Tavola che trascina un cilindro
Una tavola T di massa M1, sotto l'azione di una forza orizzontale costante F patendo all'istante t=0 dalle condizioni iniziali in quiete in figura e scivolando senza attrito sul piano orizzontale P1, mette in movimento un rullo cilindrico di massa M2 e di raggio R. Il cilindro rotola senza strisciare sia sul piano orizzontale P2 sia sulla tavola T. Determinare:
1) L'energia cinetica dell'intero sistema all'istante in cui la tavola abbandona il piano P1; 2) La velocità del centro di massa del rullo nello stesso istante; 3) Il tempo che intercorre fra l'istante t=0 e l'istante di cui al punto 1)
Io ho provato cosi:
1) $ L = \DeltaK $
$ F \frac{L}{4} = K_f - K_i = K_f$ poichè $K_i$ è zero
2) $ F \frac{L}{4} = \frac{1}{2} M_1 v_1^2 + \frac{1}{2}I \omega^2 + \frac{1}{2} M_2 v_2^2 $
Poichè $ \omega = \frac{v_2}{R} $ e $v_1 = v_2 $
si trova:
$v = \sqrt{\frac{FL}{2M_1 + 3M_2}} $
3) non lo so
vi sembra corretto per ora?
1) L'energia cinetica dell'intero sistema all'istante in cui la tavola abbandona il piano P1; 2) La velocità del centro di massa del rullo nello stesso istante; 3) Il tempo che intercorre fra l'istante t=0 e l'istante di cui al punto 1)
Io ho provato cosi:
1) $ L = \DeltaK $
$ F \frac{L}{4} = K_f - K_i = K_f$ poichè $K_i$ è zero
2) $ F \frac{L}{4} = \frac{1}{2} M_1 v_1^2 + \frac{1}{2}I \omega^2 + \frac{1}{2} M_2 v_2^2 $
Poichè $ \omega = \frac{v_2}{R} $ e $v_1 = v_2 $
si trova:
$v = \sqrt{\frac{FL}{2M_1 + 3M_2}} $
3) non lo so
vi sembra corretto per ora?
Risposte
Premesso che, nella relazione sottostante:
nel distinguere le due masse hai confuso un pedice, la velocità di traslazione della tavola è diversa dalla velocità di traslazione del rullo:
Teorema delle forze vive
$FL/4=1/2M_1v_1^2+1/2I\omega^2+1/2M_1v_2^2$
nel distinguere le due masse hai confuso un pedice, la velocità di traslazione della tavola è diversa dalla velocità di traslazione del rullo:
$v_1 ne v_2$
Si, c'è un errore nel pedice.
Ad ogni modo, come faccio a capire in che rapporto sono le due velocità?
Ad ogni modo, come faccio a capire in che rapporto sono le due velocità?
Intanto, il centro di istantanea rotazione del rullo è il suo punto di contatto con il piano orizzontale. Inoltre, poiché il rullo rotola senza strisciare anche sotto la tavola, il punto di contatto della tavola ha la stessa velocità assoluta del punto di contatto del rullo. Insomma, la velocità di traslazione della tavola è il doppio della velocità di traslazione del rullo:
$v_(t a v o l a)/v_(r u l l o)=(2R)/R=2$
ok allora:
$v_1 = 2v_2$.
Con questo accorgimento si ottiene:
$v = \sqrt{\frac{FL}{8M_1 + 3M_2}}$
Avrei però ora una domanda. Supponiamo che il punto di contatto tra il cilindro ed una certa piattaforma sia il punto più basso della circonferenza del cilindro, e che il rotolamento avvenga senza strisciare.
A questo punto si ha che le velocità assolute devono essere uguali e dunque entrambe nulle. Mentre quelle relative sono pari e opposte. Mi sbaglio?
Mentre per quanto riguarda il punto 3 pensavo di ricavarmi t dalla relazione
$ v = at$
Ma sto avendo difficoltà a ricavare a.
$v_1 = 2v_2$.
Con questo accorgimento si ottiene:
$v = \sqrt{\frac{FL}{8M_1 + 3M_2}}$
Avrei però ora una domanda. Supponiamo che il punto di contatto tra il cilindro ed una certa piattaforma sia il punto più basso della circonferenza del cilindro, e che il rotolamento avvenga senza strisciare.
A questo punto si ha che le velocità assolute devono essere uguali e dunque entrambe nulle. Mentre quelle relative sono pari e opposte. Mi sbaglio?
Mentre per quanto riguarda il punto 3 pensavo di ricavarmi t dalla relazione
$ v = at$
Ma sto avendo difficoltà a ricavare a.
"Dracmaleontes":
Supponiamo che il punto di contatto ...
Dovresti essere più chiaro. Invece, per quanto riguarda le accelerazioni:
$[M_1a_1=F-F_a] ^^ [1/2M_2R^2\alpha_2=2F_aR] ^^ [\alpha_2=a_2/R] ^^ [a_1=2a_2]$
Insomma, un sistema di 4 equazioni in 4 incognite.
Per quanto riguarda la seconda equazione che hai scritto, il momento di inerzia non dovrebbe essere:
$\frac{3}{2} M_2 R^2$, essendo il centro di istantanea rotazione il punto di contatto rullo - tavola ?
Per quanto riguarda la domanda di prima mi riferivo ad una situazione del genere:
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 9&t=208796
In cui un corpo rigido ruota senza slittare su una piattaforma, in questo caso, seguendo il ragionamento che hai fatto prima, le velocità assolute devono essere uguali e dunque entrambe nulle (la velocità del punto di contatto è $0*v_{CM}$. Mentre quelle relative sono pari e opposte?
$\frac{3}{2} M_2 R^2$, essendo il centro di istantanea rotazione il punto di contatto rullo - tavola ?
Per quanto riguarda la domanda di prima mi riferivo ad una situazione del genere:
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 9&t=208796
In cui un corpo rigido ruota senza slittare su una piattaforma, in questo caso, seguendo il ragionamento che hai fatto prima, le velocità assolute devono essere uguali e dunque entrambe nulle (la velocità del punto di contatto è $0*v_{CM}$. Mentre quelle relative sono pari e opposte?
"Dracmaleontes":
Per quanto riguarda la domanda di prima mi riferivo ad una situazione del genere:
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 9&t=208796
In cui un corpo rigido ruota senza slittare su una piattaforma[....]
Cosa c'entra quel problema? Lì il piano (piattaforma) su cui poggia il cilindro si muoveva qui il piano di appoggio è fisso.
Riguardo le equazioni di Sergeant Elias, credo che in effetti ci sia un refuso nel momento di inerzia.
"Faussone":
... credo che in effetti ci sia un refuso nel momento di inerzia.
Mi sono sbagliato. Per un qualche motivo, invece di considerare il momento d'inerzia rispetto al punto di contatto, ho considerato il momento d'inerzia rispetto al centro. Grazie per la correzione a entrambi.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo