Sul principio di minima azione
ciao a tutti!
Oggi stavo ripensando ad alcuni problemi concettuali di meccanica che al tempo dell'esame avevo un pò sorvolato
...
se siamo in un problema meccanico (i.e., come intende landau, in presenza di vincoli ideali), allora le equazioni di lagrange le possiamo ottenere minimizzando la quantità $int_{t_1}^{t_2}Ldt$ ovvero minimizzando l'azione. Questo deriva direttamente dal principio - appunto - di minima azione di Hamilton.
Esso ha senso implicitamente solo se nel sistema considerato non siano presenti attriti, perchè? Perchè se ci fossero attriti il principio di minima azione non sarebbe più valido? ci sono modi per correggerlo?...
Oggi stavo ripensando ad alcuni problemi concettuali di meccanica che al tempo dell'esame avevo un pò sorvolato
...se siamo in un problema meccanico (i.e., come intende landau, in presenza di vincoli ideali), allora le equazioni di lagrange le possiamo ottenere minimizzando la quantità $int_{t_1}^{t_2}Ldt$ ovvero minimizzando l'azione. Questo deriva direttamente dal principio - appunto - di minima azione di Hamilton.
Esso ha senso implicitamente solo se nel sistema considerato non siano presenti attriti, perchè? Perchè se ci fossero attriti il principio di minima azione non sarebbe più valido? ci sono modi per correggerlo?...
Risposte
Penso che il principio di minima azione valga per ogni sistema fisico.
Esso rappresenta un principio di "economicità" generale: la natura sceglie sempre la strada più "conveniente".
Il problema di come formalizzare il principio di m.a. in un dato sistema fisico è, peraltro, cruciale.
Non so come si faccia in fisica statistica (non ne sono esperto) per i sistemi con attrito. Nel campo elettromagnetico di Maxwell, invece, all'azione delle particelle cariche viene aggiunta l'azione del campo elettromagmetico stesso. Questo termine aggiuntivo esprime l'apporto del campo stesso all'azione complessiva del sistema.
La stessa cosa si fa in relatività generale, dove l'azione è formata dal termine relativo alla materia e dal termine relativo alla geometria del cronotopo (ovvero del campo gravitazionale).
Esso rappresenta un principio di "economicità" generale: la natura sceglie sempre la strada più "conveniente".
Il problema di come formalizzare il principio di m.a. in un dato sistema fisico è, peraltro, cruciale.
Non so come si faccia in fisica statistica (non ne sono esperto) per i sistemi con attrito. Nel campo elettromagnetico di Maxwell, invece, all'azione delle particelle cariche viene aggiunta l'azione del campo elettromagmetico stesso. Questo termine aggiuntivo esprime l'apporto del campo stesso all'azione complessiva del sistema.
La stessa cosa si fa in relatività generale, dove l'azione è formata dal termine relativo alla materia e dal termine relativo alla geometria del cronotopo (ovvero del campo gravitazionale).
"Penso che il principio di minima azione valga per ogni sistema fisico."
questo non mi torna, o almeno secondo me non vale in ogni sistema fisico in quanto, se tu metti vincoli dannatamente non ideali e dici che in quel sistema vale tranquillamente il principio di minima azione allora minimizzando ricavi le stesse equazioni di lagrange che ci sono in un sistema con vincoli ideali, il che non va bene...
Le equazioni di lagrange in presenza di vincoli non devono dare zero, ma la componente proiettata sul piano tangente... Insomma hanno delle correzioni... Quindi ricavarle col principio variazionale minimizzando l'azione è scorretto.
Da qui il mio dubbio... Come potresti allora riscrivere l'azione in presenza di vincoli non ideali? è semplicemente una riscrittura o invece non è più valido?
Io sono per la seconda, essendo che se sul sistema ci sono forze che disturbano il corpo non potrà scegliere il percorso più conveniente o no?....
questo non mi torna, o almeno secondo me non vale in ogni sistema fisico in quanto, se tu metti vincoli dannatamente non ideali e dici che in quel sistema vale tranquillamente il principio di minima azione allora minimizzando ricavi le stesse equazioni di lagrange che ci sono in un sistema con vincoli ideali, il che non va bene...
Le equazioni di lagrange in presenza di vincoli non devono dare zero, ma la componente proiettata sul piano tangente... Insomma hanno delle correzioni... Quindi ricavarle col principio variazionale minimizzando l'azione è scorretto.
Da qui il mio dubbio... Come potresti allora riscrivere l'azione in presenza di vincoli non ideali? è semplicemente una riscrittura o invece non è più valido?
Io sono per la seconda, essendo che se sul sistema ci sono forze che disturbano il corpo non potrà scegliere il percorso più conveniente o no?....
Il problema grosso è la forma matematica opportuna per la grangiana di un dato sistema fisico.
Per un sistema in presenza di attrito, la lagrangiana non è più quella tranquilla $L = T - U$ ...
Scrivere la lagrangiana in presenza di attrito, per quel che ne so, non conviene. In questo caso si preferisce aggiungere alla $F = m * a$ il termine della forza dissipativa. Così si fa prima anche se, ovviamente, gli attriti devono essere molto semplificati.
Gli esempi che facevo prima (Maxwell e RG), invece, sono più significativi perchè in essi si scrive l'azione giusta e poi la si minimizza ...
Per questo rimango dell'idea che il principio di m.a. sia un principio universale.
Per un sistema in presenza di attrito, la lagrangiana non è più quella tranquilla $L = T - U$ ...
Scrivere la lagrangiana in presenza di attrito, per quel che ne so, non conviene. In questo caso si preferisce aggiungere alla $F = m * a$ il termine della forza dissipativa. Così si fa prima anche se, ovviamente, gli attriti devono essere molto semplificati.
Gli esempi che facevo prima (Maxwell e RG), invece, sono più significativi perchè in essi si scrive l'azione giusta e poi la si minimizza ...
Per questo rimango dell'idea che il principio di m.a. sia un principio universale.
no, non intendevo la lagrangiana tranquilla, ma con equazioni di lagrange intendevo $(\partial L)/(\partial q)=d/(dt)(\partial L)/(\partial \dot q)$ che la ottieni esattamente minimizzando l'azione. Volendo queste equazioni, se si ricavano alla d'Alambert per intenderci, forniscono anche delle informazioni in caso di attrito, diventando $(\partial L)/(\partial q)-d/(dt)(\partial L)/(\partial \dot q)=Phi$ con $Phi$ la proiezione sul piano tangente del vettore che rappresenta il vincolo (ovviamente bisogna leggere le equazioni come set di equazioni e non una singola...).
Questa espressione minimizzando l'azione non salterà mai fuori, perchè?(Esso non sarà più valido?) Ora forse è più chiara la mia domanda...
Questa espressione minimizzando l'azione non salterà mai fuori, perchè?(Esso non sarà più valido?) Ora forse è più chiara la mia domanda...
Io sto seguendo ora il corso di meccanica analitica e alla luce di ciò che abbiamo fatto mi viene da dire:
Dal momento che si dimostra che se prendo come U il potenziale più un'altra funzione dipendente da r e da v, ma in cui non compaiano potenze di v superiori alla prima, allora ho che comunque
$(\partial L)/(\partial q)=d/(dt)(\partial L)/(\partial \dot q)$
Questo mi pare faccia rientrare un gran numero di attriti, per esempio gli attriti dipendenti da v (ad esempio resistenza dell'aria) e gli attriti che sono pari a una costante (come l'attrito classico). Però il professore ha sottolineato che questa è la massima espressione compatibile con il formalismo lagrangiano, e non ha parlato di scomposizione lungo piani tangenti di altre forze. Quindi non ti so aiutare in generale, ma nel caso di attriti del tipo precedentemente enunciato (che poi sono la quasi totalità mi pare) dovrebbe funzionare...
Dal momento che si dimostra che se prendo come U il potenziale più un'altra funzione dipendente da r e da v, ma in cui non compaiano potenze di v superiori alla prima, allora ho che comunque
$(\partial L)/(\partial q)=d/(dt)(\partial L)/(\partial \dot q)$
Questo mi pare faccia rientrare un gran numero di attriti, per esempio gli attriti dipendenti da v (ad esempio resistenza dell'aria) e gli attriti che sono pari a una costante (come l'attrito classico). Però il professore ha sottolineato che questa è la massima espressione compatibile con il formalismo lagrangiano, e non ha parlato di scomposizione lungo piani tangenti di altre forze. Quindi non ti so aiutare in generale, ma nel caso di attriti del tipo precedentemente enunciato (che poi sono la quasi totalità mi pare) dovrebbe funzionare...
Secondo me la questione è in questi termini.
Se si definisce l'azione come $S = int _{t_1} ^{t_2} L(q, dot q, t) dt$, allora, minimizzando, si ottiene l'equazione di Lagrange (senza termine dissipativo).
Questo va bene per i sistemi meccanici classici conservativi !!!
Negli altri casi, l'azione è più complicata così come la lagrangiana ... (facevo gli esempi che conosco discretamente di Maxwell e della RG, dove la non conservatività consiste nella produzione di onde).
Nel caso dell'attrito nel mezzo, l'equazione di Lagrange viene convenientemente corretta con l'aggiunta del termine dissipativo. Così non c'è bisogno di partire dall'inizio (ricerca di una opportuna lagrangiana e di una opportuna azione da poi minimizzare).
Se si definisce l'azione come $S = int _{t_1} ^{t_2} L(q, dot q, t) dt$, allora, minimizzando, si ottiene l'equazione di Lagrange (senza termine dissipativo).
Questo va bene per i sistemi meccanici classici conservativi !!!
Negli altri casi, l'azione è più complicata così come la lagrangiana ... (facevo gli esempi che conosco discretamente di Maxwell e della RG, dove la non conservatività consiste nella produzione di onde).
Nel caso dell'attrito nel mezzo, l'equazione di Lagrange viene convenientemente corretta con l'aggiunta del termine dissipativo. Così non c'è bisogno di partire dall'inizio (ricerca di una opportuna lagrangiana e di una opportuna azione da poi minimizzare).
Forse può interessarti il paragrafo 2.4 di Meccanica Classica di Goldstein intitolato "Estensione del Principio di Hamilton ai sistemi vincolati".
Dice che in presenza di vincoli semiolonomi, dati da equazioni del tipo $f_\alpha(q_1,...,q_n;\dot{q_1},...\dot{q_n}) = 0$ si può riscrivere il principio variazionale nella forma $\delta \int_{t_1}^{t_2}(L+\sum_\alpha \lambda_\alpha f_\alpha)dt = 0$, dove le $\lambda_\alpha$ sono moltiplicatori di Lagrange che vanno determinati risolvendo le equazioni del moto più i vincoli.
Non fa il conto, più complicato rispetto alla solita variazione poichè le variabili non sono indipendenti (comunque c'è una referenza, se ti interessa), ma riporta il risultato per cui si ottengono equazioni del moto della forma $\frac{d}{dt}(\frac{\partialL}{\partial\dot{q_k}}) - \frac{\partialL}{\partialq_k} = Q_k$, dove $Q_k = \sum_\alpha \lambda_\alpha \frac{\partial f_\alpha}{\partial\dot{q_k}}$.
In definitiva, se ho capito il problema, credo che l'impossibilità di ottenere le equazioni del moto seccamente dalla lagrangiana derivi dal fatto che le $q_k$ e le $\dot{q_k}$ non sono indipendenti, sono legate dalle $f_\alpha$, e quindi non è più valida la semplice variazione che porta alle equazioni di Lagrange.
Dice che in presenza di vincoli semiolonomi, dati da equazioni del tipo $f_\alpha(q_1,...,q_n;\dot{q_1},...\dot{q_n}) = 0$ si può riscrivere il principio variazionale nella forma $\delta \int_{t_1}^{t_2}(L+\sum_\alpha \lambda_\alpha f_\alpha)dt = 0$, dove le $\lambda_\alpha$ sono moltiplicatori di Lagrange che vanno determinati risolvendo le equazioni del moto più i vincoli.
Non fa il conto, più complicato rispetto alla solita variazione poichè le variabili non sono indipendenti (comunque c'è una referenza, se ti interessa), ma riporta il risultato per cui si ottengono equazioni del moto della forma $\frac{d}{dt}(\frac{\partialL}{\partial\dot{q_k}}) - \frac{\partialL}{\partialq_k} = Q_k$, dove $Q_k = \sum_\alpha \lambda_\alpha \frac{\partial f_\alpha}{\partial\dot{q_k}}$.
In definitiva, se ho capito il problema, credo che l'impossibilità di ottenere le equazioni del moto seccamente dalla lagrangiana derivi dal fatto che le $q_k$ e le $\dot{q_k}$ non sono indipendenti, sono legate dalle $f_\alpha$, e quindi non è più valida la semplice variazione che porta alle equazioni di Lagrange.
Io volevo chiedere: nel caso di attrito statico le equazioni di lagrange rimangono come sono purché si aggiunga ad U una funzione (il lavoro della forza di attrito?) del tipo dipendente da r o da v?
Perché supponiamo di essere nel caso semplice di un corpo che si muove su un piano con attrito dinamico pari a $mudmg$. Allora ho che posso scrivere la lagrangiana come
$1/2mv^2 +mudmgr$
l'equazione di eulero - lagrange mi verrà quindi
$ma = - mudmgr$
il che mi pare torni, anche se bisognerebbe scrivere la condizione $F_a = mudmg*(-vecr/r)$
Perché supponiamo di essere nel caso semplice di un corpo che si muove su un piano con attrito dinamico pari a $mudmg$. Allora ho che posso scrivere la lagrangiana come
$1/2mv^2 +mudmgr$
l'equazione di eulero - lagrange mi verrà quindi
$ma = - mudmgr$
il che mi pare torni, anche se bisognerebbe scrivere la condizione $F_a = mudmg*(-vecr/r)$
Certamente lo puoi fare, ma in genere non ci guadagni molto.
La formulazione lagrangiana in buona misura serve per trovare le equazioni del moto facendo un paio di derivate (*), se già conosci il risultato stai solamente procedendo a ritroso.
(*) Almeno al livello dei problemini di meccanica classica, non voglio certo sottovalutare le splendide considerazioni sulle simmetrie che si possono fare.
La formulazione lagrangiana in buona misura serve per trovare le equazioni del moto facendo un paio di derivate (*), se già conosci il risultato stai solamente procedendo a ritroso.
(*) Almeno al livello dei problemini di meccanica classica, non voglio certo sottovalutare le splendide considerazioni sulle simmetrie che si possono fare.
Ciao a tutti!
@Zkeggia: anche io avevo pensato ad una formulazione del genere per codificare l'attrito dinamico all'interno del formalismo lagrangiano ma poi mi sono accorto che questa strada ha un grosso problema. Il fatto è che l'eq di E-L che viene fuori è uguale a quella che otterresti in presenza di una forza costante, quindi non solo non riesci a tenere conto del fatto che la forza è opposta alla velocità ma nemmeno che la forza cessa di agire nel momento in cui il punto si ferma, anzi quello che succede è che la forza di attrito accelera il punto.......
@Zkeggia: anche io avevo pensato ad una formulazione del genere per codificare l'attrito dinamico all'interno del formalismo lagrangiano ma poi mi sono accorto che questa strada ha un grosso problema. Il fatto è che l'eq di E-L che viene fuori è uguale a quella che otterresti in presenza di una forza costante, quindi non solo non riesci a tenere conto del fatto che la forza è opposta alla velocità ma nemmeno che la forza cessa di agire nel momento in cui il punto si ferma, anzi quello che succede è che la forza di attrito accelera il punto.......
"Eredir":
Forse può interessarti il paragrafo 2.4 di Meccanica Classica di Goldstein intitolato "Estensione del Principio di Hamilton ai sistemi vincolati".
Dice che in presenza di vincoli semiolonomi, dati da equazioni del tipo $f_\alpha(q_1,...,q_n;\dot{q_1},...\dot{q_n}) = 0$ si può riscrivere il principio variazionale nella forma $\delta \int_{t_1}^{t_2}(L+\sum_\alpha \lambda_\alpha f_\alpha)dt = 0$, dove le $\lambda_\alpha$ sono moltiplicatori di Lagrange che vanno determinati risolvendo le equazioni del moto più i vincoli.
Non fa il conto, più complicato rispetto alla solita variazione poichè le variabili non sono indipendenti (comunque c'è una referenza, se ti interessa), ma riporta il risultato per cui si ottengono equazioni del moto della forma $\frac{d}{dt}(\frac{\partialL}{\partial\dot{q_k}}) - \frac{\partialL}{\partialq_k} = Q_k$, dove $Q_k = \sum_\alpha \lambda_\alpha \frac{\partial f_\alpha}{\partial\dot{q_k}}$.
In definitiva, se ho capito il problema, credo che l'impossibilità di ottenere le equazioni del moto seccamente dalla lagrangiana derivi dal fatto che le $q_k$ e le $\dot{q_k}$ non sono indipendenti, sono legate dalle $f_\alpha$, e quindi non è più valida la semplice variazione che porta alle equazioni di Lagrange.
Appena riesco allora passerò in biblioteca a leggere il capitolo (che questo fatto sul Landau, dove ho studiato per la quasi totalità del tempo, non viene trattato...). Poi, dopo la lettura, potrò riflettere meglio sulle ultime tue due righe
$\frac{d}{dt}(\frac{\partialL}{\partial\dot{q_k}}) - \frac{\partialL}{\partialq_k} = Q_k$ si ricava anche velocemente, come ho detto prima, usando l'approccio geometrico. Da qui la domanda
@anonymous_af8479: Ho capito ora il tuo discorso, per gli esempi che citavi hai referenze (anche se il corso di eletromeagnetismo l'ho iniziato quest'anno e dubito, considerando gli altri corsi che ho, di velocizzare ragionevolemnte lo studio dei fenomeni, ma almeno inizio a vedere cose che in futuro torneranno presto utili
)?Una ultima domanda che mi sorge spontanea: abbiamo detto che dato un sistema in varie condizioni siamo noi a definire l'azione per quel sistema. Ma su che base scegliamo l'azione? cioè perchè in un sistema isolato definiamo $S=int_{t_1}^{t_2}L(q,dot{q},t)dt$ e non in un altro modo? da dove deriva questa definizione?...
grazie delle risposte
Le equazioni di Lagrange per un sistema con $n$ gradi di libertà soggetto a vincoli olonomi, bilaterali e lisci sono:
$d/(dt)(\partialT)/(\partialdotq_i)- (\partialT)/(\partialq_i)=Q_(i)(q,dotq,t)$ con $i=1, 2, .., n$ (1)
Nel caso particolare in cui:
a) la forza generalizzata $Q=(Q_1, Q_2,..,Q_n)$ dipenda soltanto dalle coordinate di posizione;
b) esista una funzione $U(q)$ (energia potenziale) tale che $(\partialU)/(\partialq_i)=Q_(i)(q)$,
allora è possibile scrivere le equazioni (1) nella forma
$d/(dt)(\partial(T-U))/(\partialdotq_i)- (\partial(T-U))/(\partialq_i)=0$ con $i=1, 2, .., n$ (2)
Dalla (2) deduciamo che la funzione $L=T-U$ (detta lagrangiana del sistema) soddisfa il principio dell’azione stazionaria, perché le equazioni del moto hanno la forma $d/(dt)(\partialL)/(\partialdotq_i)-(\partialL)/(\partialq_i)=0$.
Se la forza generalizzata dipende anche dalle velocità generalizzate e dal tempo, è possibile scrivere ugualmente una lagrangiana della forma $L=T-U$, purché esista una funzione $U(q,dotq,t)$ tale che
$Q_(i)(q,dotq,t)= d/(dt)(\partialU)/(\partialdotq_i)- (\partialU)/(\partialq_i)$ con $i=1, 2, .., n$ (3)
Infatti, la (3) implica che la funzione $L=T(q,dotq,t)-U(q,dotq,t)$ soddisfa il principio dell’azione stazionaria.
Inoltre , eseguendo le derivate rispetto al tempo nella (3), si ottiene
$Q_(i)(q,dotq,t)= (\partial^(2)U)/( \partialdotq_k\partialdotq_i)ddotq_k+ (\partial^(2)U)/(\partialq_k\partialdotq_i)dotq_k-(\partialU)/(\partialq_i)$ (4)
Nella (4) (e nel seguito) è sottintesa la sommatoria per $k=1,2,..,n$ nei termini con l’indice $k$ ripetuto.
Poiché le $Q_(i)(q,dotq,t)$ non dipendono da $ddotq$, possiamo porre $(\partial^(2)U)/( \partialdotq_k\partialdotq_i)=0$, e pertanto risulterà che
$U=A_(k)(q,t)dotq_(k)+\phi(q,t)$ (5)
Sostituendo la (5) nelle (3) si ottiene finalmente:
$Q_(i)(q,dotq,t)= -(\partial\phi)/(\partialq_i)- (\partialA_i)/(\partialt)+((\partialA_i)/(\partialq_k)- (\partialA_k)/(\partialq_i))dotq_k$ (6)
Se interpretiamo le coordinate di posizione come coordinate cartesiane di un sistema con 3 gradi di libertà ($n=3$), le (6) equivalgono all’equazione vettoriale
$\vecF=rot\vecA^^\vecv-(\partial\vecA)/(\partialt)-grad(\phi)$ (7)
Pertanto se le equazioni del moto conservano la forma $d/(dt)(\partialL)/(\partialdotq_i)-(\partialL)/(\partialq_i)=0$ anche in presenza di forze che dipendono dalle velocità, allora tali forze debbono essere esprimibili matematicamente in modo analogo alla forza di Lorentz.
$d/(dt)(\partialT)/(\partialdotq_i)- (\partialT)/(\partialq_i)=Q_(i)(q,dotq,t)$ con $i=1, 2, .., n$ (1)
Nel caso particolare in cui:
a) la forza generalizzata $Q=(Q_1, Q_2,..,Q_n)$ dipenda soltanto dalle coordinate di posizione;
b) esista una funzione $U(q)$ (energia potenziale) tale che $(\partialU)/(\partialq_i)=Q_(i)(q)$,
allora è possibile scrivere le equazioni (1) nella forma
$d/(dt)(\partial(T-U))/(\partialdotq_i)- (\partial(T-U))/(\partialq_i)=0$ con $i=1, 2, .., n$ (2)
Dalla (2) deduciamo che la funzione $L=T-U$ (detta lagrangiana del sistema) soddisfa il principio dell’azione stazionaria, perché le equazioni del moto hanno la forma $d/(dt)(\partialL)/(\partialdotq_i)-(\partialL)/(\partialq_i)=0$.
Se la forza generalizzata dipende anche dalle velocità generalizzate e dal tempo, è possibile scrivere ugualmente una lagrangiana della forma $L=T-U$, purché esista una funzione $U(q,dotq,t)$ tale che
$Q_(i)(q,dotq,t)= d/(dt)(\partialU)/(\partialdotq_i)- (\partialU)/(\partialq_i)$ con $i=1, 2, .., n$ (3)
Infatti, la (3) implica che la funzione $L=T(q,dotq,t)-U(q,dotq,t)$ soddisfa il principio dell’azione stazionaria.
Inoltre , eseguendo le derivate rispetto al tempo nella (3), si ottiene
$Q_(i)(q,dotq,t)= (\partial^(2)U)/( \partialdotq_k\partialdotq_i)ddotq_k+ (\partial^(2)U)/(\partialq_k\partialdotq_i)dotq_k-(\partialU)/(\partialq_i)$ (4)
Nella (4) (e nel seguito) è sottintesa la sommatoria per $k=1,2,..,n$ nei termini con l’indice $k$ ripetuto.
Poiché le $Q_(i)(q,dotq,t)$ non dipendono da $ddotq$, possiamo porre $(\partial^(2)U)/( \partialdotq_k\partialdotq_i)=0$, e pertanto risulterà che
$U=A_(k)(q,t)dotq_(k)+\phi(q,t)$ (5)
Sostituendo la (5) nelle (3) si ottiene finalmente:
$Q_(i)(q,dotq,t)= -(\partial\phi)/(\partialq_i)- (\partialA_i)/(\partialt)+((\partialA_i)/(\partialq_k)- (\partialA_k)/(\partialq_i))dotq_k$ (6)
Se interpretiamo le coordinate di posizione come coordinate cartesiane di un sistema con 3 gradi di libertà ($n=3$), le (6) equivalgono all’equazione vettoriale
$\vecF=rot\vecA^^\vecv-(\partial\vecA)/(\partialt)-grad(\phi)$ (7)
Pertanto se le equazioni del moto conservano la forma $d/(dt)(\partialL)/(\partialdotq_i)-(\partialL)/(\partialq_i)=0$ anche in presenza di forze che dipendono dalle velocità, allora tali forze debbono essere esprimibili matematicamente in modo analogo alla forza di Lorentz.
Per fu^2.
Le azioni nei casi del campo elettromagnetico di Maxwell e nel caso della relatività generale le puoi trovare nel Landau, Teoria dei campi.
Sul perchè l'azione ha, in meccanica, quella forma (non così, però, nei casi appena menzionati ...) e non altre è, secondo me, una questione di comodità. Tutta la fisica si basa su presupposti di comodità ... ovviamente con la natura che fa da setaccio ...
Essenzialmente, poichè ci si accontenta di posizioni e velocità (a causa del determinismo classico di Laplace), la lagrangiana di un sistema isolato dovrà contenere solo posizioni e velocità. Poi si fanno altre considerazioni di comodo che trovi ben racconate nel Landau, Meccanica, per cui si deduce la forma della lagrangiana "tranquilla" ...
Con l'azione in quel modo e la lagrangiana tranquilla, applicando le equazioni di Lagrange, si ricava la $F = m * a$ di Newton. Beh, come sempre, si fa il processo storico al contrario ...
Le azioni nei casi del campo elettromagnetico di Maxwell e nel caso della relatività generale le puoi trovare nel Landau, Teoria dei campi.
Sul perchè l'azione ha, in meccanica, quella forma (non così, però, nei casi appena menzionati ...) e non altre è, secondo me, una questione di comodità. Tutta la fisica si basa su presupposti di comodità ... ovviamente con la natura che fa da setaccio ...
Essenzialmente, poichè ci si accontenta di posizioni e velocità (a causa del determinismo classico di Laplace), la lagrangiana di un sistema isolato dovrà contenere solo posizioni e velocità. Poi si fanno altre considerazioni di comodo che trovi ben racconate nel Landau, Meccanica, per cui si deduce la forma della lagrangiana "tranquilla" ...
Con l'azione in quel modo e la lagrangiana tranquilla, applicando le equazioni di Lagrange, si ricava la $F = m * a$ di Newton. Beh, come sempre, si fa il processo storico al contrario ...
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