Sulla sovrapposizione delle onde piane
Salve a tutti. In un mio precedente post ho posto una questione relativa all'energia infinita dell'onda elettromagnetica piana monocromatica. Ora, nell'ambito di una serie di esercizi che sto svolgendo, mi viene chiesto di cercare una sovrapposizione di onde piane con energia finita. Ho pensato di procedere nel modo seguente, ma mi occorre una mano nel tirare le somme e per decidere se é corretto.
L'idea che ho é restringere spazialmente le onde piane monocromatiche, quindi considero una funzione rettangolo tridimensionale:
$ f(\bar{x})= 1 $ se $-a_i<= x_i <= a_i , i=1,2,3 $ e zero altrove.
Dopodiché, la metto in un integrale per pesare la sovrapposizione delle onde piane del tipo $e^{i(k_ix_i-\omega t}$:
$int_{R^3} f(\bar{x}) e^{i(k_ix_i-\omega t)}d^3x = int_{-a_1}^{a_1} int_{-a_2}^{a_2} int_{-a_3}^{a_3} e^{i(k_ix_i-\omega t)} d^3x$
Può funzionare in questo modo? Ha senso quello che ho scritto? Grazie a chi vorrá rispondermi.
L'idea che ho é restringere spazialmente le onde piane monocromatiche, quindi considero una funzione rettangolo tridimensionale:
$ f(\bar{x})= 1 $ se $-a_i<= x_i <= a_i , i=1,2,3 $ e zero altrove.
Dopodiché, la metto in un integrale per pesare la sovrapposizione delle onde piane del tipo $e^{i(k_ix_i-\omega t}$:
$int_{R^3} f(\bar{x}) e^{i(k_ix_i-\omega t)}d^3x = int_{-a_1}^{a_1} int_{-a_2}^{a_2} int_{-a_3}^{a_3} e^{i(k_ix_i-\omega t)} d^3x$
Può funzionare in questo modo? Ha senso quello che ho scritto? Grazie a chi vorrá rispondermi.
Risposte
Ciao Gianluca,
quel che stai costruendo è un pacchetto d'onda (ossia stai restringendo e modulando una sovrapposizione di onde piane). Il modo più naturale (e qui forse andrebbe aperto un discorso al riguardo, ma non ne ho la competenza) di modulare tali onde piane è mediante una gaussiana (una funzione del tipo $f(x)=e^(-x^2)$). Fisicamente non so che interpretazione si possa dare ad un pacchetto d'onda a parallelepipedo, ma matematicamente non credo ci siano problemi.
Aspetto con te risposte più profonde sull'argomento
quel che stai costruendo è un pacchetto d'onda (ossia stai restringendo e modulando una sovrapposizione di onde piane). Il modo più naturale (e qui forse andrebbe aperto un discorso al riguardo, ma non ne ho la competenza) di modulare tali onde piane è mediante una gaussiana (una funzione del tipo $f(x)=e^(-x^2)$). Fisicamente non so che interpretazione si possa dare ad un pacchetto d'onda a parallelepipedo, ma matematicamente non credo ci siano problemi.
Aspetto con te risposte più profonde sull'argomento
Ho l'impressione che lo spirito dell'esercizio fosse diverso da come lo ha inteso gianluca, ossia le onde piane da sovrapporre devono comunque essere intese infinitamente estese senno....troppo facile. Un modo banale potrebbe essere quello di sovrapporre due onde piane in opposizione di fase, che darebbero campo nullo in ogni punto e quindi energia nulla. La proposta di delcross mi pare buona ma credo che il campo vada modulato su tutto il fronte d'onda e quindi anche sul piano yz. Piu in dettaglio non saprei andare ora.
Grazie per le risposte, in effetti sto ripensando che inizialmente l'esercizio dovesse essere inteso diversamente. Sto pensando che la sovrapposizione delle onde piane debba essere fatta con onde infinitamente estese ed agendo sulla loro frequenza, in modo che per interferenza si distruggano sempre più all infinito a rendere l'integrale dell'energia finito. Che ne pensate? Credete che sia possibile?
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