Sviluppo in serie
Buongiorno ragazzi!
Nel Mencuccini-Silvestrini - "Fisica I" per introdurre la legge di espansione volumica, che solitamente in altri testi viene data come legge sperimentale, gli autori scrivono:
In seguito si dice che per variazioni di temperatura sufficientemente piccoli i termini successivi al secondo si possono trascurare, e di conseguenza si ricava la stranota legge:
[tex]\Delta V = V_0\beta \Delta T[/tex]
Ma quindi, di ogni funzione (grandezza fisica) io posso, attraverso questo procedimento, ricavare una legge analoga alla precedente?
Quindi questa legge fisica in realtà non è una legge in quanto è semplicemente una conseguenza intrinseca al significato di grandezza fisica espressa come funzione di qualche variabile.
Voi cosa ne pensate?
Nel Mencuccini-Silvestrini - "Fisica I" per introdurre la legge di espansione volumica, che solitamente in altri testi viene data come legge sperimentale, gli autori scrivono:
A pressione constante potremmo dire che il volume $V$ è funzione della temperatura $T$: $V = V(T)$.
Detto $V_0$ il volume alla temperatura $T_0$, sviluppando in serie intorno alla temperatura $T_{0}$ potremmo scrivere:
[tex]V(T) = V_0(1 + \beta \Delta T + \gamma(\Delta T)^2 + ...)[/tex] con [tex]\Delta T = T - T_0[/tex]
In seguito si dice che per variazioni di temperatura sufficientemente piccoli i termini successivi al secondo si possono trascurare, e di conseguenza si ricava la stranota legge:
[tex]\Delta V = V_0\beta \Delta T[/tex]
Ma quindi, di ogni funzione (grandezza fisica) io posso, attraverso questo procedimento, ricavare una legge analoga alla precedente?
Quindi questa legge fisica in realtà non è una legge in quanto è semplicemente una conseguenza intrinseca al significato di grandezza fisica espressa come funzione di qualche variabile.
Voi cosa ne pensate?
Risposte
ma guarda, posto che i coefficienti $beta$ e $gamma$ non sono stati esplicitati, detta così è semplicemente che ha questa funzione V(T), e poichè gli interessa studiare il problema in un intorno di $T_0$, ne fa lo sviluppo di taylor in quell'intorno (come lo si potrebbe fare per una funzione qualsiasi), detto ciò è assolutamente lecito che si ricavi quel $DeltaV$ in quel modo, trascurando il volume iniziale $V_0$, e gli incrementi di volume dovuti a termini successivi dello sviluppo, poichè capisci bene che darebbero un contributo molto inferiore essendo i $DeltaT$ elevati a potenze via via sempre maggiori (ricorda che $|DeltaT|<1$.....a me sembra solo questo
Non sto mettendo in dubbio la validità di questo metodo. Ho capito perfettamente il procedimento e i passaggi mi sono chiari.
Quello che volevo discutere con voi era innanzi tutto il fatto che solitamente una legge sperimentale non è ricavata da un procedimento matematico (negli altri testi viene data per valida a priori). Inoltre, ripeto, con questo sviluppo di tutte le grandezze fisiche posso ricavare una legge analoga. Forse in altri casi la determinazione sperimentale dei coefficenti è più complicata e specifica.
Forse sono io che mi sto facendo troppi problemi, in ogni caso questo procedimento è la prima volta che lo trovo, soprattutto per una funzione di cui non conosco la forma analitica!
Quello che volevo discutere con voi era innanzi tutto il fatto che solitamente una legge sperimentale non è ricavata da un procedimento matematico (negli altri testi viene data per valida a priori). Inoltre, ripeto, con questo sviluppo di tutte le grandezze fisiche posso ricavare una legge analoga. Forse in altri casi la determinazione sperimentale dei coefficenti è più complicata e specifica.
Forse sono io che mi sto facendo troppi problemi, in ogni caso questo procedimento è la prima volta che lo trovo, soprattutto per una funzione di cui non conosco la forma analitica!
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