Stucco e palline
Piano liscio e senza attriti, sferetta appoggiata ferma. Colpisco la sommità della sferetta con una pallina di stucco che rimane appiccicata (urto completamente anelastico). La velocità dello stucco è parallela al terreno.
La mia domanda è: è possibile che la sfera, se abbastanza grande e leggera, possa staccarsi dal terreno?
Per me è ovvia la risposta affermativa, per altri è ovvio il contrario.
Nella pratica la sferetta si alza, questo è dovuto solo agli attriti con l'aria?
Come è piaciuto a me il problema spero piaccia anche a voi
La mia domanda è: è possibile che la sfera, se abbastanza grande e leggera, possa staccarsi dal terreno?
Per me è ovvia la risposta affermativa, per altri è ovvio il contrario.
Nella pratica la sferetta si alza, questo è dovuto solo agli attriti con l'aria?
Come è piaciuto a me il problema spero piaccia anche a voi
Risposte
nel caso ideale che hai descritto, no, la pallina non si alza. Poi nella pratica si alza e secondo me, sia per l'attrito con l'aria, che per il fatto che è difficile sparare la pallina di stucco con velocità esattamente orizzontale.
Qual'è il motivo per cui non si alza?
Forse non mi sono espresso bene, io non voglio che si alzi il centro di massa (il che è un po' improbabile non essendoci forze verticali ) ma intendo dire questo:
lo stucco colpendo la sferetta comincerà a farla ruotare. Se prendo una massa della sfera molto piccola e la massa dello stucco mooolto grande, l'asse di rotazione sarà in prossimità dello stucco, il risultato è che la sfera essendo molto più grande si stacca da terra, dove sbaglio?
Forse non mi sono espresso bene, io non voglio che si alzi il centro di massa (il che è un po' improbabile non essendoci forze verticali
) ma intendo dire questo:lo stucco colpendo la sferetta comincerà a farla ruotare. Se prendo una massa della sfera molto piccola e la massa dello stucco mooolto grande, l'asse di rotazione sarà in prossimità dello stucco, il risultato è che la sfera essendo molto più grande si stacca da terra, dove sbaglio?
ah non avevo capito che l'urto non era frontale. scusa.
No sie figurati, colpa mia che mi spiego male 
L'asse di rotazione in un urto di questo è nel centro di massa?
L'asse di rotazione in un urto di questo è nel centro di massa?
"Mammalucco":
No sie figurati, colpa mia che mi spiego male
L'asse di rotazione in un urto di questo è nel centro di massa?
Subito dopo l'urto il centro di massa ha solo velocità orizzontale (per la conservazione della quantità di moto) e il sistema può avere una velocità angolare.
Nel caso limite che dici tu se la massa dello stucco è molto grande, però non si avrebbe rotazione, in pratica lo stucco si trascinerebbe dietro la pallina e tutto rimarrebbe orizzontale.
Nei casi intermedi invece il fatto che il centro di massa non è nel centro della pallina e che il sistema abbia una velocità angolare fa sì che tutto può alzarsi e abbassarsi sul piano.
Se scrivi le equazioni di conservazione della quantità di moto e del momento di quantità di moto (conviene per questa rispetto al centro di massa del sistema immediatamente prima dell'urto) puoi trarre le tue conclusioni.
EDIT: Mi correggo: anche nel caso limite di massa grande dello stucco o massa della pallina molto piccola il sistema comunque ruoterà....
Ho provato a far vedere che si può alzare, non sono troppo sicuro della correttezza dei conti, però con buona approssimazione mi sembra convincente...
"Mammalucco":
Ho provato a far vedere che si può alzare, non sono troppo sicuro della correttezza dei conti, però con buona approssimazione mi sembra convincente...
Non avevo capito che volessi considerare anche l'effetto del peso...
Tutto corretto comunque, ma alla fine non capisco perché vai a fare tutte quelle considerazioni e disuguaglianze.....
Hai calcolato la posizione del centro di massa del sistema in y prima dell'urto e subito dopo l'urto, il centro di massa procede orizzontalmente e la velocità la calcoli immediatamente dalla conservazione della quantità di moto. La velocità orizzontale del centro di massa non varia mai visto che non intervengono forze orizzontali.
La velocità di rotazione di tutto il sistema anche resta costante, infatti se ti metti in un sistema di riferimento solidale col centro di massa le forze peso non danno mai contributo ai momenti rispetto al polo del centro di massa, quindi tutto quanto ruota a velocità angolare sempre costante.
L'unica cosa che accade è che subito dopo l'urto sul sistema complessivo agisce una forza verticale.
Per vedere cosa accade supponiamo che subito dopo l'urto non ci sia più il piano orizzontale (per semplificare il ragionamento e prescindere sempre dalla reazione del piano), in queste condizioni la velocità del centro della sfera $P$ sarà:
$v_x(t)=V_{x_cm}-omega*r*cos(omega t)$
$v_y(t)=-g*t+omega*r*sin(omega t)$
dove $r$ è la distanza del punto $P$ dal centro di massa.
Affinché la sfera si alzi occorre verificare che il centro della sfera $P$ abbia una componente di velocità verticale positiva quindi che per $t$ appena maggiore di zero $v_y(t)>0$.
Ora siccome per piccoli valori di $t$ possiamo scrivere $sin (omega*t) sim omega*t$ otteniamo che deve aversi $omega^2 r > g$... il che ti dice qualcosa...
EDIT: Corretta la condizione di distacco dal piano orizzontale.
C'è un errore in $P_y$, la sua quota più bassa secondo i tuoi calcoli è... $-oo$ !
Infatti è così.
Quelle relazioni valgono per un intorno del tempo $t>0$, o se il piano orizzontale dopo l'urto scomparisse.
Quello che accade in realtà è che prima o poi il punto $P$ si riabbassa e rimbalza (lui o un altro punto) sul piano orizzontale.
Quelle relazioni valgono per un intorno del tempo $t>0$, o se il piano orizzontale dopo l'urto scomparisse.
Quello che accade in realtà è che prima o poi il punto $P$ si riabbassa e rimbalza (lui o un altro punto) sul piano orizzontale.
"Faussone":
Tutto corretto comunque, ma alla fine non capisco perché vai a fare tutte quelle considerazioni e disuguaglianze.....
le disuguaglianze non so di preciso perchè le ho messe, ma avevo la senzazione di non sapere niente sulla foza vincolare, così l'ho tolta per non fare confusione
"Faussone":
$omega^2 r > g$... il che ti dice qualcosa...
Mi dice quello che pensavo fin dall'inizio...che la sferetta si alza immediatamente se la velocità angolare iniziale è sufficiente per battere temporaneamente la forza di gravità.
Cmq ti ringrazio, era proprio questo che avevo in mente ma non riuscivo a buttare giù!
ho solo un altro dubbio... la reazione vincolare come devo trattarla? Fisicamente è chiaro, diminuisce man mano che il corpo ruota fino a scomparire quando si solleva da terra ma formalmente?
Però aspetta c'è un'altra cosa che non mi è chiara: scrivendo sostanzialmente l'equazione di moto per un punto inizialmente a contatto, dimostri che questo si alza, ma se uno dei punti che lo precedono toccano il tereno dopo di lui, come in una spece di ruota? Come faccio a essere sicuro che la ruota si alzi?
"Mammalucco":
Però aspetta c'è un'altra cosa che non mi è chiara: scrivendo sostanzialmente l'equazione di moto per un punto inizialmente a contatto, dimostri che questo si alza, ma se uno dei punti che lo precedono toccano il tereno dopo di lui, come in una spece di ruota? Come faccio a essere sicuro che la ruota si alzi?
In realtà ho scritto male: occorre verificare che il centro della sfera si alzi (quello basta affinché la sfera si stacchi dal piano subito dopo l'impatto) quindi per $r$ mettere la distanza tra centro di massa del sistema e centro della sfera.
La reazione vincolare è sempre uguale ed opposta alla forza peso se la sfera è a contatto col piano. Dopo, a seguito degli urti, si può supporre che il piano fornisca un impulso che inverte istantaneamente la velocità verticale del centro di massa (se l'urto è elastico), oppure che fornisca un impulso che ne azzeri la velocità verticale (urto anelastico).
Il centro di massa del sistema non può mai alzarsi comunque, ma solo abbassarsi, finché almeno la sfera non rimbalza a seguito di un impatto col piano.
Ok concodro pienamente adesso e grazie ancora
e grazie ancora
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