non cambia, rimane sempre quello.
(precisazione : Non bisogna confondere la matrice della trasformazione con la matrice del tensore metrico.)
Per fare questa dimostrazione, è sufficiente considerare come si trasforma il tensore metrico, i cui coefficienti sono funzioni delle coordinate, passando dalle coordinate senza apice alle coordinate con apice.
E questo si fa, applicando la legge di trasformazione generale delle componenti di un tensore doppio covariante:
$g_(\mu\nu)(x') = (partialx^\alpha)/(partialx'^\mu)*(partialx^\beta)/(partialx'^\nu)g_(\alpha\beta)(x)$------(1)
le derivate parziali si calcolano a partire dalle trasformazioni di Lorentz (nella forma inversa) tra rif. inerziali, supponendo che si tratti di un boost in direzione $x$ :
$t = \gammat' + \gammavx'$
$x = \gammax' + \gammavt'$
$y = y'$
$z= z'$
si suppone poi che,nella (1), nel riferimento senza apice la metrica sia quella diagonale di Minkowski :
$ g_(\alpha\beta)(x) = \eta_(\alpha\beta) = diag(-1,1,1,1)$
Per calcolare quindi il 1° membro della (1) e cioè il tensore metrico nel riferimento con apice $g_(\mu\nu)(x')$ , occorre effettuare tutte le derivate derivate prime di tutte le coordinate senz'apice rispetto a tutte quelle con apice, a partire dalle trasf. di Lorentz suddette, moltiplicarle e sommarle secondo la convenzione di Einstein riportata nella formula (1) stessa. Molte delle derivate , ovvero delle somme dei prodotti delle derivate sono nulle, come è facile verificare, ma è istruttivo farlo, per capire.
E che cosa risulta ? Neanche a dirlo…se si sono fatti bene i calcoli ( che io non riporto perché lunghi e tediosi, ma ho fatto per conto mio), si trova che $g_(\mu\nu)(x')$ è ancora uguale a $diag(-1,1,1,1)$ cioè è ancora il tensore di Minkowski.
E non poteva essere diversamente. Lo spaziotempo è piatto e la metrica, cioè la geometria di tale ST, non cambia, pure se cambiano le coordinate per trasf. di Lorentz.
Ma naturalmente questo non ti convincerà.
@Kobeilprofeta
scusa per la lunga digressione, ma era necessaria. Quanto prima, ti spiegherò con un esempio perché non c'è contraddizione nel fatto che due osservatori in moto relativo dicano, ognuno : "il tempo dell'altro scorre più lentamente del mio"
hai riproposto gli stessi dubbi che avevi scritto quando ho parlato della "iperbole invariante", qui :
viewtopic.php?f=19&t=130470&hilit=+iperbole
e non hai evidentemente digerito la spiegazione che ti ho dato, nel mio ultimo messaggio relativo al topic ora citato, dove ti ho detto che la metrica di Minkowski : $\eta _(\mu\nu) = diag(-1,1,1,1)$ rimane invariata nelle trasformazioni di Lorentz tra riferimenti inerziali in Relativita ristretta, e quindi si trasforma per quello che è : un tensore covariante simmetrico del secondo ordine.
Il disegno sul piano bidimensionale di Minkowski $(t,x)$ non deve trarre in inganno, tutti gli assi come $(t,x) , (t',x') , (t'', x'')….$ , sono ortogonali nella geometria pseudoeuclidea del piano stesso.Te l'ho anche fatto vedere matematicamente, ma tu non lo hai recepito, evidentemente.
I riferimenti inerziali sono tutti equivalenti tra loro, non ce n'è uno privilegiato. Lo spaziotempo della RR è piatto, e tale rimane passando da un rif. inerziale ad un altro. Nel disegno sul piano di Minkowski a due dimensioni, per disegnare i due assi t ed x passando da un rif. inerziale ad un altro occorre eseguire una rotazione iperbolica degli stessi, non ordinaria. La velocità della luce rimane sempre la stessa, non subisce alcuna modificazione. Non c'è alcuna "deformazione" dello spaziotempo indotta dal disegnare due assi $(t',x')$ ruotati iperbolicamente rispetto ad altri due, e tutte le coppie di assi sono equivalenti.
Qualche giorno fa, rispondendo a grimx, che mi chiedeva spiegazioni sul tensore metrico, gli ho risposto questo, dandogli qualche chiarimento :
viewtopic.php?f=19&t=131150&hilit=+grimx#p840204
Adesso ritengo quindi necessario spiegare come si fa a dimostrare che, se in un dato riferimento di Lorentz $(t,x,y,z)$ dello spaziotempo piatto della RR la metrica è quella di Minkowski , cioè :$ \eta_(\mu\nu) = diag (-1,1,1,1)$ , eseguendo una trasformazione di Lorentz ad un altro riferimento $(t',x',y',z')$ come boost in direzione spaziale $x=x'$ il tensore metrico non cambia, rimane sempre quello.
(precisazione : Non bisogna confondere la matrice della trasformazione con la matrice del tensore metrico.)
Per fare questa dimostrazione, è sufficiente considerare come si trasforma il tensore metrico, i cui coefficienti sono funzioni delle coordinate, passando dalle coordinate senza apice alle coordinate con apice.
E questo si fa, applicando la legge di trasformazione generale delle componenti di un tensore doppio covariante:
$g_(\mu\nu)(x') = (partialx^\alpha)/(partialx'^\mu)*(partialx^\beta)/(partialx'^\nu)g_(\alpha\beta)(x)$------(1)
le derivate parziali si calcolano a partire dalle trasformazioni di Lorentz (nella forma inversa) tra rif. inerziali, supponendo che si tratti di un boost in direzione $x$ :
$t = \gammat' + \gammavx'$
$x = \gammax' + \gammavt'$
$y = y'$
$z= z'$
si suppone poi che,nella (1), nel riferimento senza apice la metrica sia quella diagonale di Minkowski :
$ g_(\alpha\beta)(x) = \eta_(\alpha\beta) = diag(-1,1,1,1)$
Per calcolare quindi il 1° membro della (1) e cioè il tensore metrico nel riferimento con apice $g_(\mu\nu)(x')$ , occorre effettuare tutte le derivate derivate prime di tutte le coordinate senz'apice rispetto a tutte quelle con apice, a partire dalle trasf. di Lorentz suddette, moltiplicarle e sommarle secondo la convenzione di Einstein riportata nella formula (1) stessa. Molte delle derivate , ovvero delle somme dei prodotti delle derivate sono nulle, come è facile verificare, ma è istruttivo farlo, per capire.
E che cosa risulta ? Neanche a dirlo…se si sono fatti bene i calcoli ( che io non riporto perché lunghi e tediosi, ma ho fatto per conto mio), si trova che $g_(\mu\nu)(x')$ è ancora uguale a $diag(-1,1,1,1)$ cioè è ancora il tensore di Minkowski.
E non poteva essere diversamente. Lo spaziotempo è piatto e la metrica, cioè la geometria di tale ST, non cambia, pure se cambiano le coordinate per trasf. di Lorentz.
Ma naturalmente questo non ti convincerà.
@Kobeilprofeta
scusa per la lunga digressione, ma era necessaria. Quanto prima, ti spiegherò con un esempio perché non c'è contraddizione nel fatto che due osservatori in moto relativo dicano, ognuno : "il tempo dell'altro scorre più lentamente del mio"
@navigatore: credo di aver capito la tua spiegazione, riguardo all'invarianza delle componenti del tensore metrico nel passaggio da un sistema di riferimento inerziale all'altro per mezzo di trasformazioni di Lorentz. Ogni tanto è bene chiarire questi argomenti.
Mi sembra di capire che la questione centrale, per cui non c'è accordo, è nel concetto di equivalenza dei sistemi di riferimento inerziali. Suppongo che lo spazio-tempo sia fatto in maniera che si possa definire su di esso una metrica pesudoeuclidea e alla stessa maniera una metrica euclidea, tale per cui si possano misurare gli angoli euclidei tra gli assi. Questa è una mia ipotesi.
Riguardo alla figura che ho postato, in cui gli assi (x,t) sono ortogonali dal punto di vista euclideo, stabilita la metrica pseudoeuclidea e fissate le due linee di universo, i ticchettii degli orologi lungo tali linee sono eventi fissati nello spazio-tempo, e confrontare lo scorrimento degli orologi secondo me significa confrontare la differenza di tempo proprio tra un ticchettio e l'altro per i due orologi. Essendo le distanze pseudoeuclidee invarianti rispetto alle trasformazioni di Lorentz ed essendo fissati i ticchettii (segmenti OA e OA'), non c'è modo, attraverso le trasformazioni di Lorentz, di trovare un rapporto diverso rispetto a quello che deriva dalla particolare rappresentazione con assi x,t ortogonali. In pratica non è sufficiente notare che la trasformazione inversa di Lorentz tra i due sistemi di riferimento ha la velocità invertita per concludere che alla stessa maniera esiste il rapporto inverso tra i tempi proprii. Anche questa lascia invariate le distanze pseudoeuclidee, essendo trasformazione di Lorentz. Questa è semplicemente la trasformazione che permette di ricavare le coordinate dei punti x,t nello spazio tempo conoscendo x',t', supposto che quella da x,t sia quella diretta.
è per questo che ho pensato ad una deformazione e ad una ridefinizione della mterica nello spazio-tempo deformato. Ma come si può verificare, una deformazione per cui le rette vengono trasformate in rette, non lascia invariata la velocità della luce, cioè non vengono rispettati tutti i principii fisici.
Quindi, secondo me, si può dare risposta alla domanda del topic solo attraverso un esperimento, perchè ammettere che lo scorrimento del tempo sia relativo (intendo scorrimento del tempo per i due orologi, non rapporto tra le coordinate temporali nella trasformazione di un punto fissato) porta ad una contraddizione sui principii fisici di base. Con questo non voglio affermare che lo scorrimento dei due orologi sia uguale, chiaro, voglio dire che il rapporto tra gli scorrimenti, nelle ipotesi fatte, non può essere relativo.
Mi sembra di capire che la questione centrale, per cui non c'è accordo, è nel concetto di equivalenza dei sistemi di riferimento inerziali. Suppongo che lo spazio-tempo sia fatto in maniera che si possa definire su di esso una metrica pesudoeuclidea e alla stessa maniera una metrica euclidea, tale per cui si possano misurare gli angoli euclidei tra gli assi. Questa è una mia ipotesi.
Riguardo alla figura che ho postato, in cui gli assi (x,t) sono ortogonali dal punto di vista euclideo, stabilita la metrica pseudoeuclidea e fissate le due linee di universo, i ticchettii degli orologi lungo tali linee sono eventi fissati nello spazio-tempo, e confrontare lo scorrimento degli orologi secondo me significa confrontare la differenza di tempo proprio tra un ticchettio e l'altro per i due orologi. Essendo le distanze pseudoeuclidee invarianti rispetto alle trasformazioni di Lorentz ed essendo fissati i ticchettii (segmenti OA e OA'), non c'è modo, attraverso le trasformazioni di Lorentz, di trovare un rapporto diverso rispetto a quello che deriva dalla particolare rappresentazione con assi x,t ortogonali. In pratica non è sufficiente notare che la trasformazione inversa di Lorentz tra i due sistemi di riferimento ha la velocità invertita per concludere che alla stessa maniera esiste il rapporto inverso tra i tempi proprii. Anche questa lascia invariate le distanze pseudoeuclidee, essendo trasformazione di Lorentz. Questa è semplicemente la trasformazione che permette di ricavare le coordinate dei punti x,t nello spazio tempo conoscendo x',t', supposto che quella da x,t sia quella diretta.
è per questo che ho pensato ad una deformazione e ad una ridefinizione della mterica nello spazio-tempo deformato. Ma come si può verificare, una deformazione per cui le rette vengono trasformate in rette, non lascia invariata la velocità della luce, cioè non vengono rispettati tutti i principii fisici.
Quindi, secondo me, si può dare risposta alla domanda del topic solo attraverso un esperimento, perchè ammettere che lo scorrimento del tempo sia relativo (intendo scorrimento del tempo per i due orologi, non rapporto tra le coordinate temporali nella trasformazione di un punto fissato) porta ad una contraddizione sui principii fisici di base. Con questo non voglio affermare che lo scorrimento dei due orologi sia uguale, chiaro, voglio dire che il rapporto tra gli scorrimenti, nelle ipotesi fatte, non può essere relativo.
"sonoqui_":
@navigatore: credo di aver capito la tua spiegazione, riguardo all'invarianza delle componenti del tensore metrico nel passaggio da un sistema di riferimento inerziale all'altro per mezzo di trasformazioni di Lorentz. Ogni tanto è bene chiarire questi argomenti.
Certo, è bene per tutti, anche ascoltare punti di vista diversi.
Mi sembra di capire che la questione centrale, per cui non c'è accordo, è nel concetto di equivalenza dei sistemi di riferimento inerziali. Suppongo che lo spazio-tempo sia fatto in maniera che si possa definire su di esso una metrica pesudoeuclidea e alla stessa maniera una metrica euclidea, tale per cui si possano misurare gli angoli euclidei tra gli assi. Questa è una mia ipotesi.
Ahimè, qui non ci può essere accordo. Tutti i riferimenti inerziali, in moto r.u. uno rispetto all'altro, sono equivalenti per la descrizione dei fenomeni fisici. Questo lo sancisce il Principio di Relatività galileiano, che la RR ha fatto suo. Sarebbe contro il suddetto principio, se i rif. inerziali non fossero tutti equivalenti.
Riguardo allo ST della RR, che ha 4 dimensioni, una temporale e 3 spaziali, puoi definire in esso solo una metrica pseudo- euclidea, non una metrica euclidea : la metrica euclidea la puoi tenere per buona solo per le tre dimensioni spaziali, ma non se aggiungi la dimensione temporale!
In fondo, che cosa significa stabilire una metrica in un certo spazio (intendo uno spazio di dimensioni $n$ qualsiasi, ma a noi interessa il caso $n=4$ ) ? Significa assegnare una legge matematica per calcolare l'elemento lineare, ce lo insegna la Geometria differenziale di Gaussiana memoria, ampliata da Riemann a spazi di più di due dimensioni.
Quando scriviamo: $ds^2 = g_(\mu\nu) dx^\mu*dx^\nu$, stiamo definendo in sostanza il $ds^2$ come modulo quadro del prodotto scalare di un vettore elementare $\vecdP$ per sé stesso : $\vecdP*\vecdP$, e questo lo ha fatto per primo Gauss sulle superfici bidimensionali curve, tirando fuori la famosa "prima forma fondamentale delle superfici curve" , come sai, che non scrivo per brevità. E questo concetto, è stato ampliato da Riemann.
Quando introduciamo, nello ST piatto della RR , una coordinata temporale $t$ e le tre coordinate spaziali cartesiane ortogonali solite, e quindi le 4 coordinate sono : $(t,x,y,z)$, dobbiamo capire come sono fatti i 4 vettori-base coordinati di tale spaziotempo, e come si moltiplicano scalarmente per dare come risultato il $ds^2$ .
In una mia precedente risposta a Grimx, avevo detto questo :
"grimx":
quindi la metrica è :
$ds^2=g_(\mu\nu)dx^\mudx^\nu$ (Ho tralasciato tutti i calcoli per arrivare a questa formula)
$g_(\mu\nu)$ è quindi il tensore metrico che è un tensore simmetrico.
1^ DOMANDA : Il Tensore metrico è sempre una matrice vero? Perchè ad esempio il tensore metrico per uno spazio piatto di minkowski è $\eta_(\mu\nu)=diag(−1,1,1,1)$
Qui ti posso rispondere in due modi, uno breve uno lungo.
1)Modo breve : nello ST della RR, che vale nel LIF come detto, l'elemento lineare (pongo $x^0 = ct = t$ , le altre 3 sono le coordinate spaziali) è dato da :
$ds^2 = -(dx^0)^2 + (dx^1)^2 + (dx^2)^2 + (dx^3)^2 $
e vedi da te quali sono i coefficienti della metrica piatta di Minkowski.
2) modo lungo : senza troppe sofisticazioni matematiche, per cui chiedo scusa ai matematici, il tensore metrico è un operatore bilineare $g(…,…)$ , che prende nei suoi due slot vuoti due 4-vettori $\vecA= e_\alphaA^\alpha$ , $\vecB=e_\betaB^\beta$ (dove gli $e_\alpha, e_\beta$ sono le basi, ovviamente) e restituisce il loro prodotto scalare.
Quindi : $g(\vecA,\vecB) = g(e_\alphaA^\alpha,e_\betaB^\beta) = g(e_\alpha,e_\beta)A^\alphaB^\beta$
Quindi, quando scriviamo il prodotto scalare nella forma :
$g_(\alpha\beta)A^\alphaB^\beta$ , intendiamo che : $g_(\alpha\beta)$ è il risultato della applicazione di $g(…,…)$ ai vettori base dello spazio.
Ma nella geometria pseudo-euclidea dello ST piatto di Minkowski, quali sono i vettori base, se le coordinate spaziali sono le cartesiane ortogonali solite ?
$e_0 = (1,0,0,0)$
$e_1 = (0,1,0,0)$
$e_2 = (0,0,1,0)$
$e_3 = (0,0,0,1)$
Il primo $e_0$ è il vettore-base unitario di tipo tempo: se disegni in un diagramma di Minkowski una linea di universo temporale, il vettore unitario tipo tempo tangente alla linea in un suo punto non è altro che la 4-velocità :
$\vecU = (\gamma, gamma\vecv)$
il cui modulo quadro vale $-1$ come sai.
E questo ci dice che il prodotto scalare $\langlee_0,e_0\rangle = g_(00) = -1$ . Ci sei ?
Tralascio gli altri prodotti scalari, banalissimi. Per cui si ha :
$g(\vecA,\vecB) = g(e_\alphaA^\alpha,e_\betaB^\beta) = g(e_\alpha,e_\beta)A^\alphaB^\beta = g_(\alpha\beta)A^\alphaB^\beta = -1*(A^0*B^0) + 1*(A^1*B^1) + 1*(A^2*B^2) + 1* (A^3*B^3) $
e questa espressione ti dice quali sono i coefficienti della metrica di Minkowski : $\eta_(\mu,\nu) = diag(-1,1,1,1) $
Da quanto sopra, puoi ottenere il $ds^2$ ponendo : $ \vecA = \vecB = \vecdx$. È evidente quindi che, ottenuta la metrica di Minkowski, che vale quando le coordinate spaziali sono cartesiane ortogonali, l'intervallo si scrive :
$ds^2 = -dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 $
Ma vale la pena ora di sottolineare un altro aspetto di questa storia, per fare chiarezza su questo tensore metrico dello ST piatto della RR.
Supponiamo di dotare lo ST , sempre piatto, di altre coordinate, e cioè : la coordinata temporale $t$ , e tre coordinate spaziali polari sferiche :$ (r,\theta,\phi)$ . In definitiva, lo ST è dotato di coordinate : $ (t,r,\theta,\phi)$.
Si può passare dalle coordinate cartesiane ortogonali dello spazio a quelle polari mediante note trasformazioni di coordinate. Pertanto risulta ( non scrivo tutti i passaggi, se no ci sto una vita) che l'elemento lineare è dato ora da :
$ds^2 = -dt^2 + dr^2 + r^2d\theta^2 + r^2sen^2\theta d\phi^2$
che sembra diverso da quello scritto sopra, ma lo è solo perché le coordinate sono diverse!
Se ora vuoi il tensore metrico nelle coordinate polari sferiche, devi seguire la procedura già detta:
-calcolare tutte le derivate parziali prime di $(t,x,y,z)$ rispetto a tutte le coordinate $ (t,r,\theta,\phi)$
-eseguire la trasformazione da $\eta_(\mu\nu)$ a $g_(\alpha\beta)$ con la regola di trasformazione del tensore covariante doppio, che non riscrivo perché citata prima ( prodotti e somme…).
Ebbene ,facendo questo risulta che nelle coordinate $ (t,r,\theta,\phi)$ il tensore metrico non ha più la forma di $\eta_(\mu\nu)$ , ma vale :
$ g_(\mu\nu) = diag (-1,1, r^2, r^2sen^2\theta)$
come del resto si poteva vedere direttamente dall'elemento lineare.
Domanda : che cosa è successo ? Lo spaziotempo si è curvato, visto che il tensore metrico non è più quello di Minkowski ?
No, lo ST è sempre piatto. Il tensore metrico ora assume quella forma solo perché le coordinate sono curvilinee ( è facile rendersi conto che le coordinate polari sferiche spaziali sono curvilinee!), ma basta una trasformazione inversa di coordinate, da polari sferiche a cartesiane ortogonali, per far ritornare la metrica di Minkowski!
Diverso invece è il caso in cui la "curvatura" è dello spazio, non delle coordinate usate per descriverlo. Allora è necessario introdurre solo coordinate "locali" , non globali come nel caso dello ST piatto. Ma su questo non voglio insistere.
Riguardo alla figura che ho postato, in cui gli assi (x,t) sono ortogonali dal punto di vista euclideo, stabilita la metrica pseudoeuclidea e fissate le due linee di universo, i ticchettii degli orologi lungo tali linee sono eventi fissati nello spazio-tempo, e confrontare lo scorrimento degli orologi secondo me significa confrontare la differenza di tempo proprio tra un ticchettio e l'altro per i due orologi. Essendo le distanze pseudoeuclidee invarianti rispetto alle trasformazioni di Lorentz ed essendo fissati i ticchettii (segmenti OA e OA'), non c'è modo, attraverso le trasformazioni di Lorentz, di trovare un rapporto diverso rispetto a quello che deriva dalla particolare rappresentazione con assi x,t ortogonali.
Non capisco che vuoi dire, francamente.
In pratica non è sufficiente notare che la trasformazione inversa di Lorentz tra i due sistemi di riferimento ha la velocità invertita per concludere che alla stessa maniera esiste il rapporto inverso tra i tempi proprii. Anche questa lascia invariate le distanze pseudoeuclidee, essendo trasformazione di Lorentz. Questa è semplicemente la trasformazione che permette di ricavare le coordinate dei punti x,t nello spazio tempo conoscendo x',t', supposto che quella da x,t sia quella diretta.
Il "rapporto inverso", come tu lo chiami, tra i tempi propri è sempre $R = 1/\gamma$ : ma bisogna saperlo applicare, ed è quello farò vedere in un post che sto preparando, anche perché il buon Kobeilprofeta ha diritto ad una spiegazione chiara.
Però mi dovete dare un po' di tempo, e avere un po' di pazienza….Non sono un automa!
….è per questo che ho pensato ad una deformazione e ad una ridefinizione della mterica nello spazio-tempo deformato. Ma come si può verificare, una deformazione per cui le rette vengono trasformate in rette, non lascia invariata la velocità della luce, cioè non vengono rispettati tutti i principii fisici.
No, qui non ci siamo. LA trasformazione inversa tra rif. inerziali non ridefinisce la metrica e non deforma assolutamente spaziotempo : gli OI sono tutti equivalenti, ricordiamocelo. E la velocità della luce è la stessa in tutti i rif. inerziali, e tutti i principi fisici sono rispettati in tutti i rif. inerziali. Su questo non ci piove.
Quindi, secondo me, si può dare risposta alla domanda del topic solo attraverso un esperimento, perchè ammettere che lo scorrimento del tempo sia relativo (intendo scorrimento del tempo per i due orologi, non rapporto tra le coordinate temporali nella trasformazione di un punto fissato) porta ad una contraddizione sui principii fisici di base. Con questo non voglio affermare che lo scorrimento dei due orologi sia uguale, chiaro, voglio dire che il rapporto tra gli scorrimenti, nelle ipotesi fatte, non può essere relativo.
Quale contraddizione sui principi fisici di base? E che vuol dire che "il rapporto tra gli scorrimenti, nelle ipotesi fatte, non può essere relativo" ?
Non ti seguo, non mi è chiaro il senso di questa affermazione.
Le spiegazioni sono molto chiare e complete. C'è un punto che non riesco proprio a capire ed è il fatto che stabilito il sistema di coordinate x,t e il moto del sistema S' in queste coordinate, la retta x=vt coincidente con l'asse t' in figura, ad ogni valore di t viene associato su tale retta un valore di tempo proprio del sistema S', coincidente con la distanza pseudoeuclidea dall'origine O lungo tale retta.
Questa distanza, ovvero il valore di tempo proprio di S' assiciato a t, che è il tempo proprio dell'osservatore S, non dipende dal cambiamento di coordinate che si fa attraverso le trasformazioni di Lorentz, essendo le distanze pseudoeuclidee invariate.
Questa distanza, ovvero il valore di tempo proprio di S' assiciato a t, che è il tempo proprio dell'osservatore S, non dipende dal cambiamento di coordinate che si fa attraverso le trasformazioni di Lorentz, essendo le distanze pseudoeuclidee invariate.
"sonoqui_":
Le spiegazioni sono molto chiare e complete. C'è un punto che non riesco proprio a capire ed è il fatto che stabilito il sistema di coordinate x,t e il moto del sistema S' in queste coordinate, la retta x=vt coincidente con l'asse t' in figura, ad ogni valore di t viene associato su tale retta un valore di tempo proprio del sistema S', coincidente con la distanza pseudoeuclidea dall'origine O lungo tale retta.
Corretto: per $S'$ cambia soltanto il tempo proprio (che indico con $\tau$ come si fa di solito, anziché $t'$) , quello cioè segnato dal suo orologio, che essendo "in quiete" nel riferimento dello stesso $S'$ non muta le coordinate spaziali, evidentemente : $ \Deltax' = 0$ .
Ciò consente di dire che il 4-intervallo $\Deltas^2$ secondo $S'$ coincide, a meno del fattore $c^2$, con l'intervallo di tempo proprio : $\Deltas^2 = c^2\Delta\tau^2$. Ho assunto qui la segnatura $(+,-,-,-)$ per la metrica, di modo che un intervallo di tipo tempo risulta essere positivo : $c^2\Deltat^2 - \Deltax^2 > 0$ per intervalli spazio-temporali "possibili" , cioè intervalli s.t. che possono esistere per una particella materiale, la quale può muoversi con velocità $v$ inferiore a $c$ rispetto a un certo rif. inerziale.
Questa distanza, ovvero il valore di tempo proprio di S' assiciato a t, che è il tempo proprio dell'osservatore S, non dipende dal cambiamento di coordinate che si fa attraverso le trasformazioni di Lorentz, essendo le distanze pseudoeuclidee invariate.
Ecco , ora sono io che non capisco te. Ma forse immagino che cosa vuoi dire, vediamo se l'indovino.
Dato l' evento $O$ (= origine delle coordinate $(x,t)$ di un osservatore inerziale O,) e un evento A qualsiasi sul piano di Minkowski, dentro il cono del futuro di $O$, esiste un altro osservatore O' che, viaggiando con opportuna velocità ($v=x/t$) rispetto ad O ha la sua linea di universo (asse $t' = \tau$ ) che passa per A.
Il modulo quadro del 4-intervallo $OA^2$ è invariante per tutti gli osservatori inerziali.
L'osservatore O' la cui linea di universo passa per A, misura l'intervallo OA solo col tempo proprio; qualunque altro OI, a causa dell'invarianza del 4-intervallo (ponendo $c=1$) deve misurare spazio e tempo, perché si ha :
$\Delta \tau^2 = \Deltat ^2 - \Deltax^2 = \Deltat'' ^2 - \Deltax''^2 = \Deltat''' ^2 - \Deltax'''^2 = \Deltat'''' ^2 - \Deltax''''^2 =……$
In altri termini, qualunque altro osservatore O , O'' , O''', O'''' ,….la cui linea di universo, partendo dall'origine O, non passa per A, misura distanze spaziali e temporali: è la differenza dei loro quadrati, che deve essere sempre uguale al modulo quadro del 4-intervallo.
È questo, che non ti è chiaro? Non ti è chiaro il motivo di questa invarianza, che ti sembra indipendente dalle trasformazioni di Lorentz tra le coordinate dei vari osservatori ?
Be', si tratta allora di ricavare l'intervallo st tra due eventi, gli stessi eventi, in due sistemi di coordinate $O(t,x)$ e $O'(t',x')$, e dimostrare che passando dalle coordinate senza apice a quelle con apice l'intervallo non cambia.
Allora, supponiamo che nel rif. di $O(t,x) $ i due eventi siano separati spazialmente di $\Deltax$ e temporalmente di $\Deltat$ , sicché l'intervallo è dato da:
$\Deltas^2 = \Deltat ^2 - \Deltax^2$
Trasformiamo secondo Lorentz sia $\Deltat$ che $\Deltax$ , passando ad un riferimento $O'(t',x')$ :
$\Deltat' = \gamma(\Deltat - v*\Deltax)$
$\Deltax' = \gamma(\Deltax - v*\Deltat)$
ora eleviamo al quadrato sia 1° che 2° membro di entrambe le espressioni, e sottraiamo la seconda dalla prima : io non scrivo questi passaggi, te li fai da solo.
Ma alla fine, risulta che l'intervallo calcolato nel riferimento con apice è uguale a quello calcolato nel rif. senza apice :
$\Delta s'^2 = \Deltat' ^2 - \Deltax'^2 = ……= \Deltat ^2 - \Deltax^2 = \Deltas^2$
E questo è quello che si voleva dimostrare : l'intervallo è invariante per trasformazioni di Lorentz. Dipende solo dai due eventi nello spaziotempo.
La originale ragione fisica di ciò, sta…nella invarianza di $c$ in tutti i riferimenti inerziali: dipende tutto da questo.
La ragione matematica sta nel fatto che dobbiamo assumere, sul piano di Minkowski, la geometria iperbolica e non quella euclidea. Se avessi considerato attentamente quello che ho detto a proposito dell'iperbole equilatera, sarebbe stato più facile.
Mi pare che con questo abbiamo finito.
Io pero ora devo dare ancora una risposta a Kobeilprofeta, il quel poverino si starà chiedendo : ma dove volete arrivare? Io avevo solo chiesto spiegazioni su un apparente contraddizione : se due osservatori A e B sono in moto relativo, A dice che il tempo di B scorre più lentamente rispetto al suo. Ma anche B può dire che il tempo di A scorre più lentamente rispetto al suo….e io vedo in questo una contraddizione….
Hai ragione Kobe…il prossimo post te lo dedicherò tutto. Ma sappi che quello che abbiamo detto qui è di molto aiuto. Evito di spiegarlo di nuovo.
@ kobeilprofeta
vediamo se riesco a illustrarti con un esempio la soluzione del tuo dubbio. In basso trovi un disegnino.
Ci sono due osservatori inerziali A e B, in moto relativo con velocità $v$. Supponiamo di considerare dapprima $A$ in quiete e $B$ in moto rispetto ad A.
Allora A ritiene che il tempo proprio $t_B$ di $B$ scorra più lentamente rispetto al suo tempo proprio $t_A$. (nota : questo modo di dire "scorre più lentamente" è quanto mai infelice. La frase significa altro, come vedremo) . Supponiamo che $B$ sia un astronauta che, viaggiando a velocità costante di $0.6c$ rispetto ad A, a partire dall'istante iniziale in cui $A$ e $B$ sono in quiete a terra e i loro orologi sono sincronizzati, deve raggiungere una stella $S$ che dista da terra $36 a.l.$ (a.l. = anno luce).
Qui la velocità della luce è : $c = 1 ( a.l.)/(a)$ . La velocità di B è invece $v = 0.6( a.l.)/(a)$ , rispetto ad $A$ .
$A$ fa il conto del tempo, da lui misurato, impiegato da $B$ a raggiungere $S$ , in maniera semplicissima :
$t_A = (36a.l.)/((0.6a.l.)/a) = 60 a $ .
Ma in RR bisogna fare i conti con delle quantità "invarianti", e precisamente con il 4-intervallo invariante. Se rappresentiamo su un diagramma detto di Minkowski il tempo $t_A$ in ordinata e la distanza $x_a$ in ascissa, i punti di questo diagramma si chiamano "eventi" : rappresentiamo quindi $S$ con l'evento $t_A=60 , x_A =36$ . Che significa? Significa che, secondo A, l'evento " B raggiunge la S " si verifica dopo $t_A = 60$ anni di tempo terrestre, poiché $S$ dista 36 a.l. da terra, e $B$ viaggia a $v= 0.6$ .
Ma gli intervalli spaziotemporali sono invarianti. Cioè $OS$ è invariante, dunque il modulo quadro $OS^2$ è invariante, come visto nel post precedente. Tenendo presente che l'evento S si trova sulla linea di universo $t_B$ di B, il 4-intervallo è dato dal tempo proprio di B, a meno di $c^2$ . Quindi deve essere:
$OS ^2 = t_B^2 = t_A^2 -x_A^2 = t_A^2 -(v*t_A)^2 = (1-v^2)t_A^2 $
e quindi $OS = t_B = sqrt(1-v^2)t_A $
Naturalmente si deve intendere che $v = v/c = 0.6$ .
Percio risulta : $t_B = 0.8*t_A = 0.8*60 = 48$
Che cosa rappresenta $ t_B = OS = 48$ ?
Rappresenta semplicemente, come detto nel post precedente, la "lunghezza" in anni del 4-vettore $OS$, misurata dall'orologio di B.
Ripeto: $B$ viaggia col suo asse temporale che passa per $S$, perciò B è in grado di misurare solo il passare del tempo proprio nella sua nave , col proprio orologio ; evidentemente l'orologio di B non cambia la coordinata $x_B$, quindi per B cambia solo il tempo proprio andando da terra a S: $t_B = 48 a $. Questi sono anni misurati dall'orologio di B.
Se sulla stella S ci fosse un orologio sincronizzato con quello di terra, che segnasse cioè il "tempo coordinato" misurato da A, esso segnerebbe $60a$ di tempo terrestre.
Percio B ritiene che il proprio orologio abbia battuto il tempo più lentamente di quello coordinato.
Come vedi, c'è una differenza tra le valutazioni di tempo viaggio fatte da A e da B :
-secondo A, l'evento "B arriva in S" è giudicato "contemporaneo" all'evento :" il mio orologio segna 60 anni"
-secondo B invece, lo stesso evento- arrivo in S è giudicato "contemporaneo" all'evento : "il mio orologio segna 48 anni".
E questa è la "relatività della contemporaneità" : due eventi, contemporanei per un OI, non sono contemporanei per un altro OI in moto rispetto al primo.
Ma non è finita qui ! La sorpresa di B è duplice, perché ha trovato su S un orologio che è andato a vanti rispetto al suo, invece si sarebbe aspettato di trovarlo più indietro! Perché? Qual è il punto di vista di B ?
Anche B può dire : io sono fermo, è A che si muove rispetto a me con velocità $-v$. E siccome la velocità a me relativa di A è $-v$ , io calcolo lo stesso fattore di riduzione del tempo : $R = sqrt(1-v^2) = 0.8$ , e moltiplico il mio tempo viaggio di $48a$ per tale fattore : l'orologio fermo a terra deve segnare, al mio arrivo su S, il tempo : $0.8* 48 = 38.4 a$.
Ecco un'altro effetto della relatività della contemporaneità : B ritiene che il suo arrivo su S sia "contemporaneo" all'evento di terra "l'orologio di A segna il tempo $t_a$. E invece trova che segna $60a$ .
B ed A stanno valutando contemporanei degli eventi diversi.
In sostanza, è come se, tra partenza e arrivo, l'orologio situato su S, che è sincronizzato con quello di terra, fosse andato avanti di $60 - 38.4 = 21.6 a$ . Questo sfasamento in avanti risulta uguale a : $(v* L)/c^2 = v*L = 0.6*36 = 21.6 a$ .
Ho riprodotto la situazione sul disegno qui allegato. L'asse $x_B$ rappresenta la "retta di contemporaneità" di B. Tracciando da S la parallela ad essa, questa incontra l'asse dei tempi di A nel tempo $38.4a$ , che è quello che B si aspettava su S.
vediamo se riesco a illustrarti con un esempio la soluzione del tuo dubbio. In basso trovi un disegnino.
Ci sono due osservatori inerziali A e B, in moto relativo con velocità $v$. Supponiamo di considerare dapprima $A$ in quiete e $B$ in moto rispetto ad A.
Allora A ritiene che il tempo proprio $t_B$ di $B$ scorra più lentamente rispetto al suo tempo proprio $t_A$. (nota : questo modo di dire "scorre più lentamente" è quanto mai infelice. La frase significa altro, come vedremo) . Supponiamo che $B$ sia un astronauta che, viaggiando a velocità costante di $0.6c$ rispetto ad A, a partire dall'istante iniziale in cui $A$ e $B$ sono in quiete a terra e i loro orologi sono sincronizzati, deve raggiungere una stella $S$ che dista da terra $36 a.l.$ (a.l. = anno luce).
Qui la velocità della luce è : $c = 1 ( a.l.)/(a)$ . La velocità di B è invece $v = 0.6( a.l.)/(a)$ , rispetto ad $A$ .
$A$ fa il conto del tempo, da lui misurato, impiegato da $B$ a raggiungere $S$ , in maniera semplicissima :
$t_A = (36a.l.)/((0.6a.l.)/a) = 60 a $ .
Ma in RR bisogna fare i conti con delle quantità "invarianti", e precisamente con il 4-intervallo invariante. Se rappresentiamo su un diagramma detto di Minkowski il tempo $t_A$ in ordinata e la distanza $x_a$ in ascissa, i punti di questo diagramma si chiamano "eventi" : rappresentiamo quindi $S$ con l'evento $t_A=60 , x_A =36$ . Che significa? Significa che, secondo A, l'evento " B raggiunge la S " si verifica dopo $t_A = 60$ anni di tempo terrestre, poiché $S$ dista 36 a.l. da terra, e $B$ viaggia a $v= 0.6$ .
Ma gli intervalli spaziotemporali sono invarianti. Cioè $OS$ è invariante, dunque il modulo quadro $OS^2$ è invariante, come visto nel post precedente. Tenendo presente che l'evento S si trova sulla linea di universo $t_B$ di B, il 4-intervallo è dato dal tempo proprio di B, a meno di $c^2$ . Quindi deve essere:
$OS ^2 = t_B^2 = t_A^2 -x_A^2 = t_A^2 -(v*t_A)^2 = (1-v^2)t_A^2 $
e quindi $OS = t_B = sqrt(1-v^2)t_A $
Naturalmente si deve intendere che $v = v/c = 0.6$ .
Percio risulta : $t_B = 0.8*t_A = 0.8*60 = 48$
Che cosa rappresenta $ t_B = OS = 48$ ?
Rappresenta semplicemente, come detto nel post precedente, la "lunghezza" in anni del 4-vettore $OS$, misurata dall'orologio di B.
Ripeto: $B$ viaggia col suo asse temporale che passa per $S$, perciò B è in grado di misurare solo il passare del tempo proprio nella sua nave , col proprio orologio ; evidentemente l'orologio di B non cambia la coordinata $x_B$, quindi per B cambia solo il tempo proprio andando da terra a S: $t_B = 48 a $. Questi sono anni misurati dall'orologio di B.
Se sulla stella S ci fosse un orologio sincronizzato con quello di terra, che segnasse cioè il "tempo coordinato" misurato da A, esso segnerebbe $60a$ di tempo terrestre.
Percio B ritiene che il proprio orologio abbia battuto il tempo più lentamente di quello coordinato.
Come vedi, c'è una differenza tra le valutazioni di tempo viaggio fatte da A e da B :
-secondo A, l'evento "B arriva in S" è giudicato "contemporaneo" all'evento :" il mio orologio segna 60 anni"
-secondo B invece, lo stesso evento- arrivo in S è giudicato "contemporaneo" all'evento : "il mio orologio segna 48 anni".
E questa è la "relatività della contemporaneità" : due eventi, contemporanei per un OI, non sono contemporanei per un altro OI in moto rispetto al primo.
Ma non è finita qui ! La sorpresa di B è duplice, perché ha trovato su S un orologio che è andato a vanti rispetto al suo, invece si sarebbe aspettato di trovarlo più indietro! Perché? Qual è il punto di vista di B ?
Anche B può dire : io sono fermo, è A che si muove rispetto a me con velocità $-v$. E siccome la velocità a me relativa di A è $-v$ , io calcolo lo stesso fattore di riduzione del tempo : $R = sqrt(1-v^2) = 0.8$ , e moltiplico il mio tempo viaggio di $48a$ per tale fattore : l'orologio fermo a terra deve segnare, al mio arrivo su S, il tempo : $0.8* 48 = 38.4 a$.
Ecco un'altro effetto della relatività della contemporaneità : B ritiene che il suo arrivo su S sia "contemporaneo" all'evento di terra "l'orologio di A segna il tempo $t_a$. E invece trova che segna $60a$ .
B ed A stanno valutando contemporanei degli eventi diversi.
In sostanza, è come se, tra partenza e arrivo, l'orologio situato su S, che è sincronizzato con quello di terra, fosse andato avanti di $60 - 38.4 = 21.6 a$ . Questo sfasamento in avanti risulta uguale a : $(v* L)/c^2 = v*L = 0.6*36 = 21.6 a$ .
Ho riprodotto la situazione sul disegno qui allegato. L'asse $x_B$ rappresenta la "retta di contemporaneità" di B. Tracciando da S la parallela ad essa, questa incontra l'asse dei tempi di A nel tempo $38.4a$ , che è quello che B si aspettava su S.
@navigatore: relativamente al disegno che hai postato, posso dire che la visualizzazione che ho della situazione è questa. Vedo due osservatori che si muovono lungo curve nello spazio-tempo, asse t e asse t'; essendo la velocità di B uguale a v, ad ogni punto (t,0) sull'asse t corrisponde un unico punto sull'asse t', che è la posizione dell'osservatore B nello spazio tempo, e viceversa. Quindi per esempio non si può dire che se B si trova in S alla sua posizione corrisponde un valore di t=38,4a , altrimenti non sarebbe vero che $x_B=vt$, con t che è anche il tempo proprio dell'osservatore A. Questo può essere vero in uno spazio-tempo diverso, non nello stesso, in cui si suppone che i due osservatori evolvano secondo curve di universo uniche. Capisco che l'osservatore B valuta come contemporaneo non l'evento $(t_A,0)$, ma l'evento ottenuto proiettando parallelamente ad $x_B$, ma questo non altera le due curve di universo degli osservatori (per curva si intende anche la sua parametrizzazione, attraverso il tempo proprio in questo caso), per cui se A evolve in $t_A$, B non può che evolvere in $t_B=gammat_A$, vedendo come contemporaneo non il punto $t_A$, ma con A che è evoluto in $t_A$. Nemmeno le trasformazioni di Lorentz alterano questo fatto, dirette o inverse che siano (con la velocità invertita), visto che lasciano inalterate le distanze pseudoeuclidee, quindi i tempi proprii, ovvero le parametrizzazioni delle due curve. Per cui, se si parametrizzano con $t_A$ e con $t_B$ le due curve e si ricava un rapporto tra i due parametri questo è unico.
La situazione può essere valutata in maniera diversa, ma in uno spazio-tempo diverso. Quindi quale è lo spazio tempo giusto secondo cui valutare il rapporto tra i tempi proprii? Ci deve essere qualcosa che assicura che la valutazione sia quella giusta, se si ammette che gli osservatori evolvano univocamente nello spazio tempo.
A questo punto viene da chiedersi: dalle equazioni di Einstein che cosa si può dedurre riguardo a questo? Per quanto riguarda lo spazio-tempo piatto, se non sbaglio, entrambe le soluzioni soddisfano, ma anche tutte le altre soluzioni che si possono trovare, scegliendo come osservatore ineriziale privilegiato uno diverso da A e da B. Questo significa che devono essere scelte delle soluzioni per ottenere dei risultati corretti nella misura dei tempi proprii? Anche in relatività generale esiste questo problema e deve essere fatta questa selezione delle soluzioni?
La situazione può essere valutata in maniera diversa, ma in uno spazio-tempo diverso. Quindi quale è lo spazio tempo giusto secondo cui valutare il rapporto tra i tempi proprii? Ci deve essere qualcosa che assicura che la valutazione sia quella giusta, se si ammette che gli osservatori evolvano univocamente nello spazio tempo.
A questo punto viene da chiedersi: dalle equazioni di Einstein che cosa si può dedurre riguardo a questo? Per quanto riguarda lo spazio-tempo piatto, se non sbaglio, entrambe le soluzioni soddisfano, ma anche tutte le altre soluzioni che si possono trovare, scegliendo come osservatore ineriziale privilegiato uno diverso da A e da B. Questo significa che devono essere scelte delle soluzioni per ottenere dei risultati corretti nella misura dei tempi proprii? Anche in relatività generale esiste questo problema e deve essere fatta questa selezione delle soluzioni?
Uhm….Le tue riflessioni mi lasciano perplesso...sono alquanto difficili da interpretare…ma sicuramente è tutta colpa mia!
Ti faccio osservare solo qualche punto :
A parte il fatto che non capisco il significato di "evoluzione", non è questa che dici "l'evoluzione" di $t_B$.
È vero proprio il contrario :
-rispetto ad A, cambia sia la posizione spaziale $x_B$ che il tempo coordinato $t_B$ di B (etichettiamo il tempo di A come tempo coordinato $t$) , mentre il tempo proprio $\tau$ di B è quello che B "si porta con sé leggendolo sul proprio orologio" , no? . E allora tra i due tempi sussiste la relazione differenziale :
$dt = \gamma(v)*d\tau$.
Cito me stesso, che avevo scritto questo in un post passato :
Data una qualunque linea di universo da O a S , non necessariamente il segmento rettilineo (cioè il moto a vel. costante) , si può calcolare la lunghezza della linea di universo semplicemente integrando il $d\tau$ tra O ed S ( a parte il fattore $1/c$ ) :
$dt = \gamma(v)d\tau ==> d\tau = (dt)/\gamma(v) ==> \Delta\tau = int_O^S sqrt(1-v^2/c^2)*dt $
e tra tutte le possibili linee di universo tra O ed S risulta che il tempo proprio massimo spetta proprio alla linea di universo per il quale non cambia la velocità rispetto ad A, cioè non cambia il riferimento inerziale di B.
Spaziotempo giusto? Che significa giusto? Rimaniamo in RR. Lo spaziotempo è uno solo, ma in esso ci possono essere osservatori inerziali diversi, che "osservando" (cioè prendendo le misure…) il moto di B rileveranno velocità diverse, quindi differenti $\Deltax$ in rapporto a differenti $\Deltat$ …..ma sono tutti equivalenti tra loro, e i risultati, pur diversi tra OI, sono confrontabili, lo hai detto tu stesso dopo.
Le trasformazioni di Lorentz formano un gruppo, componendo due T.L. ottengo ancora una T.L. , ma evidentemente con diversi valori di velocità di B, e quindi con diversi valori di $\gamma$.
Ti ho risposto sopra. No, non devi fare nessuna scelta. Passando da un OI ad un altro, e poi ancora ad un altro, a un altro ancora…. non ci sono soluzioni sbagliate e soluzioni corrette. Ognuno di essi guarda il proprio orologio, e chiama "tempo proprio" il tempo che il proprio orologio segna….mi sembra una …"tautologia" ! Si dice così ?
E se tra due qualsiasi OI c'è un moto relativo con una certa velocità, il tempo dell'uno raffrontato a quello dell'altro scorre in maniera diversa, ma te ne puoi rendere conto solo se UN orologio (ad es. quello di B nel caso prima esaminato) viene confrontato con almeno DUE orologi di A !
In RG, la questione del "tempo proprio" è più delicata.
Lo spaziotempo in RG è considerato una varietà differenziabile M , in cui si possono definire delle "carte locali", dotata di una struttura metrica riemanniana. In M la scelta del sistema di coordinate non è soggetta a limitazioni. Quindi la coordinata $x^0$ , cioè il "tempo coordinato" , non ha generalmente il significato di "tempo fisico".
L'intervallo di tempo fisico tra due eventi che avvengono in un certo punto dello spazio è l'intervallo di tempo proprio :
$d\tau = (ds)/c = 1/c*sqrt(g_(00)(x)) * dx^0$
E siccome $g_(00)$ dipende da $x$ , i tempi propri di osservatori posti in punti diversi dello spaziotempo sono diversi.
Ancora più difficile qui è il problema di "sincronizzare" orologi posti in punti diversi dello ST curvo.
Dettagli al riguardo puoi trovarli nel libro di Landau-Lifshitz : "Teoria dei campi" , capitolo X , parag. 84, che se non sbaglio avevo messo nel topic " bicicletta relativistica" . Dacci un 'occhiata.
Ma non è il caso qui….
Spero che kobeilprofeta ora voglia…profetizzare !
Ti faccio osservare solo qualche punto :
"sonoqui_":
……...per cui se A evolve in $ t_A $, B non può che evolvere in $ t_B=gammat_A $…..
A parte il fatto che non capisco il significato di "evoluzione", non è questa che dici "l'evoluzione" di $t_B$.
È vero proprio il contrario :
-rispetto ad A, cambia sia la posizione spaziale $x_B$ che il tempo coordinato $t_B$ di B (etichettiamo il tempo di A come tempo coordinato $t$) , mentre il tempo proprio $\tau$ di B è quello che B "si porta con sé leggendolo sul proprio orologio" , no? . E allora tra i due tempi sussiste la relazione differenziale :
$dt = \gamma(v)*d\tau$.
Cito me stesso, che avevo scritto questo in un post passato :
"navigatore":
Consideriamo un orologio in moto, e siano $(t,x,y,z,)$ le sue coordinate spaziotemporali rispetto ad un osservatore $A$ inerziale. Qui $t$ è il tempo coordinato di A. L'intervallo spaziotemporale, nel riferimento di $A$, è dato da :
$ ds^2 = -(cdt)^2 + (dx)^2 + (dy)^2 + (dz)^2 $ [ segnatura della metrica : (-,+,+,+) ] -----(1)
In un riferimento inerziale comovente con l'orologio, evidentemente non cambiano le sue coordinate spaziali, mentre la coordinata temporale è il "tempo proprio" dell'orologio, che di solito si indica con $\tau$ . Allora, per l'invarianza dell'intervallo spaziotemporale nel passaggio da un riferimento all'altro, la (1) nel riferimento comovente con l'orologio si scrive semplicemente:
$ ds^2 = -(cd\tau)^2 $ -------(2)
che si può anche scrivere : $ (ds^2)/c^2 = -(d\tau)^2 $ --------(3)
Confrontando la (2) con la (1) , si ricava mediante alcuni passaggi la nota relazione : $dt = \gamma*d\tau$ , che poi non è altro che il noto risultato : " gli orologi in moto rallentano il proprio ritmo rispetto al tempo coordinato"
Dalla (3) si vede che l'intevallo spaziotemporale non è altro che l'intervallo di tempo proprio, a meno del fattore $1/c^2$ , a parte il segno "$-$" ( molti danno alla metrica la segnatura opposta, per non avere questo fastidioso "$-$" tra i piedi. ad esempio, LAndau- Lifsitz . Ma Schutz, Hartle, e MTW, adottano la metrica col segno "$-$" alla coordinata temporale)
Perciò , per il fotone si ha : $ 0 = (ds^2)/c^2 = -(d\tau)^2 $ ----(4)
Data una qualunque linea di universo da O a S , non necessariamente il segmento rettilineo (cioè il moto a vel. costante) , si può calcolare la lunghezza della linea di universo semplicemente integrando il $d\tau$ tra O ed S ( a parte il fattore $1/c$ ) :
$dt = \gamma(v)d\tau ==> d\tau = (dt)/\gamma(v) ==> \Delta\tau = int_O^S sqrt(1-v^2/c^2)*dt $
e tra tutte le possibili linee di universo tra O ed S risulta che il tempo proprio massimo spetta proprio alla linea di universo per il quale non cambia la velocità rispetto ad A, cioè non cambia il riferimento inerziale di B.
………..
La situazione può essere valutata in maniera diversa, ma in uno spazio-tempo diverso. Quindi quale è lo spazio tempo giusto secondo cui valutare il rapporto tra i tempi proprii? Ci deve essere qualcosa che assicura che la valutazione sia quella giusta, se si ammette che gli osservatori evolvano univocamente nello spazio tempo.
Spaziotempo giusto? Che significa giusto? Rimaniamo in RR. Lo spaziotempo è uno solo, ma in esso ci possono essere osservatori inerziali diversi, che "osservando" (cioè prendendo le misure…) il moto di B rileveranno velocità diverse, quindi differenti $\Deltax$ in rapporto a differenti $\Deltat$ …..ma sono tutti equivalenti tra loro, e i risultati, pur diversi tra OI, sono confrontabili, lo hai detto tu stesso dopo.
Le trasformazioni di Lorentz formano un gruppo, componendo due T.L. ottengo ancora una T.L. , ma evidentemente con diversi valori di velocità di B, e quindi con diversi valori di $\gamma$.
A questo punto viene da chiedersi: dalle equazioni di Einstein che cosa si può dedurre riguardo a questo? Per quanto riguarda lo spazio-tempo piatto, se non sbaglio, entrambe le soluzioni soddisfano, ma anche tutte le altre soluzioni che si possono trovare, scegliendo come osservatore ineriziale privilegiato uno diverso da A e da B. Questo significa che devono essere scelte delle soluzioni per ottenere dei risultati corretti nella misura dei tempi proprii?
Ti ho risposto sopra. No, non devi fare nessuna scelta. Passando da un OI ad un altro, e poi ancora ad un altro, a un altro ancora…. non ci sono soluzioni sbagliate e soluzioni corrette. Ognuno di essi guarda il proprio orologio, e chiama "tempo proprio" il tempo che il proprio orologio segna….mi sembra una …"tautologia" ! Si dice così ?
E se tra due qualsiasi OI c'è un moto relativo con una certa velocità, il tempo dell'uno raffrontato a quello dell'altro scorre in maniera diversa, ma te ne puoi rendere conto solo se UN orologio (ad es. quello di B nel caso prima esaminato) viene confrontato con almeno DUE orologi di A !
Anche in relatività generale esiste questo problema e deve essere fatta questa selezione delle soluzioni?
In RG, la questione del "tempo proprio" è più delicata.
Lo spaziotempo in RG è considerato una varietà differenziabile M , in cui si possono definire delle "carte locali", dotata di una struttura metrica riemanniana. In M la scelta del sistema di coordinate non è soggetta a limitazioni. Quindi la coordinata $x^0$ , cioè il "tempo coordinato" , non ha generalmente il significato di "tempo fisico".
L'intervallo di tempo fisico tra due eventi che avvengono in un certo punto dello spazio è l'intervallo di tempo proprio :
$d\tau = (ds)/c = 1/c*sqrt(g_(00)(x)) * dx^0$
E siccome $g_(00)$ dipende da $x$ , i tempi propri di osservatori posti in punti diversi dello spaziotempo sono diversi.
Ancora più difficile qui è il problema di "sincronizzare" orologi posti in punti diversi dello ST curvo.
Dettagli al riguardo puoi trovarli nel libro di Landau-Lifshitz : "Teoria dei campi" , capitolo X , parag. 84, che se non sbaglio avevo messo nel topic " bicicletta relativistica" . Dacci un 'occhiata.
Ma non è il caso qui….
Spero che kobeilprofeta ora voglia…profetizzare !
Scusate se mi intrometto, vorrei placare un mio dubbio che mi è venuto mentre facevo come esercizio la dimostrazione che il tensore metrico non cambia:
Ho fatto tutti i calcoli, e in effetti mi è risultato proprio come ha detto Navigatore (Non che non mi fidassi è!
): $g_(mu nu) (x') = eta_(alpha beta) (x)$
Mi è sorto però questo piccolo dubbio: se c'è una trasformazione tra sistemi di riferimento inerziali, beh, semplice e si fa come ho appena fatto usando le trasformazioni di Lorentz... Ma se c'è una trasformazione da un sistema di riferimento inerziale ad uno non inerziale, come ci si comporta??
Bisogna usare la trasformazione delle coordinate da un sistema x a ad un sistema y ---> $dy^n = (partial y^n)/(partial x^m) * dx^m$ ?????
(Probabilmente è una domanda stupidissima)
Ciao!
"navigatore":
@sonoqui
Adesso ritengo quindi necessario spiegare come si fa a dimostrare che, se in un dato riferimento di Lorentz $ (t,x,y,z) $ dello spaziotempo piatto della RR la metrica è quella di Minkowski , cioè :$ \eta_(\mu\nu) = diag (-1,1,1,1) $ , eseguendo una trasformazione di Lorentz ad un altro riferimento $ (t',x',y',z') $ come boost in direzione spaziale $ x=x' $ il tensore metrico non cambia, rimane sempre quello.
(precisazione : Non bisogna confondere la matrice della trasformazione con la matrice del tensore metrico.)
Per fare questa dimostrazione, è sufficiente considerare come si trasforma il tensore metrico, i cui coefficienti sono funzioni delle coordinate, passando dalle coordinate senza apice alle coordinate con apice.
E questo si fa, applicando la legge di trasformazione generale delle componenti di un tensore doppio covariante:
$ g_(\mu\nu)(x') = (partialx^\alpha)/(partialx'^\mu)*(partialx^\beta)/(partialx'^\nu)g_(\alpha\beta)(x) $------(1)
le derivate parziali si calcolano a partire dalle trasformazioni di Lorentz (nella forma inversa) tra rif. inerziali, supponendo che si tratti di un boost in direzione $ x $ :
$ t = \gammat' + \gammavx' $
$ x = \gammax' + \gammavt' $
$ y = y' $
$ z= z' $
si suppone poi che,nella (1), nel riferimento senza apice la metrica sia quella diagonale di Minkowski :
$ g_(\alpha\beta)(x) = \eta_(\alpha\beta) = diag(-1,1,1,1) $
Per calcolare quindi il 1° membro della (1) e cioè il tensore metrico nel riferimento con apice $ g_(\mu\nu)(x') $ , occorre effettuare tutte le derivate derivate prime di tutte le coordinate senz'apice rispetto a tutte quelle con apice, a partire dalle trasf. di Lorentz suddette, moltiplicarle e sommarle secondo la convenzione di Einstein riportata nella formula (1) stessa. Molte delle derivate , ovvero delle somme dei prodotti delle derivate sono nulle, come è facile verificare, ma è istruttivo farlo, per capire.
E che cosa risulta ? Neanche a dirlo…se si sono fatti bene i calcoli ( che io non riporto perché lunghi e tediosi, ma ho fatto per conto mio), si trova che $ g_(\mu\nu)(x') $ è ancora uguale a $ diag(-1,1,1,1) $ cioè è ancora il tensore di Minkowski.
Ho fatto tutti i calcoli, e in effetti mi è risultato proprio come ha detto Navigatore (Non che non mi fidassi è!
): $g_(mu nu) (x') = eta_(alpha beta) (x)$Mi è sorto però questo piccolo dubbio: se c'è una trasformazione tra sistemi di riferimento inerziali, beh, semplice e si fa come ho appena fatto usando le trasformazioni di Lorentz... Ma se c'è una trasformazione da un sistema di riferimento inerziale ad uno non inerziale, come ci si comporta??
Bisogna usare la trasformazione delle coordinate da un sistema x a ad un sistema y ---> $dy^n = (partial y^n)/(partial x^m) * dx^m$ ?????
(Probabilmente è una domanda stupidissima)
Ciao!
La procedura è sempre quella Grimx:
Equazioni di trasformazione > derivate parziali delle coordinate (fatte nell'ordine giusto!) > prodotti > somme prodotti :
è il calcolo tensoriale "manuale"….!
Equazioni di trasformazione > derivate parziali delle coordinate (fatte nell'ordine giusto!) > prodotti > somme prodotti :
è il calcolo tensoriale "manuale"….!
Non ci sto capendo niente. Non c'è modo di farmi capire la questione considerando che le mie conoscenze sono prossime a zero?
Navigatore ma come si trasformano le coordinate da un sistema di riferimento inerziale ad uno non inerziale?
@kobeilprofeta
ti credo, che non ci stai capendo niente (ma non buttarti giù così!). Il fatto è che alla discussione sulla tua richiesta si è sovrapposta un'altra discussione che non ha molto a che vedere col tuo dubbio.
Ad ogni modo, ti ho dedicato un messaggio apposito, con relativo disegno : concentrati su quello, guarda il disegno, e cerca di agguantare quello che ti ho scritto.
Poi comunque se ci sono dubbi puoi sempre chiedere chiarimenti.
Il fatto è che a mio parere ci vuole una certa conoscenza, sia pure sommaria, della materia….altrimenti è inutile insistere su certi concetti come tempo proprio, tempo coordinato…e così via.
@grimx
la trasformazione di coordinate da un sistema inerziale a uno non inerziale, quindi "accelerato", parlando in generale, si fa appunto introducendo l'accelerazione del sistema con apice rispetto al sistema senza apice. Per esempio, in questo post sulla deflessione di un raggio di luce, ti puoi rendere conto di qual è il sistema inerziale e qual è il sistema accelerato ; c'è un paio di fogli scritti a mano, dove trovi anche la trasformazione di coordinate :
viewtopic.php?f=19&t=115565&hilit=+deflessione+luce#p757702
Ma se ti vuoi esercitare a fare calcoli manuali, ti consiglio di considerare, nello ST piatto, la trasformazione di coordinate da cartesiane ortogonali + tempo : $(t,x,y,z)$ a coordinate polari sferiche spaziali+ tempo : $(t,r,\theta,\phi)$, e quindi ricavare i coefficienti della metrica …..buon divertimento !!!
ti credo, che non ci stai capendo niente (ma non buttarti giù così!). Il fatto è che alla discussione sulla tua richiesta si è sovrapposta un'altra discussione che non ha molto a che vedere col tuo dubbio.
Ad ogni modo, ti ho dedicato un messaggio apposito, con relativo disegno : concentrati su quello, guarda il disegno, e cerca di agguantare quello che ti ho scritto.
Poi comunque se ci sono dubbi puoi sempre chiedere chiarimenti.
Il fatto è che a mio parere ci vuole una certa conoscenza, sia pure sommaria, della materia….altrimenti è inutile insistere su certi concetti come tempo proprio, tempo coordinato…e così via.
@grimx
la trasformazione di coordinate da un sistema inerziale a uno non inerziale, quindi "accelerato", parlando in generale, si fa appunto introducendo l'accelerazione del sistema con apice rispetto al sistema senza apice. Per esempio, in questo post sulla deflessione di un raggio di luce, ti puoi rendere conto di qual è il sistema inerziale e qual è il sistema accelerato ; c'è un paio di fogli scritti a mano, dove trovi anche la trasformazione di coordinate :
viewtopic.php?f=19&t=115565&hilit=+deflessione+luce#p757702
Ma se ti vuoi esercitare a fare calcoli manuali, ti consiglio di considerare, nello ST piatto, la trasformazione di coordinate da cartesiane ortogonali + tempo : $(t,x,y,z)$ a coordinate polari sferiche spaziali+ tempo : $(t,r,\theta,\phi)$, e quindi ricavare i coefficienti della metrica …..buon divertimento !!!
Grazie mille Nav!!!!!! 
Si io credo che quello che mi serve sia proprio fare calcoli esplicitamente. Devo prendere confidenza con tutta questa teoria che ho imparato in queste settimane e applicarla nella pratica.
ti faccio sapere!
Si io credo che quello che mi serve sia proprio fare calcoli esplicitamente. Devo prendere confidenza con tutta questa teoria che ho imparato in queste settimane e applicarla nella pratica.
ti faccio sapere!
Intanto mi scuso per la formula sbagliata che ho scritto, a volte la memoria mi inganna e non me ne rendo conto.
Vorrei far notare che il problema della contradditorietà che sta alla base del paradosso dei gemelli rimane ancora aperto, secondo il mio punto di vista.
La mia visione in sintesi è che date due curve di universo (traiettorie nello spazio-tempo di osservatori, parametrizzate) di due osservatori inerziali, con parametro i tempi proprii degli osservatori, se queste sono uniche in uno stesso spazio-tempo, allora ad ogni punto sulla curva di un osservatore corrisponde un unico punto sulla curva dell'altro, stabilita una sincronizzazione e data la velocità relativa dei due osservatori. Se si applicano le trasformazioni di Lorentz alle coordinate, i tempi proprii misurati dai due osservatori (distanze pseudoeuclidee) non vengono alterati e così vale per le parametrizzazioni delle curve, ovvero i due osservatori evolvono allo stesso modo nello spazio-tempo, con evoluzione descritta con due sistemi di coordinate diversi.
Premesso questo, preso uno dei due osservatori, si può presentare solo uno dei due casi:
1) Fissato sullo spazio-tempo un sistema di coordinate adattate all'osservatore inerziale in questione, l'evoluzione dei due osservatori lungo le loro curve di universo avviene contemporaneamente secondo tale sistema di coordinate, cioè i punti si trovano per ogni valore del parametro della curva, su un unico asse di contemporaneità del sistema di coordinate. Si verifica anche che gli assi del sistema di coordinate sono ortogonali dal punto di vista euclideo.
2) La negazione del precedente caso, ovvero i due osservatori non evolvono contemporaneamente rispetto al sistema di coordinate. Gli assi non sono ortogonali dal punto di vista euclideo.
Tale evoluzione, da cui anche il rapporto tra i tempi proprii dei due osservatori, potrebbe essere modificata solo attraverso una deformazione dello spazio-tempo (nel caso in due dimensioni, a cui ci si può ridurre, comunque sia orientata la velocità relativa dei sistemi di riferimento, una deformazione dal piano sul piano). Ad esempio una deformazione, con ridefinizione della matrice metrica nello spazio-tempo deformato uguale a quella di un sistema di riferimento inerziale, tale per cui il rapporto tra i tempi proprii dei due osservatori risulti invertito rispetto al precedente. Ma una deformazione di questo tipo si verifica che non rispetta dei principii fisici di base. Infatti, se tutte le rette vengono trasformate in rette, le linee di universo della luce vengono trasformate in maniera che la velocità della luce non rimanga invariata.
Quindi in pratica in relatività ristretta esistono degli osservatori inerziali privilegiati (quali siano non è possibile saperlo) a cui corrispondono dei sistemi di coordinate adattate, ortogonali dal punto di vista euclideo, rispetto a cui gli osservatori evolvono contemporaneamente.
Vorrei far notare che il problema della contradditorietà che sta alla base del paradosso dei gemelli rimane ancora aperto, secondo il mio punto di vista.
La mia visione in sintesi è che date due curve di universo (traiettorie nello spazio-tempo di osservatori, parametrizzate) di due osservatori inerziali, con parametro i tempi proprii degli osservatori, se queste sono uniche in uno stesso spazio-tempo, allora ad ogni punto sulla curva di un osservatore corrisponde un unico punto sulla curva dell'altro, stabilita una sincronizzazione e data la velocità relativa dei due osservatori. Se si applicano le trasformazioni di Lorentz alle coordinate, i tempi proprii misurati dai due osservatori (distanze pseudoeuclidee) non vengono alterati e così vale per le parametrizzazioni delle curve, ovvero i due osservatori evolvono allo stesso modo nello spazio-tempo, con evoluzione descritta con due sistemi di coordinate diversi.
Premesso questo, preso uno dei due osservatori, si può presentare solo uno dei due casi:
1) Fissato sullo spazio-tempo un sistema di coordinate adattate all'osservatore inerziale in questione, l'evoluzione dei due osservatori lungo le loro curve di universo avviene contemporaneamente secondo tale sistema di coordinate, cioè i punti si trovano per ogni valore del parametro della curva, su un unico asse di contemporaneità del sistema di coordinate. Si verifica anche che gli assi del sistema di coordinate sono ortogonali dal punto di vista euclideo.
2) La negazione del precedente caso, ovvero i due osservatori non evolvono contemporaneamente rispetto al sistema di coordinate. Gli assi non sono ortogonali dal punto di vista euclideo.
Tale evoluzione, da cui anche il rapporto tra i tempi proprii dei due osservatori, potrebbe essere modificata solo attraverso una deformazione dello spazio-tempo (nel caso in due dimensioni, a cui ci si può ridurre, comunque sia orientata la velocità relativa dei sistemi di riferimento, una deformazione dal piano sul piano). Ad esempio una deformazione, con ridefinizione della matrice metrica nello spazio-tempo deformato uguale a quella di un sistema di riferimento inerziale, tale per cui il rapporto tra i tempi proprii dei due osservatori risulti invertito rispetto al precedente. Ma una deformazione di questo tipo si verifica che non rispetta dei principii fisici di base. Infatti, se tutte le rette vengono trasformate in rette, le linee di universo della luce vengono trasformate in maniera che la velocità della luce non rimanga invariata.
Quindi in pratica in relatività ristretta esistono degli osservatori inerziali privilegiati (quali siano non è possibile saperlo) a cui corrispondono dei sistemi di coordinate adattate, ortogonali dal punto di vista euclideo, rispetto a cui gli osservatori evolvono contemporaneamente.
Hai ripetuto, né più né meno, le stesse tue idee che hai espresso in precedenza, ma questa volta con qualche errore in più, nonostante il fatto che io ti abbia dimostrato anche matematicamente che quello che dici non sussiste, e ti abbia spiegato come fare per trasformare la metrica da rif. inerziale a rif. inerziale, invano.
Ora, io sono dotato di molta pazienza, e quindi rispondo anche ora.
Ma penso che mi capirai e mi scuserai se, dopo questa risposta, io mi ritiro da questa discussione rivelatasi, ahimè, lunga e inutile, con l'aggravante che kobeilprofeta è rimasto senza una risposta per lui almeno passabile.
Per cui gli chiedo scusa.
Allora, vediamo.
Nonostante siano passati più di cento anni dalla pubblicazione della RR, questo famigerato e inutile paradosso colpisce ancora. Eppure è stato spiegato milioni di volte, ad ogni sua ricomparsa qualcuno lo ha rispiegato, ma si vede che le spiegazioni non servono.
Allora, faccio come sono solito in questi casi : alla fine della risposta, ho messo un intero capitolo di più di 8 pagine, tratto dal libro di Resnick:" Introduzione alla Relatività Ristretta" . ed CEA (prima edizione 1969), così chi ha voglia di capire capisce.
Ti fermo subito. Limitiamoci a una sola coordinata temporale e una sola coordinata spaziale.
Se gli osservatori devono essere inerziali, le loro linee di universo non possono essere curve, devono essere rette.
Se rappresentiamo lo ST riferito ad uno di essi $O$ con un piano di Minkowski $O(t,x)$, che per pura convenzione ci piace disegnare con l'asse $t$ verticale e l'asse $x$ orizzontale, qualunque altro osservatore inerziale $O'$ deve essere rappresentato, su questo piano, con una coppia di assi $O'(t',x')$ il cui asse $t'$ rispetto all'asse $t$ forma un angolo inferiore a 45°, pari a $arctgv$ , essendo $v
Se su questo piano disegno una linea di universo che non è retta, questa linea corrisponde ad un osservatore che è accelerato rispetto ad $O$. . Questo osservatore non si trova sempre in uno stesso riferimento inerziale, ma lo cambia, perché il vettore tangente alla curva, che non è altro che la 4-velocità, cambia inclinazione rispetto a $t$ .
E proprio in questa particolarità che il gemello in viaggio per ricongiungersi a quello fisso a terra deve seguire una curva, sta la soluzione del "paradosso dei gemelli" . Ma questo è spiegato benissimo nel capitolo di Resnick allegato, quindi non mi dilungo.
Ma tu tutto questo lo sai, penso…forse...quindi ti faccio passare "linea di universo curva" per "retta", se gli OI devono essere inerziali.
vedi…continui a parlare di curve….e come fai le trasformazioni di Lorentz tra osservatori le cui linee di universo sono curve? Impossibile. Lo puoi fare al più in un punto, considerando un rif. inerziale tangente alla curva di universo dell'OI in moto. Ma poi cambia il punto, cambia la velocità, cambia la trasformazione….Oppure lo puoi fare in un tratto in cui la linea di universo del °viaggiatore° è rettilineo, per cui la velocità in quel tratto è costante.
Come ti ho detto sopra, e ti ho detto altre volte, è per pura comodità che abbiamo disegnato gli assi di $O(t,x)$ in maniera "visivamente ortogonale" sul foglio di carta. Ma la geometria del piano di Minkowski non è euclidea, è iperbolica, e tutti gli assi $O'(t',x')$ sono ortogonali dal punto di vista della geometria iperbolica . Questo mi sembra che non ti sia chiaro.
E allora io lo ripeto, perché deve essere chiaro.
Ripeto ancora : il fatto che gli assi di $O(t,x)$ siano disegnati a 90° sul foglio di carta non significa proprio nulla dal punto di vista della geometria iperbolica che dobbiamo adottare. Non so perché continui a voler trovare una particolarità in questo fatto degli assi a 90° !!!
Te l'ho già detto, ma tu ribadisci il tuo errore (eh si, ora devo dare alle cose il nome giusto) :
-non c'è alcuna deformazione dello ST se disegno i due assi $O'(t',x')$ ruotati iperbolicamente rispetto a $O(t,x)$
-non cambia la metrica! La metrica era piatta, e piatta rimane dopo la rotazione, rimane $diag(-1,1,1,1)$ , ti ho spiegato come fare il calcolo a partire dalle trasformazioni di Lorentz.
- i "principi fisici di base" ….quali sarebbero? Cambiare riferimento inerziale non modifica alcun principio fisico "di base". Ti ricordo che uno dei due postulati della RR è il Principio di Relatività : i fenomeni fisici sono descritti alla stessa maniera da due ( o infiniti...) osservatori inerziali diversi, in moto relativo tra loro a vel. relativa costante, diversa ovviamente una dall'altra….
Mi sembra che tu abbia difficoltà ad accettare il Principio di Relatività, a questo punto!
In RR non ci sono OI "privilegiati", sono tutti equivalenti per la descrizione dei fenomeni fisici!
Ma che cosa stai dicendo? Non occorre conoscere la Relatività di Einstein, per capire questo! Vale anche in Meccanica classica, che è costruita, si può dire, sul principio di Relatività galileiano, il quale si trasporta pari pari in RR.
Per te, l'osservatore inerziale $O(t,x)$ i cui assi ci è piaciuto disegnare a 90° sul foglio è dunque un OI privilegiato?
È evidente che se disegniamo sulla carta due assi $t$ e $x$ a 90°, gli altri assi t' ed x' li dobbiamo disegnare non a 90°, ma questa è solo una questione di disegno.
Che cosa significa invece che anche t' e x' sono ortogonali nella geometria pseudo-euclidea?
Significa che ,prendendo un 4-vettore $\vecA$ diretto secondo $t'$ e un 4-vettore $\vecB$ secondo $x'$ , e eseguendo il loro "prodotto scalare" come occorre trattando i 4-vettori (nel calcolo tensoriale si dice : prodotto esterno), visto che la metrica rimane sempre $diag(-1,1,1,1)$ , il prodotto risulta uguale a zero:
$-A°B° + A^1B^1 + A^2B^2 + A^3B^3 = 0 $
come ho già dimostrato, non lo ripeto.
Questo significa, essere ortogonali in geometria pseudo euclidea.
Anche i primi 4-vettori che si incontrano in questo formalismo, cioè la 4-velocità e la 4- accelerazione, sono "ortogonali" in questo senso, per esempio in un moto iperbolico relativistico: sai che cosa é ?
E siccome questo prodotto scalare è una "equazione tensoriale" , vale in tutti i riferimenti coordinati.
Ascoltami. Io mi ritiro da questa discussione. Non posso ripetere sempre le stesse cose. Se tu hai queste idee, non sarò io a fartele cambiare.
Ecco il capitolo di Resnick sui gemelli, per chi è interessato :
Ora, io sono dotato di molta pazienza, e quindi rispondo anche ora.
Ma penso che mi capirai e mi scuserai se, dopo questa risposta, io mi ritiro da questa discussione rivelatasi, ahimè, lunga e inutile, con l'aggravante che kobeilprofeta è rimasto senza una risposta per lui almeno passabile.
Per cui gli chiedo scusa.
Allora, vediamo.
"sonoqui_":
Intanto mi scuso per la formula sbagliata che ho scritto, a volte la memoria mi inganna e non me ne rendo conto.
Vorrei far notare che il problema della contradditorietà che sta alla base del paradosso dei gemelli rimane ancora aperto, secondo il mio punto di vista.
Nonostante siano passati più di cento anni dalla pubblicazione della RR, questo famigerato e inutile paradosso colpisce ancora. Eppure è stato spiegato milioni di volte, ad ogni sua ricomparsa qualcuno lo ha rispiegato, ma si vede che le spiegazioni non servono.
Allora, faccio come sono solito in questi casi : alla fine della risposta, ho messo un intero capitolo di più di 8 pagine, tratto dal libro di Resnick:" Introduzione alla Relatività Ristretta" . ed CEA (prima edizione 1969), così chi ha voglia di capire capisce.
La mia visione in sintesi è che date due curve di universo (traiettorie nello spazio-tempo di osservatori, parametrizzate) di due osservatori inerziali…..
Ti fermo subito. Limitiamoci a una sola coordinata temporale e una sola coordinata spaziale.
Se gli osservatori devono essere inerziali, le loro linee di universo non possono essere curve, devono essere rette.
Se rappresentiamo lo ST riferito ad uno di essi $O$ con un piano di Minkowski $O(t,x)$, che per pura convenzione ci piace disegnare con l'asse $t$ verticale e l'asse $x$ orizzontale, qualunque altro osservatore inerziale $O'$ deve essere rappresentato, su questo piano, con una coppia di assi $O'(t',x')$ il cui asse $t'$ rispetto all'asse $t$ forma un angolo inferiore a 45°, pari a $arctgv$ , essendo $v
Se su questo piano disegno una linea di universo che non è retta, questa linea corrisponde ad un osservatore che è accelerato rispetto ad $O$. . Questo osservatore non si trova sempre in uno stesso riferimento inerziale, ma lo cambia, perché il vettore tangente alla curva, che non è altro che la 4-velocità, cambia inclinazione rispetto a $t$ .
E proprio in questa particolarità che il gemello in viaggio per ricongiungersi a quello fisso a terra deve seguire una curva, sta la soluzione del "paradosso dei gemelli" . Ma questo è spiegato benissimo nel capitolo di Resnick allegato, quindi non mi dilungo.
Ma tu tutto questo lo sai, penso…forse...quindi ti faccio passare "linea di universo curva" per "retta", se gli OI devono essere inerziali.
….con parametro i tempi proprii degli osservatori, se queste sono uniche in uno stesso spazio-tempo, allora ad ogni punto sulla curva di un osservatore corrisponde un unico punto sulla curva dell'altro, stabilita una sincronizzazione e data la velocità relativa dei due osservatori. Se si applicano le trasformazioni di Lorentz alle coordinate, i tempi proprii misurati dai due osservatori (distanze pseudoeuclidee) non vengono alterati e così vale per le parametrizzazioni delle curve, ovvero i due osservatori evolvono allo stesso modo nello spazio-tempo, con evoluzione descritta con due sistemi di coordinate diversi.
vedi…continui a parlare di curve….e come fai le trasformazioni di Lorentz tra osservatori le cui linee di universo sono curve? Impossibile. Lo puoi fare al più in un punto, considerando un rif. inerziale tangente alla curva di universo dell'OI in moto. Ma poi cambia il punto, cambia la velocità, cambia la trasformazione….Oppure lo puoi fare in un tratto in cui la linea di universo del °viaggiatore° è rettilineo, per cui la velocità in quel tratto è costante.
Premesso questo, preso uno dei due osservatori, si può presentare solo uno dei due casi:
1) Fissato sullo spazio-tempo un sistema di coordinate adattate all'osservatore inerziale in questione, l'evoluzione dei due osservatori lungo le loro curve di universo avviene contemporaneamente secondo tale sistema di coordinate, cioè i punti si trovano per ogni valore del parametro della curva, su un unico asse di contemporaneità del sistema di coordinate. Si verifica anche che gli assi del sistema di coordinate sono ortogonali dal punto di vista euclideo.
Come ti ho detto sopra, e ti ho detto altre volte, è per pura comodità che abbiamo disegnato gli assi di $O(t,x)$ in maniera "visivamente ortogonale" sul foglio di carta. Ma la geometria del piano di Minkowski non è euclidea, è iperbolica, e tutti gli assi $O'(t',x')$ sono ortogonali dal punto di vista della geometria iperbolica . Questo mi sembra che non ti sia chiaro.
E allora io lo ripeto, perché deve essere chiaro.
2) La negazione del precedente caso, ovvero i due osservatori non evolvono contemporaneamente rispetto al sistema di coordinate. Gli assi non sono ortogonali dal punto di vista euclideo.
Ripeto ancora : il fatto che gli assi di $O(t,x)$ siano disegnati a 90° sul foglio di carta non significa proprio nulla dal punto di vista della geometria iperbolica che dobbiamo adottare. Non so perché continui a voler trovare una particolarità in questo fatto degli assi a 90° !!!
Tale evoluzione, da cui anche il rapporto tra i tempi proprii dei due osservatori, potrebbe essere modificata solo attraverso una deformazione dello spazio-tempo (nel caso in due dimensioni, a cui ci si può ridurre, comunque sia orientata la velocità relativa dei sistemi di riferimento, una deformazione dal piano sul piano). Ad esempio una deformazione, con ridefinizione della matrice metrica nello spazio-tempo deformato uguale a quella di un sistema di riferimento inerziale, tale per cui il rapporto tra i tempi proprii dei due osservatori risulti invertito rispetto al precedente. Ma una deformazione di questo tipo si verifica che non rispetta dei principii fisici di base. Infatti, se tutte le rette vengono trasformate in rette, le linee di universo della luce vengono trasformate in maniera che la velocità della luce non rimanga invariata.
Te l'ho già detto, ma tu ribadisci il tuo errore (eh si, ora devo dare alle cose il nome giusto) :
-non c'è alcuna deformazione dello ST se disegno i due assi $O'(t',x')$ ruotati iperbolicamente rispetto a $O(t,x)$
-non cambia la metrica! La metrica era piatta, e piatta rimane dopo la rotazione, rimane $diag(-1,1,1,1)$ , ti ho spiegato come fare il calcolo a partire dalle trasformazioni di Lorentz.
- i "principi fisici di base" ….quali sarebbero? Cambiare riferimento inerziale non modifica alcun principio fisico "di base". Ti ricordo che uno dei due postulati della RR è il Principio di Relatività : i fenomeni fisici sono descritti alla stessa maniera da due ( o infiniti...) osservatori inerziali diversi, in moto relativo tra loro a vel. relativa costante, diversa ovviamente una dall'altra….
Mi sembra che tu abbia difficoltà ad accettare il Principio di Relatività, a questo punto!
Quindi in pratica in relatività ristretta esistono degli osservatori inerziali privilegiati (quali siano non è possibile saperlo) a cui corrispondono dei sistemi di coordinate adattate, ortogonali dal punto di vista euclideo, rispetto a cui gli osservatori evolvono contemporaneamente.
In RR non ci sono OI "privilegiati", sono tutti equivalenti per la descrizione dei fenomeni fisici!
Ma che cosa stai dicendo? Non occorre conoscere la Relatività di Einstein, per capire questo! Vale anche in Meccanica classica, che è costruita, si può dire, sul principio di Relatività galileiano, il quale si trasporta pari pari in RR.
Per te, l'osservatore inerziale $O(t,x)$ i cui assi ci è piaciuto disegnare a 90° sul foglio è dunque un OI privilegiato?
È evidente che se disegniamo sulla carta due assi $t$ e $x$ a 90°, gli altri assi t' ed x' li dobbiamo disegnare non a 90°, ma questa è solo una questione di disegno.
Che cosa significa invece che anche t' e x' sono ortogonali nella geometria pseudo-euclidea?
Significa che ,prendendo un 4-vettore $\vecA$ diretto secondo $t'$ e un 4-vettore $\vecB$ secondo $x'$ , e eseguendo il loro "prodotto scalare" come occorre trattando i 4-vettori (nel calcolo tensoriale si dice : prodotto esterno), visto che la metrica rimane sempre $diag(-1,1,1,1)$ , il prodotto risulta uguale a zero:
$-A°B° + A^1B^1 + A^2B^2 + A^3B^3 = 0 $
come ho già dimostrato, non lo ripeto.
Questo significa, essere ortogonali in geometria pseudo euclidea.
Anche i primi 4-vettori che si incontrano in questo formalismo, cioè la 4-velocità e la 4- accelerazione, sono "ortogonali" in questo senso, per esempio in un moto iperbolico relativistico: sai che cosa é ?
E siccome questo prodotto scalare è una "equazione tensoriale" , vale in tutti i riferimenti coordinati.
Ascoltami. Io mi ritiro da questa discussione. Non posso ripetere sempre le stesse cose. Se tu hai queste idee, non sarò io a fartele cambiare.
Ecco il capitolo di Resnick sui gemelli, per chi è interessato :
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