Temperature Celsius e Kelvin
Ragazzi forse la mia domanda è fuorviante, ed è di una banalità estrema.
Nella legge di gay Lussac, noi possiamo dire che:
\(\displaystyle V = V_0 \cdot \alpha \cdot \left(\frac{1}{\alpha} + t \right) \)
dove \(\displaystyle \alpha = [°C^{-1}] \) mentre \(\displaystyle t=[°C] \)
Quindi dimensionalmente ci troviamo e il secondo membro viene esattamente in \(\displaystyle m^3 \), in quanto:
\(\displaystyle [m^3] = [m^3] \cdot [°C^{-1}] \cdot [°C] \)
E fin qui ok.
Ma se ora scrivo la formula con la temperatura in gradi kelvin, ricordando che: \(\displaystyle \left(\frac{1}{\alpha} + t \right) = T[K] \), ovvero:
\(\displaystyle V = V_0 \cdot \alpha \cdot T \)
dimensionalmente viene:
\(\displaystyle [m^3] = [m^3] \cdot [°C^{-1}] \cdot [K] \)
e le cose non tornano, a meno che riporti \(\displaystyle \alpha \) in [K]
Ma allora questo significa che \(\displaystyle \alpha \) può essere espresso sia in Kelvin che in °Celsius, mentenendo invariata la sua quantità? Sapreste spiegarmi il perché, riferendovi a questo preciso caso?.
Nella legge di gay Lussac, noi possiamo dire che:
\(\displaystyle V = V_0 \cdot \alpha \cdot \left(\frac{1}{\alpha} + t \right) \)
dove \(\displaystyle \alpha = [°C^{-1}] \) mentre \(\displaystyle t=[°C] \)
Quindi dimensionalmente ci troviamo e il secondo membro viene esattamente in \(\displaystyle m^3 \), in quanto:
\(\displaystyle [m^3] = [m^3] \cdot [°C^{-1}] \cdot [°C] \)
E fin qui ok.
Ma se ora scrivo la formula con la temperatura in gradi kelvin, ricordando che: \(\displaystyle \left(\frac{1}{\alpha} + t \right) = T[K] \), ovvero:
\(\displaystyle V = V_0 \cdot \alpha \cdot T \)
dimensionalmente viene:
\(\displaystyle [m^3] = [m^3] \cdot [°C^{-1}] \cdot [K] \)
e le cose non tornano, a meno che riporti \(\displaystyle \alpha \) in [K]
Ma allora questo significa che \(\displaystyle \alpha \) può essere espresso sia in Kelvin che in °Celsius, mentenendo invariata la sua quantità? Sapreste spiegarmi il perché, riferendovi a questo preciso caso?.
Risposte
Dalla relazione : $1/\alpha + t = T $ , si ricava che : $\alpha = 1/(T-t)$ , che ha dimensione $t^-1$ .
La risposta di navigatore non ha senso, se non altro perché \(\displaystyle T \) è espresso in \(\displaystyle [K] \) e \(\displaystyle t \) in \(\displaystyle [°C] \) e la relazione da lui ricavata non risponde al tuo dubbio (a parte il fatto che quella relazione è altamente discutibile se non formalmente scorretta, visto che presuppone di sottrarre al denominatore due grandezze non proprio "omogenee" (o meglio una in K e una in °C) per definire \(\displaystyle \alpha \) e chiaramente questo non è possibile!!)
Per risponderti in modo credo più rigoroso e attinente (non me ne voglia navigatore
):
Il coefficiente \(\displaystyle \alpha \) è il coefficiente di dilatazione termica e dipende (trova la sua espressione in qualche manuale e lo vedrai tu stesso) dalla differenza di temperatura a cui è soggetto il corpo e che conduce per l'appunto ad una dilatazione del corpo stesso.
Dipendendo da una differenza di temperatura (e non da una sola temperatura, fai attenzione) è chiaro che puoi esprimerlo sia in Kelvin che °C (proprio perché \(\displaystyle \Delta T \) numericamente è uguale sia che tu lo esprima in Kelvin che in °C, come puoi facilmente dimostrare). Quindi la tua osservazione finale (quella in grassetto) è corretta.
Ciao.
Per risponderti in modo credo più rigoroso e attinente (non me ne voglia navigatore
):Il coefficiente \(\displaystyle \alpha \) è il coefficiente di dilatazione termica e dipende (trova la sua espressione in qualche manuale e lo vedrai tu stesso) dalla differenza di temperatura a cui è soggetto il corpo e che conduce per l'appunto ad una dilatazione del corpo stesso.
Dipendendo da una differenza di temperatura (e non da una sola temperatura, fai attenzione) è chiaro che puoi esprimerlo sia in Kelvin che °C (proprio perché \(\displaystyle \Delta T \) numericamente è uguale sia che tu lo esprima in Kelvin che in °C, come puoi facilmente dimostrare). Quindi la tua osservazione finale (quella in grassetto) è corretta.
Ciao.
@Mathcrazy
Sei convinto che la mia risposta non abbia senso, e che sia formalmente scorretta?
Ho preso semplicemente una relazione algebrica, quella scritta da nicolpatrol, e ho ricavato $\alpha$ . LA differenza $T-t$ non è omogeneamente scorretta. Sono due temperature entrambe. E il "grado centigrado" è uguale al "grado Kelvin" :
$T (K) = t(°C) + 273.15$ .
Ma si vede fin da subito che, essendo : $ V = V_0 (1 + \alphat) $ , il coefficiente di dilatazione, in questo caso cubica, visto che si parla di volumi, ha le dimensioni dell'inverso di una temperatura, poiché la quantità in parentesi deve essere adimensionale.
Sei convinto che la mia risposta non abbia senso, e che sia formalmente scorretta?
Ho preso semplicemente una relazione algebrica, quella scritta da nicolpatrol, e ho ricavato $\alpha$ . LA differenza $T-t$ non è omogeneamente scorretta. Sono due temperature entrambe. E il "grado centigrado" è uguale al "grado Kelvin" :
$T (K) = t(°C) + 273.15$ .
Ma si vede fin da subito che, essendo : $ V = V_0 (1 + \alphat) $ , il coefficiente di dilatazione, in questo caso cubica, visto che si parla di volumi, ha le dimensioni dell'inverso di una temperatura, poiché la quantità in parentesi deve essere adimensionale.
navigatore nella risposta precedente avevo messo tra virgolette la parola "omogenee", proprio perché volevo solo far capire che sono due temperature espresse una in Kelvin e una in °C.
Io non credo sia corretto scrivere \(\displaystyle 10[K] + 15 [°C] \) e poi dire che questo è il motivo per cui \(\displaystyle \alpha \) sia l'inverso dei \(\displaystyle °C \) (questo si evince dalla tua prima risposta!).
Continui a rispondere su qualcosa che non c'entra nulla col dubbio del primo utente.
Lui non chiede perché\(\displaystyle \alpha \) sia dimensionalmente valutabile come l'inverso di una temperatura, ma chiede un'altra cosa!
Poi, per concludere, vorrei dire che io non sono molto d'accordo quando i testi propongono l'espressione:
$T (K) = t(°C) + 273.15$ senza discutere minimamente quel \(\displaystyle 273.15 \). Molti studenti potrebbero credere si tratti di una grandezza adimensionale, mentre non è affatto adimensionale.
Io non credo sia corretto scrivere \(\displaystyle 10[K] + 15 [°C] \) e poi dire che questo è il motivo per cui \(\displaystyle \alpha \) sia l'inverso dei \(\displaystyle °C \) (questo si evince dalla tua prima risposta!).
"navigatore":
Ma si vede fin da subito che, essendo : $ V = V_0 (1 + \alphat) $ , il coefficiente di dilatazione, in questo caso cubica, visto che si parla di volumi, ha le dimensioni dell'inverso di una temperatura, poiché la quantità in parentesi deve essere adimensionale.
Continui a rispondere su qualcosa che non c'entra nulla col dubbio del primo utente.
Lui non chiede perché\(\displaystyle \alpha \) sia dimensionalmente valutabile come l'inverso di una temperatura, ma chiede un'altra cosa!
Poi, per concludere, vorrei dire che io non sono molto d'accordo quando i testi propongono l'espressione:
$T (K) = t(°C) + 273.15$ senza discutere minimamente quel \(\displaystyle 273.15 \). Molti studenti potrebbero credere si tratti di una grandezza adimensionale, mentre non è affatto adimensionale.
Vedo che bisogna essere pignoli, qui.
L'omogeneità dipende dall'essere la stessa grandezza fisica "temperatura", non dall'unità di misura : posso misurare una lunghezza in metri, piedi, yarde, fathoms , anni-luce….sempre lunghezza è !
Hai evinto male. Certamente non è corretto sommare gradi kelvin con gradi centigradi, volevo solo evidenziare che le dimensioni di $\alpha$ sono quelle dell' inverso di una temperatura. E infatti, dopo ho scritto :
Ma si vede fin da subito che, essendo : $ V = V_0 (1 + \alphat) $ , il coefficiente di dilatazione, in questo caso cubica, visto che si parla di volumi, ha le dimensioni dell'inverso di una temperatura, poiché la quantità in parentesi deve essere adimensionale.
MA tu dici che questo non c'entra col dubbio del primo utente. Dici che chiede un'altra cosa. Allora spiegala tu quest'altra cosa .
PEr me , lui dice che non gli torna, quando scrive : $ V = V_0\alphaT $ , per questioni di unità di misura. Ma se si rende conto che l'unità di misura di $\alpha$ è l'inverso di una temperatura, e che una differenza di temperatura misurata in [K] è uguale alla stessa differenza misurata in [°C] , perché questo è in realtà , allora il dubbio dovrebbe sparire.
È chiaro che quei $273.15$ sono gradi, che esprimono una differenza di temperatura . E che siano centigradi o kelvin, non importa, per quanto detto prima. Non tratto quel numero come adimensionale. Sai, sulle unità di misura io sono molto, molto pignolo.
Saluti
"Mathcrazy":
navigatore nella risposta precedente avevo messo tra virgolette la parola "omogenee", proprio perché volevo solo far capire che sono due temperature espresse una in Kelvin e una in °C.
L'omogeneità dipende dall'essere la stessa grandezza fisica "temperatura", non dall'unità di misura : posso misurare una lunghezza in metri, piedi, yarde, fathoms , anni-luce….sempre lunghezza è !
Io non credo sia corretto scrivere \(\displaystyle 10[K] + 15 [°C] \) e poi dire che questo è il motivo per cui \(\displaystyle \alpha \) sia l'inverso dei \(\displaystyle °C \) (questo si evince dalla tua prima risposta!)
Hai evinto male. Certamente non è corretto sommare gradi kelvin con gradi centigradi, volevo solo evidenziare che le dimensioni di $\alpha$ sono quelle dell' inverso di una temperatura. E infatti, dopo ho scritto :
Ma si vede fin da subito che, essendo : $ V = V_0 (1 + \alphat) $ , il coefficiente di dilatazione, in questo caso cubica, visto che si parla di volumi, ha le dimensioni dell'inverso di una temperatura, poiché la quantità in parentesi deve essere adimensionale.
MA tu dici che questo non c'entra col dubbio del primo utente. Dici che chiede un'altra cosa. Allora spiegala tu quest'altra cosa .
PEr me , lui dice che non gli torna, quando scrive : $ V = V_0\alphaT $ , per questioni di unità di misura. Ma se si rende conto che l'unità di misura di $\alpha$ è l'inverso di una temperatura, e che una differenza di temperatura misurata in [K] è uguale alla stessa differenza misurata in [°C] , perché questo è in realtà , allora il dubbio dovrebbe sparire.
Poi, per concludere, vorrei dire che io non sono molto d'accordo quando i testi propongono l'espressione:
$T (K) = t(°C) + 273.15$ senza discutere minimamente quel \(\displaystyle 273.15 \). Molti studenti potrebbero credere si tratti di una grandezza adimensionale, mentre così non è.
È chiaro che quei $273.15$ sono gradi, che esprimono una differenza di temperatura . E che siano centigradi o kelvin, non importa, per quanto detto prima. Non tratto quel numero come adimensionale. Sai, sulle unità di misura io sono molto, molto pignolo.
Saluti
"nicolpatrol":
dove \(\displaystyle \alpha = [°C^{-1}] \)
Mi pare l'utente avesse capito fosse un'inverso di temperatura.
Non è mia intenzione alzare un polverone inutile, ma anch'io sono molto pignolo
.Tu dici che \(\displaystyle \alpha \) dipende da una differenza di temperature e presumi forse di averlo dimostrato in questo modo:
"navigatore":
Dalla relazione : $ 1/\alpha + t = T $ , si ricava che : $ \alpha = 1/(T-t) $ .
Ma non è mica questa l'espressione da cui si evince che \(\displaystyle \alpha \) dipende da una differenza di temperature!!!
L'espressione di \(\displaystyle \alpha \) dovrebbe essere la seguente:
\(\displaystyle \alpha= \frac{1}{V} \left( \frac{\partial V}{\partial T}\right )_P \)
Dici che chiede un'altra cosa. Allora spiegala tu quest'altra cosa
Lui chiede se \(\displaystyle \alpha \)si possa esprimere anche in \(\displaystyle K \) oltre che in \(\displaystyle °C \)
"Mathcrazy":
…………..
Non è mia intenzione alzare un polverone inutile, ma anch'io sono molto pignolo
Tu dici che \(\displaystyle \alpha \) dipende da una differenza di temperature e presumi forse di averlo dimostrato in questo modo:
[quote="navigatore"]Dalla relazione : $ 1/\alpha + t = T $ , si ricava che : $ \alpha = 1/(T-t) $ .
Ma non è mica questa l'espressione da cui si evince che \(\displaystyle \alpha \) dipende da una differenza di temperature!!!
L'espressione di \(\displaystyle \alpha \) dovrebbe essere la seguente:
\(\displaystyle \alpha= \frac{1}{V} \left( \frac{\partial V}{\partial T}\right )_P \)
Dici che chiede un'altra cosa. Allora spiegala tu quest'altra cosa
Lui chiede se \(\displaystyle \alpha \)si possa esprimere anche in \(\displaystyle K \) oltre che in \(\displaystyle °C \)
[/quote]Si, mi sembra superfluo.
Non ho mai affermato che $\alpha$ dipende da una differenza di temperatura, né ho presunto di dimostrarlo a quel modo.
So bene che cosa è il coefficiente di dilatazione cubica, ma non mi sembrava il caso di scriverlo; comunque lo hai fatto tu , e va bene.
Per quanto riguarda l'ultima cosa, che poi era la richiesta di nicol, non è $\alpha$ ma il suo inverso, che si può esprimere con entrambe le temperature, perché, ripeto, si tratta di una differenza di temperature, e se usi [K] oppure [°C] la differenza è la stessa.
Ci siamo arrivati, ora, alla fine ? Mi sembra che stiamo dicendo la stessa cosa in definitiva.
Ma come si fa ad incartarsi su una cosa del genere? 
Ho cercato di chiarire qui il dubbio originario di nicolpatrol. Ci provo anche qui.
Il valore di $\alpha$ è \(\displaystyle \alpha=\frac{1}{273\cdot 1°C} \). Ora, poiché \(\displaystyle 1°C \) è esattamente la stessa cosa che \(\displaystyle 1K \), ne segue che si può scrivere anche \(\displaystyle \alpha=\frac{1}{273\cdot 1°K} \), a seconda dei propri gusti. La stessa cosa (cioè sostituire 1°C con 1 K) si può fare in qualsiasi costante (bada bene, nicolpatrol, ho detto costante e non legge fisica...è dall'aver confuso questi due concetti che è nato il tuo dubbio iniziale) in cui compaia una temperatura.
Ho cercato di chiarire qui il dubbio originario di nicolpatrol. Ci provo anche qui.
Il valore di $\alpha$ è \(\displaystyle \alpha=\frac{1}{273\cdot 1°C} \). Ora, poiché \(\displaystyle 1°C \) è esattamente la stessa cosa che \(\displaystyle 1K \), ne segue che si può scrivere anche \(\displaystyle \alpha=\frac{1}{273\cdot 1°K} \), a seconda dei propri gusti. La stessa cosa (cioè sostituire 1°C con 1 K) si può fare in qualsiasi costante (bada bene, nicolpatrol, ho detto costante e non legge fisica...è dall'aver confuso questi due concetti che è nato il tuo dubbio iniziale) in cui compaia una temperatura.
"navigatore":
Vedo che bisogna essere pignoli, qui.
Se vogliamo esserlo fino in fondo: non si dovrebbero racchiudere le unità di misura fra parentesi quadre.
E quindi sull'affermazione parziale
"Mathcrazy":
... Io non credo sia corretto scrivere \(\displaystyle 10[K] + 15 [°C] \) ...
Concordo pienamente.
@Renzo : 
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