Stella doppia
E' noto che una stella doppia e' il sistema di due stelle
che ,a causa della reciproca attrazione,ruotano attorno
al comune centro d'inerzia.
Sapendo che la massa totale della stella e' M e che il periodo
di rotazione e' T,calcolare la distanza tra le due componenti
del sistema.
Si suppongano confrontabili le masse delle due componenti
( ma non eguali !).
karl
che ,a causa della reciproca attrazione,ruotano attorno
al comune centro d'inerzia.
Sapendo che la massa totale della stella e' M e che il periodo
di rotazione e' T,calcolare la distanza tra le due componenti
del sistema.
Si suppongano confrontabili le masse delle due componenti
( ma non eguali !).
karl
Risposte
ok! 
Ho considerato orbite circolari.
$T={2\pi}/\omega=>\omega={2\pi}/T$
Dato poi che le uniche forze che agiscono sono centrali, non si avrà nessun momento netto e quindi un moto circolare uniforme per entrambe le stelle. Inoltre Se esse sono in equilibrio lungo la direzione che le unisce, allora la forza di attrazione reciproca deve uguagliare la forza centripeta di ognuna delle due.
Se $d$ è la distanza tra di esse e $ R, r$ i raggi delle due orbite:
${m(M-m)G}/(d^2)=m\omega^2R=mR{4\pi^2}/T^2=>d^2R={(M-m)GT^2}/{4\pi^2}$
Essendo poi: $|F_{M-m}|=|F_{m}|$, si ha:
$m\omega^2R=(M-m)\omega^2r=>mR=(M-m)r=m(d-r)=>Mr=md=>r=m/Md$
Quindi:
$d^3(1-m/M)=d^3({M-m}/M)={(M-m)GT^2}/{4\pi^2}=>d=\root[3]{{MGT^2}/{4\pi^2}}$
Ho considerato orbite circolari.
$T={2\pi}/\omega=>\omega={2\pi}/T$
Dato poi che le uniche forze che agiscono sono centrali, non si avrà nessun momento netto e quindi un moto circolare uniforme per entrambe le stelle. Inoltre Se esse sono in equilibrio lungo la direzione che le unisce, allora la forza di attrazione reciproca deve uguagliare la forza centripeta di ognuna delle due.
Se $d$ è la distanza tra di esse e $ R, r$ i raggi delle due orbite:
${m(M-m)G}/(d^2)=m\omega^2R=mR{4\pi^2}/T^2=>d^2R={(M-m)GT^2}/{4\pi^2}$
Essendo poi: $|F_{M-m}|=|F_{m}|$, si ha:
$m\omega^2R=(M-m)\omega^2r=>mR=(M-m)r=m(d-r)=>Mr=md=>r=m/Md$
Quindi:
$d^3(1-m/M)=d^3({M-m}/M)={(M-m)GT^2}/{4\pi^2}=>d=\root[3]{{MGT^2}/{4\pi^2}}$
Faccio alcune banali osservazioni solo per agevolare la comprensione
di chi legge la tua ottima soluzione .
La dizione "accelerazione centripeta " va evidentemente sostituita con "forza centripeta".
Il simbolo "r" che compare all'inizio della terza serie di formule intendeva essere un "R"
Il simbolo $d^2$ che compare nella quarta serie di formule voleva essere un $d^3$
Complimenti ancora.
karl
di chi legge la tua ottima soluzione .
La dizione "accelerazione centripeta " va evidentemente sostituita con "forza centripeta".
Il simbolo "r" che compare all'inizio della terza serie di formule intendeva essere un "R"
Il simbolo $d^2$ che compare nella quarta serie di formule voleva essere un $d^3$
Complimenti ancora.
karl
Già hai perfettamente ragione... 
Solo che scrivevo di fretta mentre giocava l'Italia... 
Spero di poter essere perdonato...
Solo che scrivevo di fretta mentre giocava l'Italia... Spero di poter essere perdonato...
D'accordo con l'ottima soluzione di Valerio.
Volevo solo avere il vostro parere su questa possibile soluzione.
Sia $x$ la massa di un corpo, $M-x$ la massa dell'altro.
$x$ sente una massa $(M-x)/4$ alla distanza $d/2$;
Allora, per l'equilibrio:
$(Gx(M-x))/(4(d/2)^2)=xomega^2(d/2)$
Si si approssima $M-x~~M/2$ si ha
$(GM)/(8(d/2)^2)=(4pi^2)/(T^2)(d/2)$
e semplificando
$d=root3((GMT^2)/(4pi^2))$
Volevo solo avere il vostro parere su questa possibile soluzione.
Sia $x$ la massa di un corpo, $M-x$ la massa dell'altro.
$x$ sente una massa $(M-x)/4$ alla distanza $d/2$;
Allora, per l'equilibrio:
$(Gx(M-x))/(4(d/2)^2)=xomega^2(d/2)$
Si si approssima $M-x~~M/2$ si ha
$(GM)/(8(d/2)^2)=(4pi^2)/(T^2)(d/2)$
e semplificando
$d=root3((GMT^2)/(4pi^2))$
L'approssimazione fatta da giuseppe e' esplicitamente esclusa
dal quesito.
D'altra parte,qualunque sia l'ipotesi su come sia ripartita
la M tra le due componenti,si avra' sempre il medesimo
risultato dato che esso viene a dipendere solo dalla massa
totale M.
karl
dal quesito.
D'altra parte,qualunque sia l'ipotesi su come sia ripartita
la M tra le due componenti,si avra' sempre il medesimo
risultato dato che esso viene a dipendere solo dalla massa
totale M.
karl
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