Statica (corpo rigido)
Ciao a tutti, questo è il mio problema...
Un'asta (segmento AB) di massa $M = 8 kg$ e di lunghezza $l = 2.4 m$ si trova in posizione orizzontale sostenuta da una corda che forma un angolo di $θ = 25°$ rispetto all'orizzontale.
Determinare:
a) la tensione della corda, e
b) la reazione vincolare nel perno A.
Io procederei in questo modo ma essendo il primo problema di questo tipo che faccio non sono sicuro che l'approccio sia corretto...
Innanzitutto sfrutto l'equazione dei momenti per ricavare la tensione del filo. Lungo y infatti ho, prendendo il perno A come polo e osservando che il sistema è in equilibrio,
$Mg(l/2) - Tlsinθ = 0$, da cui posso ricavare T senza troppi problemi come $((Mg)/(2sinθ))$.
A questo punto considero la risultante delle forze che agiscono sull'asta lungo x, imponendo la condizione $a = 0$, per trovare la reazione in A:
$R_a - Tcosθ = 0$
Fin qui il modo di ragionare è corretto? (ci sarebbe una seconda parte)
Un'asta (segmento AB) di massa $M = 8 kg$ e di lunghezza $l = 2.4 m$ si trova in posizione orizzontale sostenuta da una corda che forma un angolo di $θ = 25°$ rispetto all'orizzontale.
Determinare:
a) la tensione della corda, e
b) la reazione vincolare nel perno A.
Io procederei in questo modo ma essendo il primo problema di questo tipo che faccio non sono sicuro che l'approccio sia corretto...
Innanzitutto sfrutto l'equazione dei momenti per ricavare la tensione del filo. Lungo y infatti ho, prendendo il perno A come polo e osservando che il sistema è in equilibrio,
$Mg(l/2) - Tlsinθ = 0$, da cui posso ricavare T senza troppi problemi come $((Mg)/(2sinθ))$.
A questo punto considero la risultante delle forze che agiscono sull'asta lungo x, imponendo la condizione $a = 0$, per trovare la reazione in A:
$R_a - Tcosθ = 0$
Fin qui il modo di ragionare è corretto? (ci sarebbe una seconda parte)
Risposte
Si. Se la seconda parte e' trovare la reazione lungo y allora ok. Se no ti manca la reazione vincolare su y.
Ciao, grazie per la risposta.
Il problema continua chiedendo di ripetere i calcoli nel caso in cui vi sia un corpo di massa $m$ e di dimensioni trascurabili appogiato sull'estremo B dell'asta (qui non dovrebbero esserci problemi).
Nella parte successiva (rimosso il corpo m) chiede:
c) se la corda viene tagliata, con quale velocità angolare l'asta arriva in posizione verticale?
Per risolverlo posso riscrivere l'equazione dei momenti considerando l'azione della sola forza di gravità sul centro dell'asta e che il suo momento d'inerzia $I$ vale $1/12ml^2$:
$Mgl/2 = 1/12ml^2α$, da cui posso ricavare l'accelerazione angolare.
Sapendo che la velocità iniziale è nulla e che il moto dell'asta descrive una circonferenza di raggio $2πl$, e che una volta arrivata in posizione verticale l'estremo B ne ha percorso esattamente un quarto, posso scrivere
$ω^2 = απl$
All'ultima parte (relativa agli urti) sono costretto a tornare più tardi per cause di forza maggiore, mi scuso per lo spezzettamento
Il problema continua chiedendo di ripetere i calcoli nel caso in cui vi sia un corpo di massa $m$ e di dimensioni trascurabili appogiato sull'estremo B dell'asta (qui non dovrebbero esserci problemi).
Nella parte successiva (rimosso il corpo m) chiede:
c) se la corda viene tagliata, con quale velocità angolare l'asta arriva in posizione verticale?
Per risolverlo posso riscrivere l'equazione dei momenti considerando l'azione della sola forza di gravità sul centro dell'asta e che il suo momento d'inerzia $I$ vale $1/12ml^2$:
$Mgl/2 = 1/12ml^2α$, da cui posso ricavare l'accelerazione angolare.
Sapendo che la velocità iniziale è nulla e che il moto dell'asta descrive una circonferenza di raggio $2πl$, e che una volta arrivata in posizione verticale l'estremo B ne ha percorso esattamente un quarto, posso scrivere
$ω^2 = απl$
All'ultima parte (relativa agli urti) sono costretto a tornare più tardi per cause di forza maggiore, mi scuso per lo spezzettamento
No, non va bene, perche l'accelerazione non e' costante: il momento della forza peso varia quando l'asta scende, essendo funzione dell'angolo che l'asta forma con la verticale o con l'orizzontale, a seconda di dove decidi di contare gli angoli in fase di discesa.
Si risolve molto piu' immediatamente con la conservazione dell' energia meccanica. Il risultato, se non lo hai, e' $omega=2sqrt((3g)/L)$
Si risolve molto piu' immediatamente con la conservazione dell' energia meccanica. Il risultato, se non lo hai, e' $omega=2sqrt((3g)/L)$
Accipicchia, è vero, non avevo considerato la dipendenza del momento della forza di gravità da θ!
Quindi uso la conservazione dell'energia meccanica - giusto per sicurezza: quando scrivo l'energia potenziale gravitazionale devo sempre considerare la posizione del centro di massa, giusto? - e scrivo
$Mgl/2 = 1/2Iomega^2$, da cui il risultato $omega = 2((3g)/l)^(1/2)$
Per completezza, ecco l'ultima parte del problema:
Se in questa posizione urta un corpo di massa m inizialmente in quiete posto su un piano orizzontale, e si ferma in posizione verticale determinare:
d) con quale velocità $v_1$ si muove il corpo $m$ dopo l’urto;
e) l’impulso sviluppato dal vincolo nell’urto.
Le due masse tornano a staccarsi dopo l'urto; per l'asta, la velocità iniziale è $omega$, quella finale è nulla; per il corpo di massa $m$, la velocità iniziale è nulla, e la velocità finale $v_1$ è la mia incognita.
La forza interna da considerare è la reazione del perno A durante l'urto; dato che non è conservativa, l'urto è anelastico e dunque
$v_1 = (m_1(1 + e)omegal)/(m_1 + m_2)$
Però non sono sicuro se questo modo di procedere sia esatto
Mi crea dubbi il fatto che se l'asta si ferma dopo l'urto, allora intuitivamente questo dovrebbe essere elastico...
Quindi uso la conservazione dell'energia meccanica - giusto per sicurezza: quando scrivo l'energia potenziale gravitazionale devo sempre considerare la posizione del centro di massa, giusto? - e scrivo
$Mgl/2 = 1/2Iomega^2$, da cui il risultato $omega = 2((3g)/l)^(1/2)$
Per completezza, ecco l'ultima parte del problema:
Se in questa posizione urta un corpo di massa m inizialmente in quiete posto su un piano orizzontale, e si ferma in posizione verticale determinare:
d) con quale velocità $v_1$ si muove il corpo $m$ dopo l’urto;
e) l’impulso sviluppato dal vincolo nell’urto.
Le due masse tornano a staccarsi dopo l'urto; per l'asta, la velocità iniziale è $omega$, quella finale è nulla; per il corpo di massa $m$, la velocità iniziale è nulla, e la velocità finale $v_1$ è la mia incognita.
La forza interna da considerare è la reazione del perno A durante l'urto; dato che non è conservativa, l'urto è anelastico e dunque
$v_1 = (m_1(1 + e)omegal)/(m_1 + m_2)$
Però non sono sicuro se questo modo di procedere sia esatto
Mi crea dubbi il fatto che se l'asta si ferma dopo l'urto, allora intuitivamente questo dovrebbe essere elastico...
Innanzitutto, cosa sono $m_1$, $m_2$ ed $e$?
Secondo. Se prendi la cerniera dell'asta come polo di rotazione, nel calcolo del momento della quantita di moto un istante prima e un istante dopo l'urto, l'impulso vincolare non entra in gioco: la retta d'azione della forza impulsiva passa per il vincolo, o, il che e' lo stesso, il suo braccio e' nullo rispetto al vincolo).
Calcola il momento della Qdm $vec[P_1]$ immediatamente prima dell'urto, ed eguaglialo al momento della Qdm $vec[P_2]$ immediatamente dopo l'urto. Da li' ricavi $v_1$.
Per vedere se l'urto e' anelastico (totalmente o parzialmente) verifica se l'energia si conserva prima e dopo l'urto.
Infine, se la massa bersaglio m viene colpita, quanto vale l'impulso che riceve? E quanto vale l'impulso che l'asta riceve da m?
Secondo. Se prendi la cerniera dell'asta come polo di rotazione, nel calcolo del momento della quantita di moto un istante prima e un istante dopo l'urto, l'impulso vincolare non entra in gioco: la retta d'azione della forza impulsiva passa per il vincolo, o, il che e' lo stesso, il suo braccio e' nullo rispetto al vincolo).
Calcola il momento della Qdm $vec[P_1]$ immediatamente prima dell'urto, ed eguaglialo al momento della Qdm $vec[P_2]$ immediatamente dopo l'urto. Da li' ricavi $v_1$.
Per vedere se l'urto e' anelastico (totalmente o parzialmente) verifica se l'energia si conserva prima e dopo l'urto.
Infine, se la massa bersaglio m viene colpita, quanto vale l'impulso che riceve? E quanto vale l'impulso che l'asta riceve da m?
Allora, vediamo se ho capito bene la situazione.
Subito prima dell'urto soltanto l'asta ha momento angolare, poiché il punto materiale è fermo, e quindi in totale abbiamo $L_i = Iomega_0$. Subito dopo invece, il punto materiale è ancora a contatto con l'asta e possiamo "assimilare" il suo moto alla rotazione dell'asta. Dunque $L_f = Iomega_1 + ml^2omega_1$.
Per la conservazione del momento angolare scriviamo $L_i = L_f$, da cui $v_1 = (Ml^2omega_0)/(Ml + 12ml)$. Il risultato è corretto?
Subito prima dell'urto soltanto l'asta ha momento angolare, poiché il punto materiale è fermo, e quindi in totale abbiamo $L_i = Iomega_0$. Subito dopo invece, il punto materiale è ancora a contatto con l'asta e possiamo "assimilare" il suo moto alla rotazione dell'asta. Dunque $L_f = Iomega_1 + ml^2omega_1$.
Per la conservazione del momento angolare scriviamo $L_i = L_f$, da cui $v_1 = (Ml^2omega_0)/(Ml + 12ml)$. Il risultato è corretto?
Insomma.....
Non devi assimilare nulla. Dopo l'urto, l'unico corpo in movimento e' la massa che ha velocità $v_1$.
Il suo L è esattamente (non approssimativamente) $mv_1l /2$. L'asta invece è ferma. Quindi $mv_1l/2=I omega_0$ da cui $v_1 $.
A proposito, mi son dimenticato di correggermi. Il momento di inerzia della asta rispetto alla estremità è $1/3Ml^2$. Quindi $omega_0=sqrt ((3g)/l) $
Non devi assimilare nulla. Dopo l'urto, l'unico corpo in movimento e' la massa che ha velocità $v_1$.
Il suo L è esattamente (non approssimativamente) $mv_1l /2$. L'asta invece è ferma. Quindi $mv_1l/2=I omega_0$ da cui $v_1 $.
A proposito, mi son dimenticato di correggermi. Il momento di inerzia della asta rispetto alla estremità è $1/3Ml^2$. Quindi $omega_0=sqrt ((3g)/l) $
Ok, adesso è chiaro. Ho capito che devo guardarmi bene gli urti prima di continuare con il corpo rigido 
Per l'ultima parte credo di esserci ma posto lo stesso il procedimento...
L'impulso $\vec J$ è dato dalla variazione della quantità di moto totale $Delta\vec P = Delta\vec P_M + Delta\vec P_m$.
Nel nostro caso, il punto materiale parte fermo e nel momento finale possiede la quantità di moto $mv_1 = - M/m sqrt((gl)/3)$; l'asta al contrario si ferma dopo l'urto ma nell'istante iniziale ha quantità di moto pari a $M\vec v_(cm) = M\vec omega_f × \vec r = Momega_fl/2$.
Sostituendo nell'espressione sopra e semplificando arrivo al risultato $(Msqrt(gl))/(2sqrt3)$.
Per l'ultima parte credo di esserci ma posto lo stesso il procedimento...
L'impulso $\vec J$ è dato dalla variazione della quantità di moto totale $Delta\vec P = Delta\vec P_M + Delta\vec P_m$.
Nel nostro caso, il punto materiale parte fermo e nel momento finale possiede la quantità di moto $mv_1 = - M/m sqrt((gl)/3)$; l'asta al contrario si ferma dopo l'urto ma nell'istante iniziale ha quantità di moto pari a $M\vec v_(cm) = M\vec omega_f × \vec r = Momega_fl/2$.
Sostituendo nell'espressione sopra e semplificando arrivo al risultato $(Msqrt(gl))/(2sqrt3)$.
Si. Non so se i valori e/o i segni sono corretti, ma e' cosi. L'unico impulso esterno e' quello vincolare J e quindi la variazione totale di quantita di moto del sistema deve uguagliarsi a J
Ottimo. Grazie mille per il suo tempo!
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