Statistica di Fermi-Dirac

[Manuk1]

Salve a tutti, non riesco ad impostare un esercizio di meccanica statistica:

Considerare un gas ideale di fermioni in moto unidimensionale aventi densità media $N/L$ con $N$ e $L$ dati.
Determinare il potenziale chimico, l'energia media e la pressione.

Ho provato a considerare $ =2 \sum_{\alpha} $ con $ = 1 /( e^(\beta (\epsilon_{\alpha} - \mu ) )+1)$
poi ho trasformato la somma in un integrale $ = 2L/h \int (d^3p) /( e^(\beta (\epsilon_{\alpha} - \mu ) )+1)$
ho portato in coordinate polari $ = 2L/h \int_0^infty (p^2dp) /( e^(\beta (\epsilon_{\alpha} - \mu ) )+1)$
a questo punto penso che, dato che si tratta di un gas ideale, metterò $\epsilon = p^2/(2m)$ ma adesso nulla mi salva dal dover risolvere questo integrale... o no?

In altri esercizi simili chiedono il calcolo per $T rarr 0$ cioè $\beta rarr infty$ che applicato a questo punto manderebbe a zero l'esponenziale nell'integrale (per $\mu > \epsilon$) che diventerebbe quindi banale.
Il problema è che adesso con questo risultato come faccio a trovare il potenziale chimico e altre grandezze che sono scomparse con l'esponenziale?
Forse bisogna partire dal provare a costruire una qualsivoglia funzione di partizione?
Grazie in anticipo a chi saprà darmi una mano.

[Eredir]

Il problema non mi sembra molto chiaro, poichè ad una temperatura generica l'espressione che definisce il potenziale chimico non si può invertire in modo banale, non essendo l'integrale scrivibile in termini di funzioni elementari. Nel caso generale infatti si cercano le correzioni dipendenti dalla temperatura al valore a temperatura zero, che coincide con l'energia di Fermi, e questo procedimento è noto come sviluppo di Sommerfeld.
Detto questo c'è in ogni caso un errore in quello che hai scritto, dal momento che sei in una sola dimensione non devi integrare in $d^3p$ ma in $dp$. A temperatura zero puoi senza dubbio calcolare l'energia di Fermi, che appunto a quella temperatura coincide con il potenziale chimico, magari l'esercizio intendeva questo.