Strutture: dimostrare dualità tra statica e cinematica
Ciao a tutti,
Prendiamo una struttura piana, composta da corpi rigidi vincolati.
Il problema cinematico ha come noti i cedimenti dei vincoli [tex]r[/tex] e vuole ricavarsi gli spostamenti generalizzati [tex]\begin{pmatrix} u_{O_i} \\ v_{O_i} \\ \theta_i\end{pmatrix}[/tex] per ogni corpo rigido,
dove [tex]O_i[/tex] è il polo scelto per il corpo [tex]i[/tex]. Gli spostamenti generalizzati messi tutti insieme in un unico vettore di 3n componenti dove n è il numero di corpi rigidi nella struttura, verranno indicati con il vettore [tex]s[/tex].
Dato che si parla di velocità, si parla di differenziali di cose lineari e quando si vanno a fare i conti sulle strutture specifiche si ottiene
[tex]As=r[/tex]
Il problema statico invece parte dall'avere note le forze attive sulla struttura e vuole trovare le reazioni vincolari.
Manipolando le forze e trovando quindi per ogni corpo le risultanti e il momento risultante del sistema di forze ad esso applicato si arriva al sistema
[tex]B\phi+f=0[/tex] dove [tex]\phi[/tex] sono le reazioni vincolari, mentre [tex]f[/tex] sono le forze attive generalizzate nel senso specificato sopra.
Ora, se mantengo l'ordine dei vincoli, sto attento ai segni e mantengo per ogni corpo lo stesso polo
[tex]O_i[/tex], sia come punto di riferimento per gli spostamenti rigidi nel problema cinematico,
che come polo per calcolare il momento del corpo i nel problema statico
si trova negli esercizi che [tex]B=A^T[/tex]
Come posso dimostrarlo? Mi date una mano o mi mettete sulla giusta strada?
grazie
Prendiamo una struttura piana, composta da corpi rigidi vincolati.
Il problema cinematico ha come noti i cedimenti dei vincoli [tex]r[/tex] e vuole ricavarsi gli spostamenti generalizzati [tex]\begin{pmatrix} u_{O_i} \\ v_{O_i} \\ \theta_i\end{pmatrix}[/tex] per ogni corpo rigido,
dove [tex]O_i[/tex] è il polo scelto per il corpo [tex]i[/tex]. Gli spostamenti generalizzati messi tutti insieme in un unico vettore di 3n componenti dove n è il numero di corpi rigidi nella struttura, verranno indicati con il vettore [tex]s[/tex].
Dato che si parla di velocità, si parla di differenziali di cose lineari e quando si vanno a fare i conti sulle strutture specifiche si ottiene
[tex]As=r[/tex]
Il problema statico invece parte dall'avere note le forze attive sulla struttura e vuole trovare le reazioni vincolari.
Manipolando le forze e trovando quindi per ogni corpo le risultanti e il momento risultante del sistema di forze ad esso applicato si arriva al sistema
[tex]B\phi+f=0[/tex] dove [tex]\phi[/tex] sono le reazioni vincolari, mentre [tex]f[/tex] sono le forze attive generalizzate nel senso specificato sopra.
Ora, se mantengo l'ordine dei vincoli, sto attento ai segni e mantengo per ogni corpo lo stesso polo
[tex]O_i[/tex], sia come punto di riferimento per gli spostamenti rigidi nel problema cinematico,
che come polo per calcolare il momento del corpo i nel problema statico
si trova negli esercizi che [tex]B=A^T[/tex]
Come posso dimostrarlo? Mi date una mano o mi mettete sulla giusta strada?
grazie
Risposte
... applicando il P.L.V.
Vedi ad es. Baldacci 2° volume, o qualsiasi altro libro di Scienza delle costuzioni.
Oppure se ti va:
Utilizzando il PLV si mostra la relazione fra la matrice statica} $S$ e la matrice cinematica $C$
${S}^t ={ C}$, ( $^t=[C]$)
cioè una è la trasposta dell'altra.
Dal problema cinematico $ [C]\{\delta^O\}=\{\delta^v\}$
dove: $\{\delta^O\}$, è il vettore degli spostamenti virtuali riferito al polo $O$; $\{\delta^v\}$, è il vettore spostamenti virtuali nella direzione efficace dei vincoli.
Dal problema statico $\{f^v\}=\{f^O\}$
dove: $\{f^v\}$, è il vettore delle reazioni vincolari; $\{f^O\}$, è il vettore delle forze nel centro di riduzione $O$ equivalenti a quelle applicate sul corpo rigido.\\
Applicando il PLV, tenendo presente che nella formulazione del problema statico il verso delle forze reattive è opposto al verso dei corrispondenti vettori degli spostamenti, abbiamo:
$ \delta L=\{f^O\}^t\{\delta^O\}-\{f^v\}^t \{\delta^v\}= (\{f^v\})^t \{\delta^O\}-\{f^v\}^t [C]\{\delta^O\}= \{f^v\}^t ^t \{\delta^O\}-\{f^v\}^t [C]\{\delta^O\}=0$
\da cui si deduce: $^t=[C]$
Vedi ad es. Baldacci 2° volume, o qualsiasi altro libro di Scienza delle costuzioni.
Oppure se ti va:
Utilizzando il PLV si mostra la relazione fra la matrice statica} $S$ e la matrice cinematica $C$
${S}^t ={ C}$, ( $
cioè una è la trasposta dell'altra.
Dal problema cinematico $ [C]\{\delta^O\}=\{\delta^v\}$
dove: $\{\delta^O\}$, è il vettore degli spostamenti virtuali riferito al polo $O$; $\{\delta^v\}$, è il vettore spostamenti virtuali nella direzione efficace dei vincoli.
Dal problema statico $
dove: $\{f^v\}$, è il vettore delle reazioni vincolari; $\{f^O\}$, è il vettore delle forze nel centro di riduzione $O$ equivalenti a quelle applicate sul corpo rigido.\\
Applicando il PLV, tenendo presente che nella formulazione del problema statico il verso delle forze reattive è opposto al verso dei corrispondenti vettori degli spostamenti, abbiamo:
$ \delta L=\{f^O\}^t\{\delta^O\}-\{f^v\}^t \{\delta^v\}= (
\da cui si deduce: $
Grazie, ma sei sicuro che sia sul volume 2 del baldacci e non sull' uno? In biblioteca io ho trovato solo il 2 e la prima parte la sto facendo sugli appunti, adesso guarderò meglio...
Comunque,
ho capito la tua dimostrazione ma non mi è ancora chiara una cosa:
che intendi per PLV? (e come te anche i libri di scienza delle costruzioni) Io penso al principio della meccanica razionale, cioè che i vincoli sono olonomi e lisci... ma non credo che sia ciò che hai in mente tu. O sono io che non vedo qualcosa?
Comunque,
ho capito la tua dimostrazione ma non mi è ancora chiara una cosa:
che intendi per PLV? (e come te anche i libri di scienza delle costruzioni) Io penso al principio della meccanica razionale, cioè che i vincoli sono olonomi e lisci... ma non credo che sia ciò che hai in mente tu. O sono io che non vedo qualcosa?
PLV=Principio dei Lavori Virtuali.
Il Baldacci è il 2°, il 1° è dedicato alla Meccanica del continuo.
Non sono a conoscenza della dualità in questione sui testi di Meccanica razionale, per solito più interessati alla dinamica che alla statica.
Il Baldacci è il 2°, il 1° è dedicato alla Meccanica del continuo.
Non sono a conoscenza della dualità in questione sui testi di Meccanica razionale, per solito più interessati alla dinamica che alla statica.
"Fox":
che intendi per PLV? (e come te anche i libri di scienza delle costruzioni) Io penso al principio della meccanica razionale, cioè che i vincoli sono olonomi e lisci... ma non credo che sia ciò che hai in mente tu. O sono io che non vedo qualcosa?
Il principio dei lavori virtuali (che tanto principio non è a essere rigorosi), stabilisce che se si ha una sistema caricato in qualunque modo, ma in equilibrio, e si impone uno spostamento qualunque compatibile con i vincoli e congruente (cioè che non provoca lacerazioni o compenetrazioni) allora il lavoro compiuto dalle forze esterne è uguale al lavoro compiuto dagli sforzi interni. Nota che non è necessario che ci sia corrispondenza tra le forze applicate e lo spostamento imposto (cioè lo spostamento non deve essere necessariamente quello dovuto all'applicazione delle forze) l'importanza è che le forze siano in equilibrio.
Questo strumento è molto potente ed è usato spessissimo nella meccanica del continuo.
ho trovato la questione sul baldacci volume 2.
Ti ringrazio per la dritta.
2 Domande(una è quella di prima che chiarisco):
1) Mi sono espresso male. Intendevo dire:
io conosco il principio dei lavori virtuali sotto un'altra luce. In meccanica razionale si chiama principio dei lavori virtuali l'assunzione che i vincoli siano olonomi e lisci ovvero che le reazioni vincolari non si oppongano al moto.
Se ho una reazione [tex]R_i[/tex] nel punto [tex]i[/tex] del sistema il PLV afferma che [tex]R_i \cdot v_i=R_i \frac{\partial P_i}{\partial t}[/tex] ovvero che sia nullo il lavoro delle reazioni vincolari per vincoli fissi. [tex]R_i \cdot \hat v_i=0[/tex] dove [tex]\hat v_i=\sum_k \frac{\partial P_i}{q_k} \dot q_k[/tex] è la velocità virtuale.
Mi chiedevo che correlazione c'è visto che io non la vedo molto.
2) Mi piace molto come imposta la questione Baldacci: si va proprio a calcolare le matrici e nota che sono uguali. Lui lo fa per un singolo corpo rigido.
Se però uno volesse considerare che un singolo vincolo può effettuare reazioni su più corpi rigidi e vincolare cinematicamente più corpi rigidi (penso ad una cerniera che vincola 2 o più travi) come si fa? Se vincola 2 corpi rigidi ancora lo so fare e sono riuscito a dimostrare che [tex]S^T=C[/tex], ma in generale?
Dovrei aggiungere più reazioni (una su ogni trave vincolata) e poi imporre ad esempio nel caso della cerniera l'equilibrio al nodo... ???
Ti ringrazio per la dritta.
2 Domande(una è quella di prima che chiarisco):
1) Mi sono espresso male. Intendevo dire:
io conosco il principio dei lavori virtuali sotto un'altra luce. In meccanica razionale si chiama principio dei lavori virtuali l'assunzione che i vincoli siano olonomi e lisci ovvero che le reazioni vincolari non si oppongano al moto.
Se ho una reazione [tex]R_i[/tex] nel punto [tex]i[/tex] del sistema il PLV afferma che [tex]R_i \cdot v_i=R_i \frac{\partial P_i}{\partial t}[/tex] ovvero che sia nullo il lavoro delle reazioni vincolari per vincoli fissi. [tex]R_i \cdot \hat v_i=0[/tex] dove [tex]\hat v_i=\sum_k \frac{\partial P_i}{q_k} \dot q_k[/tex] è la velocità virtuale.
Mi chiedevo che correlazione c'è visto che io non la vedo molto.
2) Mi piace molto come imposta la questione Baldacci: si va proprio a calcolare le matrici e nota che sono uguali. Lui lo fa per un singolo corpo rigido.
Se però uno volesse considerare che un singolo vincolo può effettuare reazioni su più corpi rigidi e vincolare cinematicamente più corpi rigidi (penso ad una cerniera che vincola 2 o più travi) come si fa? Se vincola 2 corpi rigidi ancora lo so fare e sono riuscito a dimostrare che [tex]S^T=C[/tex], ma in generale?
Dovrei aggiungere più reazioni (una su ogni trave vincolata) e poi imporre ad esempio nel caso della cerniera l'equilibrio al nodo... ???
... in generale (più corpi rigidi vincolati fra loro e a terra) non cambia nulla: la matrice cinematica $C$ contiene sia i vincoli interni che quelli esterni, la matrice statica $S$ le razioni vincolari interne (tra i vincoli interni) e quelle esterne (vincoli esterni).
La dualità è creata dal postulato: "si possono sostituire entità cinematiche (vincoli esterni e interni) con entità statiche (reazioni vincolari esterne e interne)" e il PLV riunisce statica e cinematica.
ps 1. Il termine "cinematica", in questo caso, non ha niente a che vedere con la materia che si insegna in fisica.
ps.2 Tutta la faccenda della dualità sta in piede se sono verificarìte 3 condizioni:
1) vincoli olonomi,
2) corpi rigidi,
3) spostamenti virtuali (infinitesimi 1° ordine).
La dualità è creata dal postulato: "si possono sostituire entità cinematiche (vincoli esterni e interni) con entità statiche (reazioni vincolari esterne e interne)" e il PLV riunisce statica e cinematica.
ps 1. Il termine "cinematica", in questo caso, non ha niente a che vedere con la materia che si insegna in fisica.
ps.2 Tutta la faccenda della dualità sta in piede se sono verificarìte 3 condizioni:
1) vincoli olonomi,
2) corpi rigidi,
3) spostamenti virtuali (infinitesimi 1° ordine).
Non sono sicuro di aver capito.
mi hai detto:
1) i due principi, il PLV di Meccanica Razionale e il PLV di Scienza delle Costruzioni non hanno niente a che vedere.
Ma allora chiamarli nello stesso modo è pura malvagità! No?
2) Si considerano separatamente le azioni di un vincolo su ogni corpo. Quello che mi chiedevo io a questo proposito è se introdurre le condizioni al nodo crea problemi.
Ad esempio se ho una cerniera che vincola 3 corpi insieme in un punto:
ho 3 reazioni su 3 direzioni diverse, perciò dovrò introdurre 3 variabili nel vettore delle reazioni. A questo punto dovrò imporre che la somma delle reazioni sulle direzioni sia 0, perchè il nodo non si deve rompere. Tuttavia ci dovrà essere un analogo cinematico per far tornare la condizione di dualità... domani ci penso meglio e provo a farlo, semmai posto se ho problemi. Si dovrebbe procedere così no?
mi hai detto:
1) i due principi, il PLV di Meccanica Razionale e il PLV di Scienza delle Costruzioni non hanno niente a che vedere.
Ma allora chiamarli nello stesso modo è pura malvagità! No?
2) Si considerano separatamente le azioni di un vincolo su ogni corpo. Quello che mi chiedevo io a questo proposito è se introdurre le condizioni al nodo crea problemi.
Ad esempio se ho una cerniera che vincola 3 corpi insieme in un punto:
ho 3 reazioni su 3 direzioni diverse, perciò dovrò introdurre 3 variabili nel vettore delle reazioni. A questo punto dovrò imporre che la somma delle reazioni sulle direzioni sia 0, perchè il nodo non si deve rompere. Tuttavia ci dovrà essere un analogo cinematico per far tornare la condizione di dualità... domani ci penso meglio e provo a farlo, semmai posto se ho problemi. Si dovrebbe procedere così no?
1) Il significato di un termine dipende dal conteso, uno stesso termine può avere significato diverso in discipline diverse, ad es. il momento d'inerzia della dinamica è cosa completamente diversa del momento d'inerzia in Scienza delle costruzioni.
Nel caso specifico: Lavoro= Forza X spostamento, in Scienza delle costruzioni: Lavoro virtuale= Forza X spostamento virtuale. Tutto qui.
2) La seconda domanda trovi risposta semplicemendo guardando l'esempio del Baldacci sull' arco a 3 cernire.
C'è da dire che in genere non si sviluppa tutta la teoria delle strutture formate da corpi rigidi perché non ha attinenza con i fenomeni naturali, e poi dà più problemi, dal punto di vista computazionale, dei corpi deformabili.
Nel caso specifico: Lavoro= Forza X spostamento, in Scienza delle costruzioni: Lavoro virtuale= Forza X spostamento virtuale. Tutto qui.
2) La seconda domanda trovi risposta semplicemendo guardando l'esempio del Baldacci sull' arco a 3 cernire.
C'è da dire che in genere non si sviluppa tutta la teoria delle strutture formate da corpi rigidi perché non ha attinenza con i fenomeni naturali, e poi dà più problemi, dal punto di vista computazionale, dei corpi deformabili.
1) non mi trovo d'accordo. Il momento di inerzia è il momento d'inerzia. Cambierà di cosa lo si fa, mi pare che in Scienza delle Costruzioni lo si faccia di una sezione della trave in certi casi... dico mi pare perché non ho ancora studiato quella parte. Però matematicamente è definito esattamente in un modo.
E la cosa che dici tu del lavoro, secondo il mio modo di vedere, è così solo perché i vincoli sono considerati fissi in Scienza delle Costruzioni, quindi mancando il termine di trascinamento con la derivata parziale del tempo ci si riduce a considerare il lavoro virtuale.
Comunque rifacendomi all'intervento di Fiorante Patrone probabilmente questo Teorema (che in effetti così è visto che è dotato di dimostrazione) è impropriamente chiamato PLV, mentre a rigore dovrebbe essere Teorema dei Lavori Virtuali. Quindi in effetti poco ha a che fare con l'originale PLV della Meccanica Razionale, che è un vero principio.
[edit] in realtà non volevo dire "poco ha a che fare", volevo dire che non è la stessa cosa. A che fare ce l'ha, perché infatti il lavoro delle reazioni vincolari è calcolato esclusivamente sul cedimento dei vincoli, poiché si sa che vale il PLV MR(Meccanica Razionale) e quindi le reazioni non si oppongono al movimento virtuale (le reazioni non fanno attrito ma vincolano soltanto).[/edit]
2) Ok vado a vedere oggi e nei prossimi giorni posto le mie conclusioni.
Grazie Davvero
E la cosa che dici tu del lavoro, secondo il mio modo di vedere, è così solo perché i vincoli sono considerati fissi in Scienza delle Costruzioni, quindi mancando il termine di trascinamento con la derivata parziale del tempo ci si riduce a considerare il lavoro virtuale.
Comunque rifacendomi all'intervento di Fiorante Patrone probabilmente questo Teorema (che in effetti così è visto che è dotato di dimostrazione) è impropriamente chiamato PLV, mentre a rigore dovrebbe essere Teorema dei Lavori Virtuali. Quindi in effetti poco ha a che fare con l'originale PLV della Meccanica Razionale, che è un vero principio.
[edit] in realtà non volevo dire "poco ha a che fare", volevo dire che non è la stessa cosa. A che fare ce l'ha, perché infatti il lavoro delle reazioni vincolari è calcolato esclusivamente sul cedimento dei vincoli, poiché si sa che vale il PLV MR(Meccanica Razionale) e quindi le reazioni non si oppongono al movimento virtuale (le reazioni non fanno attrito ma vincolano soltanto).[/edit]
2) Ok vado a vedere oggi e nei prossimi giorni posto le mie conclusioni.
Grazie Davvero
... la scienza deduttiva è una immensa tautologia, Teorema o Principio sono termini molto relativi, dipende da come imposti una teoria.
"Fox":
1) non mi trovo d'accordo. Il momento di inerzia è il momento d'inerzia. Cambierà di cosa lo si fa, mi pare che in Scienza delle Costruzioni lo si faccia di una sezione della trave in certi casi... dico mi pare perché non ho ancora studiato quella parte. Però matematicamente è definito esattamente in un modo.
E la cosa che dici tu del lavoro, secondo il mio modo di vedere, è così solo perché i vincoli sono considerati fissi in Scienza delle Costruzioni, quindi mancando il termine di trascinamento con la derivata parziale del tempo ci si riduce a considerare il lavoro virtuale.
Comunque rifacendomi all'intervento di Fiorante Patrone probabilmente questo Teorema (che in effetti così è visto che è dotato di dimostrazione) è impropriamente chiamato PLV, mentre a rigore dovrebbe essere Teorema dei Lavori Virtuali. Quindi in effetti poco ha a che fare con l'originale PLV della Meccanica Razionale, che è un vero principio.
[edit] in realtà non volevo dire "poco ha a che fare", volevo dire che non è la stessa cosa. A che fare ce l'ha, perché infatti il lavoro delle reazioni vincolari è calcolato esclusivamente sul cedimento dei vincoli, poiché si sa che vale il PLV MR(Meccanica Razionale) e quindi le reazioni non si oppongono al movimento virtuale (le reazioni non fanno attrito ma vincolano soltanto).[/edit]
Per quanto riguarda i momenti di inerzia, in realtà quelli cui ci si riferisce in scienza delle costruzioni si dovrebbero chiamare momenti di figura, dimensionalmente sono una lunghezza alla quarta, quindi sono un'altra cosa rispetto ai momenti di inerzia, anche se sono parenti.
Per quel che riguarda la differenza tre principio e teorema, la differenza è quella a cui ti riferisci tu. Il fatto è che per motivi storici spesso si continua a chiamare principio anche ciò che non lo è.
Un'ultima cosa l'enunciato che ho dato io sul principio dei lavori virtuali è quello più generale (se il corpo è rigido il lavoro interno è ovviamente nullo).
PS: Non so se ti riferivi al mio intervento prima, se così ti faccio notare che, anche se la confusione mi lusinga, io non sono Fioravante!:-D
"Faussone":
PS: Non so se ti riferivi al mio intervento prima, se così ti faccio notare che, anche se la confusione mi lusinga, io non sono Fioravante!:-D
XD
ovviamente si, scusami. Ero convinto di aver letto Fioravante
Non ho capito se la dualità tra matrice statica e cinematica sia valida solo per spostamenti e deformazioni approssimati al primo ordine.
Dov'è che viene applicata questa restrizione? Ricordandomi l'equazione simbolica della statica mi risulta che l'equilibrio è presente se si ha un punto di minimo o massimo dell'energia potenziale.
Dov'è che viene applicata questa restrizione? Ricordandomi l'equazione simbolica della statica mi risulta che l'equilibrio è presente se si ha un punto di minimo o massimo dell'energia potenziale.
"Dov'è che viene applicata questa restrizione?"
Considerando solo gli spostamenti virtuali, che sono per definizione lineari. Se le grandezze in gioco non solo lineari la dualità, per solito, salta.
Al di là dei formalismi, il succo di questa dualità è nel postulato che permette di sostiture vincoli con forze.
Tenuti presenti il postulato e la linerità, poi, si può giocare fin che vuole.
Considerando solo gli spostamenti virtuali, che sono per definizione lineari. Se le grandezze in gioco non solo lineari la dualità, per solito, salta.
Al di là dei formalismi, il succo di questa dualità è nel postulato che permette di sostiture vincoli con forze.
Tenuti presenti il postulato e la linerità, poi, si può giocare fin che vuole.
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