Tempo che un corpo impiega a percorrere una guida circolare
Sto provando a risolvere il seguente problema: un corpo puntiforme si trova sulla sommità di una guida a forma di quarto di circonferenza, e viene lasciato libero di muoversi sotto l'azione della forza di gravità. Voglio calcolare in quanto tempo arriva alla fine della guida
Ho provato a ragionare considerando la guida come un insieme infinito di piani inclinati, ognuno di lunghezza ds e con diversa inclinazione; per ogni piano inclinato ho calcolato il tempo dt necessario a percorrere ds e infine ho integrato.
Il risultato a cui arrivo alla fine è $ T^2 = (2R/g) \int_{0}^{pi/2} 1/cos(x) dx$ che però diverge!
Secondo voi è corretto come ragionamento? Voi come lo fareste?
Ho provato a ragionare considerando la guida come un insieme infinito di piani inclinati, ognuno di lunghezza ds e con diversa inclinazione; per ogni piano inclinato ho calcolato il tempo dt necessario a percorrere ds e infine ho integrato.
Il risultato a cui arrivo alla fine è $ T^2 = (2R/g) \int_{0}^{pi/2} 1/cos(x) dx$ che però diverge!
Secondo voi è corretto come ragionamento? Voi come lo fareste?
Risposte
Io non so se il tuo calcolo è giusto, però ti pongo prima una domanda: questa guida l'hai messa con la concavità verso l'alto o verso il basso? perché se la concavità è verso il basso, allora il corpo alla sommità della guida si trova per un tratto iniziale infinitesimo in orizzontale, e allora non si muove mai (anche se in pratica è un punto di equilibrio instabile) per cui il tempo è davvero infinito.
Penso che l'esercizio presupponesse la concavità verso l'alto... o no?
Posta comunque i dettagli di calcolo.
Penso che l'esercizio presupponesse la concavità verso l'alto... o no?
Posta comunque i dettagli di calcolo.
"Michele88":
Sto provando a risolvere il seguente problema: un corpo puntiforme si trova sulla sommità di una guida a forma di quarto di circonferenza, e viene lasciato libero di muoversi sotto l'azione della forza di gravità. Voglio calcolare in quanto tempo arriva alla fine della guida
Ho provato a ragionare considerando la guida come un insieme infinito di piani inclinati, ognuno di lunghezza ds e con diversa inclinazione; per ogni piano inclinato ho calcolato il tempo dt necessario a percorrere ds e infine ho integrato.
Il risultato a cui arrivo alla fine è $ T^2 = (2R/g) \int_{0}^{pi/2} 1/cos(x) dx$ che però diverge!
Secondo voi è corretto come ragionamento? Voi come lo fareste?
Credo che intendi concavità rivolta verso l'alto....
In tal caso il problema è equivalente a trovare il periodo di un pendolo, ma senza l'approssimazione delle piccole oscillazioni....
Per un simile problema non esistono soluzioni analitiche!
Dai un'occhiata qui per esempio:
http://en.wikipedia.org/wiki/Pendulum_(mathematics)
[n.b. Copia e incolla il collegamento comprese le parentesi]
Il tuo ragionamento sarebbe un modo equivalente per arrivare all'equazione integrale che ti viene mostrata lì, (errori a parte)... Anche se il ragionamento più "classico" penso sia più semplice....
Io penso invece che sia concavità verso il basso, anche se il problema è analogo, e anche la soluzione: salvo errori di calcolo, io ho trovato
$T = sqrt(R/(2g))int_0^(pi/2)1/sqrt(1-coss)ds$
che è quasi la stessa del pendolo.
Una curiosità: dove l'hai trovato questo problema?
$T = sqrt(R/(2g))int_0^(pi/2)1/sqrt(1-coss)ds$
che è quasi la stessa del pendolo.
Una curiosità: dove l'hai trovato questo problema?
Non l'ho trovato da nessuna parte, mi è venuto in mente leggendo un'articolo che parlava della brachistocrona. In particolare vorrei dimostrare ciò che Galileo verificò sperimentalmente, ovvero che un corpo, per andare da un punto A a un punto B, ci mette più tempo se percorre un segmento che congiunge i due punti piuttosto che muovendosi su una corda.
Cmq intendevo concavità verso l'alto, come in questa figura: http://t1.gstatic.com/images?q=tbn:7tjp ... age003.jpg
Cmq fatemi scappare a prendere il pullman, appena arrivo a Bari posto il mio ragionamento 
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