Telaio con sbarretta mobile che forma doppio circuito
Salve,
Sto cercando di risolvere questo esercizio di Fisica II, ma mi trovo un po' in difficoltà e vi chiedo perciò gentilmente aiuto. Grazie in anticipo! Posto di seguito il testo dell'esercizio:
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(a)
Per determinare la corrente che scorre nei due circuiti e nell'asta mobile, procederei così:
Considerando un sistema di riferimento cartesiano \(\displaystyle xyz \), con asse \(\displaystyle x \) parallelo al lato lungo del telaio ed asse \(\displaystyle z \) coincidente con il verso del campo induzione magnetica uscente dal foglio, possiamo affermare che il flusso concatenato con il circuito di sinistra è dato da:
\(\displaystyle \Phi(\overline{B})= \int_{S} \overline{B} d\overline{S} = B x(t) d\)
dove \(\displaystyle x(t) \) è la posizione occupata dall'asta all'istante iniziale considerato. Dall'espressione del flusso ricaviamo la forza elettromotrice sul circuito, data da:
\(\displaystyle f_{em} = -{d \Phi(\overline{B})\over dt} = -B{d x(t) \over dt}d = -Bvd \)
Dalla seconda legge di Kirchoff ricaviamo dunque l'espressione della corrente che scorre nel circuito, data da:
\(\displaystyle iR_{p} = f_{em} =-Bvd \Rightarrow i = -{Bvd\over R_{p}} \)
dove \(\displaystyle R_{p} \) è la resistenza totale data dalle due resistenze in parallele dei lati esterni del telaio:
\(\displaystyle {1 \over R_{p}} = {1 \over R} + {1 \over R} \Rightarrow R_{p} = {R\over 2} \)
La corrente scorre dunque in verso orario nel circuito di sinistra e in verso antiorario nel circuito di destra.
Posso dire che la corrente ricavata è quella che scorre nella sbarretta e nei due circuiti?
(b)
Poichè la sbarretta mobile è costituita di materiale conduttore percorso da corrente ed immerso in un campo di induzione magnetica esterno, su di essa si genera una forza \(\displaystyle \overline{F} \):
\(\displaystyle d\overline{F} = i d\overline{l}\times \overline{B} = iBdl(-\hat{y} \times \hat{z}) = -iBdl\hat{x} \)
\(\displaystyle \overline{F} = -iBl\hat{x} \)
Dunque per mantenere la sbarretta in moto con velocità costante \(\displaystyle \overline{v} \) il motore deve esercitare una forza \(\displaystyle \overline{F}_{ext} \) data da:
\(\displaystyle \overline{F}_{ext} =-\overline{F} = +iBl\hat{x} \)
Quindi ricaverei la potenza spesa dal motore tramite la seguente relazione:
\(\displaystyle P = F v = iBl v = -{2B^{2}v^{2} l d\over R} \)
E' corretto?
Sto cercando di risolvere questo esercizio di Fisica II, ma mi trovo un po' in difficoltà e vi chiedo perciò gentilmente aiuto. Grazie in anticipo! Posto di seguito il testo dell'esercizio:
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(a)
Per determinare la corrente che scorre nei due circuiti e nell'asta mobile, procederei così:
Considerando un sistema di riferimento cartesiano \(\displaystyle xyz \), con asse \(\displaystyle x \) parallelo al lato lungo del telaio ed asse \(\displaystyle z \) coincidente con il verso del campo induzione magnetica uscente dal foglio, possiamo affermare che il flusso concatenato con il circuito di sinistra è dato da:
\(\displaystyle \Phi(\overline{B})= \int_{S} \overline{B} d\overline{S} = B x(t) d\)
dove \(\displaystyle x(t) \) è la posizione occupata dall'asta all'istante iniziale considerato. Dall'espressione del flusso ricaviamo la forza elettromotrice sul circuito, data da:
\(\displaystyle f_{em} = -{d \Phi(\overline{B})\over dt} = -B{d x(t) \over dt}d = -Bvd \)
Dalla seconda legge di Kirchoff ricaviamo dunque l'espressione della corrente che scorre nel circuito, data da:
\(\displaystyle iR_{p} = f_{em} =-Bvd \Rightarrow i = -{Bvd\over R_{p}} \)
dove \(\displaystyle R_{p} \) è la resistenza totale data dalle due resistenze in parallele dei lati esterni del telaio:
\(\displaystyle {1 \over R_{p}} = {1 \over R} + {1 \over R} \Rightarrow R_{p} = {R\over 2} \)
La corrente scorre dunque in verso orario nel circuito di sinistra e in verso antiorario nel circuito di destra.
Posso dire che la corrente ricavata è quella che scorre nella sbarretta e nei due circuiti?
(b)
Poichè la sbarretta mobile è costituita di materiale conduttore percorso da corrente ed immerso in un campo di induzione magnetica esterno, su di essa si genera una forza \(\displaystyle \overline{F} \):
\(\displaystyle d\overline{F} = i d\overline{l}\times \overline{B} = iBdl(-\hat{y} \times \hat{z}) = -iBdl\hat{x} \)
\(\displaystyle \overline{F} = -iBl\hat{x} \)
Dunque per mantenere la sbarretta in moto con velocità costante \(\displaystyle \overline{v} \) il motore deve esercitare una forza \(\displaystyle \overline{F}_{ext} \) data da:
\(\displaystyle \overline{F}_{ext} =-\overline{F} = +iBl\hat{x} \)
Quindi ricaverei la potenza spesa dal motore tramite la seguente relazione:
\(\displaystyle P = F v = iBl v = -{2B^{2}v^{2} l d\over R} \)
E' corretto?
Risposte
"Cosmoi":
possiamo affermare che il flusso concatenato con il circuito di sinistra è dato da:
\(\displaystyle \Phi(\overline{B})= \int_{S} \overline{B} d\overline{S} = B x(t) d\)
Perchè proprio quello di sinistra? E quello di destra?
Allora, ho preso il circuito di sinistra ma il flusso per il circuito di destra dovrebbe essere il medesimo, visto che l'area del circuito varia sempre secondo la relazione:
\(\displaystyle A(t) = x(t) d \)
\(\displaystyle A(t) = x(t) d \)
"Cosmoi":
Allora, ho preso il circuito di sinistra ma il flusso per il circuito di destra dovrebbe essere il medesimo, visto che l'area del circuito varia sempre secondo la relazione:
\(\displaystyle A(t) = x(t) d \)
Ok, salvo che uno aumenta e l'altro diminuisce. Ma quindi? Come mai non li sommi?
"mgrau":
... Ok, salvo che uno aumenta e l'altro diminuisce. Ma quindi? Come mai non li sommi?
Sì giusto, non so perchè ma mi ero dimenticato di sommare i due flussi che danno il flusso complessivo del campo attraverso l'intero telaio:
\(\displaystyle \Phi_{tot}(\overline{B}) = \Phi_{1}(\overline{B}) + \Phi_{2}(\overline{B}) = Bx(t)d + Bx(t)d= 2Bx(t) d \)
Dunque la fem indotta sul circuito è:
\(\displaystyle f_{em} = -{d \Phi_{tot}(\overline{B}) \over d t} = -2Bvd \)
Una volta determinata la fem del circuito, dalla seconda legge di Kirchoff, tenendo di conto che le due resistenze dei lati del telaio sono in parallelo, si deduce che:
\(\displaystyle iR_{p} = f_{em} \Rightarrow i{R \over 2} = -2Bvd \Rightarrow i = -{4Bvd \over R} \)
La corrente scorrerà in verso orario nel circuito di sinistra mentre in verso antiorario nel circuito di destra.
A parte non aver calcolato il flusso complessivo del campo \(\displaystyle \overline{B} \) attraverso i due circuiti, è corretto il resto dello svolgimento?
\(\displaystyle \Phi_{tot}(\overline{B}) = \Phi_{1}(\overline{B}) + \Phi_{2}(\overline{B}) = Bx(t)d + Bx(t)d= 2Bx(t) d \)
Dunque la fem indotta sul circuito è:
\(\displaystyle f_{em} = -{d \Phi_{tot}(\overline{B}) \over d t} = -2Bvd \)
Una volta determinata la fem del circuito, dalla seconda legge di Kirchoff, tenendo di conto che le due resistenze dei lati del telaio sono in parallelo, si deduce che:
\(\displaystyle iR_{p} = f_{em} \Rightarrow i{R \over 2} = -2Bvd \Rightarrow i = -{4Bvd \over R} \)
La corrente scorrerà in verso orario nel circuito di sinistra mentre in verso antiorario nel circuito di destra.
A parte non aver calcolato il flusso complessivo del campo \(\displaystyle \overline{B} \) attraverso i due circuiti, è corretto il resto dello svolgimento?
"Cosmoi":
Sì giusto, non so perchè ma mi ero dimenticato di sommare i due flussi che danno il flusso complessivo del campo attraverso l'intero telaio:...
Mah, io avrei scommesso che il flusso attraverso l'intero telaio sarebbe rimasto costante, indipendentemente dalla posizione dell'asta.
Il tuo problema, ancora una volta, sono i segni ...
... dei flussi, delle fem e delle correnti; senza aver prima scelto un verso (arbitrario) di riferimento, i segni sono privi di significato
Ti ringrazio per la risposta. Allora ho bisogno di capire questa cosa: se considero ad esempio il circuito di sinistra, come detto in precedenza, deduco che il flusso del campo \(\displaystyle \overline{B} \) sarà crescente allo spostarsi dell'asta mobile, mentre per il circuito di destra otterrò un flusso che decresce allo spostarsi dell'asta. Sono d'accordo a logica che il flusso totale attraverso il telaio debba risultare indipendente dalla posizione dell'asta, visto che l'area del telaio è costante. Calcolerei così quindi il flusso totale:
\(\displaystyle \Phi_{tot}(\overline{B})= \Phi_{1}(\overline{B}) + \Phi_{2}(\overline{B}) = Bx(t)d + B(x_{l} - x(t))d \)
\(\displaystyle \Rightarrow \Phi_{tot}(\overline{B}) = B(x(t) + x_{l} -x(t))d = Bx_{l}d\)
dove \(\displaystyle x_{l} \) rappresenta la lunghezza del lato lungo del telaio rettangolare. Quindi il flusso attraverso l'intero telaio è costante. Considerando uno dei due circuiti possiamo calcolare la forza elettromotrice cinetica come segue:
\(\displaystyle f_{em} = -{d \Phi_{1}(\overline{B}) \over dt} = -Bvd \)
Il circuito quindi può essere schematizzato come un circuito rettangolare in cui al posto dell'asta mobile è presente un generatore di tensione con la \(\displaystyle f_{em} \) appena calcolata. La corrente indotta scorre nella sbarretta dall'alto verso il basso, nel circuito di sinistra scorre in senso orario perché il campo che essa crea dev’essere entrante nella pagina, per compensare l’aumento di flusso in direzione uscente causato dall’avanzare della barretta, mentre sul circuito di destra scorre in senso antiorario.
\(\displaystyle \Phi_{tot}(\overline{B})= \Phi_{1}(\overline{B}) + \Phi_{2}(\overline{B}) = Bx(t)d + B(x_{l} - x(t))d \)
\(\displaystyle \Rightarrow \Phi_{tot}(\overline{B}) = B(x(t) + x_{l} -x(t))d = Bx_{l}d\)
dove \(\displaystyle x_{l} \) rappresenta la lunghezza del lato lungo del telaio rettangolare. Quindi il flusso attraverso l'intero telaio è costante. Considerando uno dei due circuiti possiamo calcolare la forza elettromotrice cinetica come segue:
\(\displaystyle f_{em} = -{d \Phi_{1}(\overline{B}) \over dt} = -Bvd \)
Il circuito quindi può essere schematizzato come un circuito rettangolare in cui al posto dell'asta mobile è presente un generatore di tensione con la \(\displaystyle f_{em} \) appena calcolata. La corrente indotta scorre nella sbarretta dall'alto verso il basso, nel circuito di sinistra scorre in senso orario perché il campo che essa crea dev’essere entrante nella pagina, per compensare l’aumento di flusso in direzione uscente causato dall’avanzare della barretta, mentre sul circuito di destra scorre in senso antiorario.
Certo, il flusso sull'intero telaio è costante... E il flusso nei due semi-telai cresce da una parte e decresce dall'altra, quindi la corrente circola in un verso in un semitelaio e nel verso opposto nell'altro, per cui, fortunatamente, nella sbarretta va sempre nello stesso senso .
Con le mie domande, che magari ti sono sembrate provocatorie, ti volevo far riflettere sul fatto che la regola del flusso va usata cum grano salis, sostanzialmente come un trucco che in certi casi semplifica le cose.
Ma non si deve dimenticare che il meccanismo di fondo è la forza di Lorentz che agisce sulle cariche della sbarretta in movimento, e che dà luogo alla f.e.m. $Bvd$, una volta sola, perchè la sbarretta è una sola.
Se hai chiaro questo, allora puoi considerare il flusso da un parte sola (non importa quale).
E quindi, come dici tu, si tratta di un generatore di tensione con due resistenze in parallelo.
E il flusso nei due semi-telai cresce da una parte e decresce dall'altra, quindi la corrente circola in un verso in un semitelaio e nel verso opposto nell'altro, per cui, fortunatamente, nella sbarretta va sempre nello stesso senso . Con le mie domande, che magari ti sono sembrate provocatorie, ti volevo far riflettere sul fatto che la regola del flusso va usata cum grano salis, sostanzialmente come un trucco che in certi casi semplifica le cose.
Ma non si deve dimenticare che il meccanismo di fondo è la forza di Lorentz che agisce sulle cariche della sbarretta in movimento, e che dà luogo alla f.e.m. $Bvd$, una volta sola, perchè la sbarretta è una sola.
Se hai chiaro questo, allora puoi considerare il flusso da un parte sola (non importa quale).
E quindi, come dici tu, si tratta di un generatore di tensione con due resistenze in parallelo.
Ok, grazie davvero! Mi è servito rifletterci un po'!
Per quanto riguarda l'ultimo punto, ossia la determinazione dello spazio percorso dalla sbarretta prima che questa si fermi, una volta che si spegne il motore che ne permette il moto, agirei così:
Una volta spento il motore, sulla sbarretta agisce una forza dovuta al fatto che la sbarretta è un conduttore in moto immerso in un campo magnetico esterno e quindi:
\(\displaystyle \overline{F} = -{2B^{2}d^{2} v \over R} \hat{x} \)
Per determinare lo spazio percorso utilizzerei il teorema della forze vive, ossia andrei a considere il lavoro svolto da quest'ultima forza e lo porrei uguale alla variazione di energia cinetica, tra l'istante iniziale (sbarretta in moto) e l'istante finale (sbarretta ferma). E' corretto o mi sto perdendo qualcosa?
Per quanto riguarda l'ultimo punto, ossia la determinazione dello spazio percorso dalla sbarretta prima che questa si fermi, una volta che si spegne il motore che ne permette il moto, agirei così:
Una volta spento il motore, sulla sbarretta agisce una forza dovuta al fatto che la sbarretta è un conduttore in moto immerso in un campo magnetico esterno e quindi:
\(\displaystyle \overline{F} = -{2B^{2}d^{2} v \over R} \hat{x} \)
Per determinare lo spazio percorso utilizzerei il teorema della forze vive, ossia andrei a considere il lavoro svolto da quest'ultima forza e lo porrei uguale alla variazione di energia cinetica, tra l'istante iniziale (sbarretta in moto) e l'istante finale (sbarretta ferma). E' corretto o mi sto perdendo qualcosa?
Va bene ,ma tieni presente che in realtà la sbarretta non si ferma mai... 
Ma forse è meglio se consideri che tutta l'energia cinetica deve andare in effetto Joule, e se pensi alla relazione fra la variazione di flusso e la carica che è stata messa in movimento.
Ma forse è meglio se consideri che tutta l'energia cinetica deve andare in effetto Joule, e se pensi alla relazione fra la variazione di flusso e la carica che è stata messa in movimento.
Oook! Allora provo a postare il risultato utilizzando entrambi i metodi:
(i) - Considero il lavoro fatto dalla forza che agisce sulla sbarretta \(\displaystyle \overline{F} \) (a cui si opponeva la forza esercitata dal motore) dall'istante iniziale a quello finale in cui la sbarretta si ferma e lo pongo uguale alla variazione di energia cinetica di quest'ultima:
\(\displaystyle L= \overline{F} \cdot \overline{\Delta x}= \Delta K \Rightarrow iLB\Delta x = {1 \over 2}mv^{2} \Rightarrow \Delta x = {mv^{2} \over 2iLB}\)
(ii) - Considero che l'energia cinetica si deve trasformare in energia dissipata (\(\displaystyle W) \) per effetto Joule, quindi posso porre:
\(\displaystyle W = \int_{0}^{t} i^{2} R dt = \Delta K = {1\over 2} mv^{2}\)
Cosa ricavo però dall'integrale? Ho la corrente che dipende dalla velocità di spostamento della sbarretta, quindi integrando dovrei ottenre la posizione di questa. Ma non riesco a vedere come trovare alla fine lo spazio percorso.
(i) - Considero il lavoro fatto dalla forza che agisce sulla sbarretta \(\displaystyle \overline{F} \) (a cui si opponeva la forza esercitata dal motore) dall'istante iniziale a quello finale in cui la sbarretta si ferma e lo pongo uguale alla variazione di energia cinetica di quest'ultima:
\(\displaystyle L= \overline{F} \cdot \overline{\Delta x}= \Delta K \Rightarrow iLB\Delta x = {1 \over 2}mv^{2} \Rightarrow \Delta x = {mv^{2} \over 2iLB}\)
(ii) - Considero che l'energia cinetica si deve trasformare in energia dissipata (\(\displaystyle W) \) per effetto Joule, quindi posso porre:
\(\displaystyle W = \int_{0}^{t} i^{2} R dt = \Delta K = {1\over 2} mv^{2}\)
Cosa ricavo però dall'integrale? Ho la corrente che dipende dalla velocità di spostamento della sbarretta, quindi integrando dovrei ottenre la posizione di questa. Ma non riesco a vedere come trovare alla fine lo spazio percorso.
Intanto dimentica il mio suggerimento sulla variazione totale di flusso, che non porta da nessuna parte.
Poi, il tuo metodo 1: vedo che ottieni un risultato per $Deltax$ che dipende da $i$, e quindi?
Dovresti, come mi pare avevi scritto prima, scrivere una eq. differenziale che lega accelerazione e velocità, e viene una cosa del tipo $ddot x + k dot x = 0$, con un $k$ opportuno, che porta ad una velocità esponenziale discendente, e lo spazio percorso in totale è il suo integrale per $t$ che va da zero a infinito
Poi, il tuo metodo 1: vedo che ottieni un risultato per $Deltax$ che dipende da $i$, e quindi?
Dovresti, come mi pare avevi scritto prima, scrivere una eq. differenziale che lega accelerazione e velocità, e viene una cosa del tipo $ddot x + k dot x = 0$, con un $k$ opportuno, che porta ad una velocità esponenziale discendente, e lo spazio percorso in totale è il suo integrale per $t$ che va da zero a infinito
Ok, allora vediamo se ho capito bene. Prima di tutto però ho una domanda: perchè il metodo 1 non va bene? Cioè perchè lo spazio percorso non dovrebbe essere ricavabile direttamente dal teorema delle forze vive? Forse perchè la velocità che compare nell'espressione della corrente non è più quella costante?
Partendo invece dall'equazione del moto della sbarretta, abbiamo:
\(\displaystyle F = ma = m\ddot{x}(t) = iLB \Rightarrow m \ddot{x}(t) = -{2LB^{2}d\over R} \dot{x}(t) \)
\(\displaystyle \Rightarrow \ddot{x}(t) + {2LB^{2}d\over mR} \dot{x}(t) =0 \)
Questa è una EDO del secolondo ordine lineare quindi scriviamo il polinomio associalto:
\(\displaystyle P(\lambda) = \lambda^{2} +{2LB^{2}d\over mR}\lambda =0 \)
\(\displaystyle \Delta = b^{2} -4ac = {2LB^{2}d\over mR}^{2} \Rightarrow \lambda_{1,2} ={-{2LB^{2}d\over mR} \pm \sqrt{{2LB^{2}d\over mR}^{2}} \over 2} \Rightarrow \lambda_{1} = 0, \lambda_{2} = -{2LB^{2}d \over mR} \)
Quindi la soluzione dell'equazione differenziale è:
\(\displaystyle v(t) = c_{1}e^{0t} + c_{2} e^{-{2LB^{2}d\over mR}t}= c_{1} + c_{2} e^{-{2LB^{2}d\over mR}t} \)
non ho però le condizioni per definire le costanti e quindi una forma esplicita della velocità che dovrò poi integrare.
Partendo invece dall'equazione del moto della sbarretta, abbiamo:
\(\displaystyle F = ma = m\ddot{x}(t) = iLB \Rightarrow m \ddot{x}(t) = -{2LB^{2}d\over R} \dot{x}(t) \)
\(\displaystyle \Rightarrow \ddot{x}(t) + {2LB^{2}d\over mR} \dot{x}(t) =0 \)
Questa è una EDO del secolondo ordine lineare quindi scriviamo il polinomio associalto:
\(\displaystyle P(\lambda) = \lambda^{2} +{2LB^{2}d\over mR}\lambda =0 \)
\(\displaystyle \Delta = b^{2} -4ac = {2LB^{2}d\over mR}^{2} \Rightarrow \lambda_{1,2} ={-{2LB^{2}d\over mR} \pm \sqrt{{2LB^{2}d\over mR}^{2}} \over 2} \Rightarrow \lambda_{1} = 0, \lambda_{2} = -{2LB^{2}d \over mR} \)
Quindi la soluzione dell'equazione differenziale è:
\(\displaystyle v(t) = c_{1}e^{0t} + c_{2} e^{-{2LB^{2}d\over mR}t}= c_{1} + c_{2} e^{-{2LB^{2}d\over mR}t} \)
non ho però le condizioni per definire le costanti e quindi una forma esplicita della velocità che dovrò poi integrare.
Come primo metodo intendi
Ma ovviamente la velocità, quindi la corrente, quindi la forza, variano, lì le tratti come costanti...
Dici che non hai le condizioni? Cosa ti serve? Al tempo zero la velocità è $v$, al $t = infty$ si ha $v = 0$, non basta?
?
\(\displaystyle L= \overline{F} \cdot \overline{\Delta x}= \Delta K \Rightarrow iLB\Delta x = {1 \over 2}mv^{2} \Rightarrow \Delta x = {mv^{2} \over 2iLB}\)
Ma ovviamente la velocità, quindi la corrente, quindi la forza, variano, lì le tratti come costanti...
Dici che non hai le condizioni? Cosa ti serve? Al tempo zero la velocità è $v$, al $t = infty$ si ha $v = 0$, non basta?
Ok, mi torna che il primo metodo non vada bene visto che la corrente dipende dalla velocità ed è variabile nel tempo.
Tornando alla risoluzione dell'equazione differenziale, imponiamo le condizioni iniziali per la determinazione delle costanti \(\displaystyle c_{1} \)e \(\displaystyle c_{2} \):
\(\displaystyle v(t) = c_{1} + c_{2} e^{-{2LB^{2} d\over mR}t} \)
\(\displaystyle v(0) = v \Rightarrow v(0) = v = c_{1} + c_{2} \Rightarrow c_{2} = v-c_{1}\)
\(\displaystyle v(\infty) = 0 \Rightarrow 0 = c_{1} \)
Otteniamo allora:
\(\displaystyle v(t) = ve^{-{2LB^{2}d\over mR}t} \)
Quindi per determinare lo spazio percorso prima di fermarsi, possiamo integrare l'espressione della velocità ottenuta tra l'istante iniziale (\(\displaystyle t=0 \)) e l'istante finale in cui l'asta si ferma (\(\displaystyle t=\infty \)):
\(\displaystyle \Delta x = \int_{0}^{\infty} v(t) dt = \int_{0}^{\infty} ve^{-{2LB^{2} d \over mR}t} dt= -v[e^{-{2LB^{2}d\over mR}t}]_{t=0}^{t=\infty} \Rightarrow \Delta x = +v\)
Otterrei quindi tale valore per lo spazio percorso dall'asta prima di fermarsi, sperando di non aver commesso errori di calcolo. Giusto?
Tornando alla risoluzione dell'equazione differenziale, imponiamo le condizioni iniziali per la determinazione delle costanti \(\displaystyle c_{1} \)e \(\displaystyle c_{2} \):
\(\displaystyle v(t) = c_{1} + c_{2} e^{-{2LB^{2} d\over mR}t} \)
\(\displaystyle v(0) = v \Rightarrow v(0) = v = c_{1} + c_{2} \Rightarrow c_{2} = v-c_{1}\)
\(\displaystyle v(\infty) = 0 \Rightarrow 0 = c_{1} \)
Otteniamo allora:
\(\displaystyle v(t) = ve^{-{2LB^{2}d\over mR}t} \)
Quindi per determinare lo spazio percorso prima di fermarsi, possiamo integrare l'espressione della velocità ottenuta tra l'istante iniziale (\(\displaystyle t=0 \)) e l'istante finale in cui l'asta si ferma (\(\displaystyle t=\infty \)):
\(\displaystyle \Delta x = \int_{0}^{\infty} v(t) dt = \int_{0}^{\infty} ve^{-{2LB^{2} d \over mR}t} dt= -v[e^{-{2LB^{2}d\over mR}t}]_{t=0}^{t=\infty} \Rightarrow \Delta x = +v\)
Otterrei quindi tale valore per lo spazio percorso dall'asta prima di fermarsi, sperando di non aver commesso errori di calcolo. Giusto?
Scusa ma L cosa rappresenta?
Sì scusami, ho utilizzato un'altra lettera ma in realtà \(\displaystyle L=d \), perchè è la lunghezza della sbarretta.
"Cosmoi":
\(\displaystyle \Delta x = \int_{0}^{\infty} v(t) dt = \int_{0}^{\infty} ve^{-{2LB^{2} d \over mR}t} dt= -v[e^{-{2LB^{2}d\over mR}t}]_{t=0}^{t=\infty} \Rightarrow \Delta x = +v\)
Mi sembra che manchi qualcosa nella soluzione di quell'integrale, se non altro dimensionalmente. Poi non è strano che il risultato non dipenda da $B$, da $m$ da $R$ ...
Infatti ho sbagliato io, dormivo a fare l'integrale
\(\displaystyle \Delta x = \int_{0}^{\infty} v(t) dt = \int_{0}^{\infty} ve^{-{2B^{2}d^{2} \over mR}t} dt = -v{mR \over 2B^{2} d^{2}}e^{-{2B^{2}d^{2} \over mR}t}|_{t=0}^{t=\infty} = +v{mR \over 2B^{2} d^{2}}\)
\(\displaystyle \Rightarrow \Delta x =+v{mR \over 2B^{2} d^{2}} \)
\(\displaystyle \Delta x = \int_{0}^{\infty} v(t) dt = \int_{0}^{\infty} ve^{-{2B^{2}d^{2} \over mR}t} dt = -v{mR \over 2B^{2} d^{2}}e^{-{2B^{2}d^{2} \over mR}t}|_{t=0}^{t=\infty} = +v{mR \over 2B^{2} d^{2}}\)
\(\displaystyle \Rightarrow \Delta x =+v{mR \over 2B^{2} d^{2}} \)
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