Stato fondamentale e vettore nullo
Salve a tutti =) studiando l'oscillatore armonico quantistico, trovo che 0 è un'autovalore ammissibile nello spettro dell'operatore $a^+ a$, e la dimostrazione e strutturata sull'ipotesi che
Se $\lambda$ è intero $ EE n$ tale che
$a^n| \lambda \rangle=C_{_}^n|\lambda - n \rangle=| \emptyset \rangle$
dove con $| \emptyset \rangle$ è indicato il vettore che viene mandato da $a^+ a$ nel vettore nullo $| 0 \rangle$
Perchè questo è sempre vero? Da cosa si deduce?
Se $\lambda$ è intero $ EE n$ tale che
$a^n| \lambda \rangle=C_{_}^n|\lambda - n \rangle=| \emptyset \rangle$
dove con $| \emptyset \rangle$ è indicato il vettore che viene mandato da $a^+ a$ nel vettore nullo $| 0 \rangle$
Perchè questo è sempre vero? Da cosa si deduce?
Risposte
Scusa, ma non capisco bene. Io farei semplicemente considerando che $a|n> = sqrt{n} |n-1>$ per cui $a|0> = 0$ ...
Il problema è che non ho ben capito il significato fisico dell'azione dell'operatore a sullo stato fondamentale $| \emptyset \rangle$
Detto in altre parole, qual è il significato fisico del kernel di un operatore?
Se ho un operatore, il kernel esiste sempre esatto? Cioè l'insieme di autovettori tale che l'azione dell'operatore su questi autovettori mi restituisce il vettore nullo.
Ed è proprio il fatto che il kernel deve esistere che mi porta alla conclusione che esisterà sicuramente un n, cioè un autovalore, che mi porterà in questo sottospazio vettoriale?
Detto in altre parole, qual è il significato fisico del kernel di un operatore?
Se ho un operatore, il kernel esiste sempre esatto? Cioè l'insieme di autovettori tale che l'azione dell'operatore su questi autovettori mi restituisce il vettore nullo.
Ed è proprio il fatto che il kernel deve esistere che mi porta alla conclusione che esisterà sicuramente un n, cioè un autovalore, che mi porterà in questo sottospazio vettoriale?
Cosa intendi per kernel di un operatore? Ci sono vari usi della parola kernel ...
Comunque, per quel che so, $a$, nell'oscillatore armonico, fa passare dallo stato $n$ (con $n=0,1,2,...$) allo stato $n-1$. Se applico $a$ allo stato $1$, allora ottengo lo stato $0$, ovvero il vuoto quantistico che uno stato a tutti gli effetti. Se, invece, applico $a$ al vuoto ho la distruzione dello stato, quindi funzione d'onda nulla ...
Mi sembra che stai confondendo $|0>$ (il vuoto) con $0$ (che tu chiami $|\emptyset>$) ...
Comunque, per quel che so, $a$, nell'oscillatore armonico, fa passare dallo stato $n$ (con $n=0,1,2,...$) allo stato $n-1$. Se applico $a$ allo stato $1$, allora ottengo lo stato $0$, ovvero il vuoto quantistico che uno stato a tutti gli effetti. Se, invece, applico $a$ al vuoto ho la distruzione dello stato, quindi funzione d'onda nulla ...
Mi sembra che stai confondendo $|0>$ (il vuoto) con $0$ (che tu chiami $|\emptyset>$) ...
Con kernel intendo il nucleo dell'operatore, cioè l'insieme dei vettori tali che l'azione dell'operatore (in questo caso l'operatore a) su questo vettore mi restituisce il vettore nullo
$Ker( a)=\{|n \rangle \quad t.c. \quad a|n \rangle= | 0 \rangle\}$
quindi in questo caso posso identificare lo stato fondamentale, cioè $| \emptyset \rangle$, un elemento del Kernel?
In effetti ciò che non ho ben chiaro è il concetto di vuoto quantistico e di distruzione dello stato. Cioè per vuoto quantistico intendo per esempio lo stato in cui non ho alcuna probabilità di trovare la particella? E perchè se agisco con l'operatore a sullo stato fondamentale vado a finire nel vuoto quantistico?
$Ker( a)=\{|n \rangle \quad t.c. \quad a|n \rangle= | 0 \rangle\}$
quindi in questo caso posso identificare lo stato fondamentale, cioè $| \emptyset \rangle$, un elemento del Kernel?
In effetti ciò che non ho ben chiaro è il concetto di vuoto quantistico e di distruzione dello stato. Cioè per vuoto quantistico intendo per esempio lo stato in cui non ho alcuna probabilità di trovare la particella? E perchè se agisco con l'operatore a sullo stato fondamentale vado a finire nel vuoto quantistico?
Secondo me le cose stanno così.
Lo stato fondamentale dell'oscillatore armonico è $|0>$, ovvero lo stato con $n = 0$ che corrisponde all'energia $1/2 h/{2 \pi} \omega$ (acc. non riesco a scrivere h-tagliato) e all'autofunzione gaussiana. Lo stato nullo, invece, è $\psi = 0$ che non ha niente a che fare con lo stato fondamentale.
In QFT, invece, lo stato $|0>$ è lo stato di vuoto senza particelle (per esempio, senza fotoni). Tale stato possiede una energia di punto zero (ZPE) del valore $1/2 h/{2 \pi} \omega$ in ogni punto dello spazio per cui, sommando, lo spazio vuoto sarebbe pieno di energia infinita ... ma questa è un'altra storia ...
Ritornando al kernel, io scriverei $a |n>$ = 0, per cui il kernel sarebbe $|0>$ ...
ps. quelll' $\emptyset$, secondo me, ti porta fuori strada ...
Lo stato fondamentale dell'oscillatore armonico è $|0>$, ovvero lo stato con $n = 0$ che corrisponde all'energia $1/2 h/{2 \pi} \omega$ (acc. non riesco a scrivere h-tagliato) e all'autofunzione gaussiana. Lo stato nullo, invece, è $\psi = 0$ che non ha niente a che fare con lo stato fondamentale.
In QFT, invece, lo stato $|0>$ è lo stato di vuoto senza particelle (per esempio, senza fotoni). Tale stato possiede una energia di punto zero (ZPE) del valore $1/2 h/{2 \pi} \omega$ in ogni punto dello spazio per cui, sommando, lo spazio vuoto sarebbe pieno di energia infinita ... ma questa è un'altra storia ...
Ritornando al kernel, io scriverei $a |n>$ = 0, per cui il kernel sarebbe $|0>$ ...
ps. quelll' $\emptyset$, secondo me, ti porta fuori strada ...
Lo stato fondamentale dell'oscillatore armonico è ∣∣0>, ovvero lo stato con n=0 che corrisponde all'energia 12h2πω (acc. non riesco a scrivere h-tagliato) e all'autofunzione gaussiana. Lo stato nullo, invece, è ψ=0 che non ha niente a che fare con lo stato fondamentale.
Quoto Arrigo, secondo me confondi lo stato $|0>$ con $0$.
Ok fin qui tutto chiaro! Da un punto di vista matematico l'esistenza del vettore nullo è garantita dal fatto che le funzioni sono definite in un spazio di Hilbert esatto?
Lo stato fondamentale deve esistere perchè gli autovalori devono essere necessariamente interi e l'operatore $a^+a$ è un operatore definito positivo o sbaglio?
Inoltre nel caso considerato, il kernel posso definirlo come uno spazio vettoriale di dimensione 1?
Lo stato fondamentale deve esistere perchè gli autovalori devono essere necessariamente interi e l'operatore $a^+a$ è un operatore definito positivo o sbaglio?
Inoltre nel caso considerato, il kernel posso definirlo come uno spazio vettoriale di dimensione 1?
Da un punto di vista matematico l'esistenza del vettore nullo è garantita dal fatto che le funzioni sono definite in un spazio di Hilbert esatto?
Esatto
Lo stato fondamentale deve esistere perchè gli autovalori devono essere necessariamente interi e l'operatore a+a è un operatore definito positivo o sbaglio?
Lo stato fondamentale esiste perchè è l'autoalore minimo dell'hamiltoniana, cioè l'energia minima possibile.
l'ultima non saprei. Arriverà qualcuno che sicuramente ne sa MOLTO più di me.
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