Statica
Un'asta omogenea di massa m=10 kg e di lunghezza l=6m può ruotare attorno al punto A. Una fune legata al punto B impedisce all'asta di cadere. il segmento AB misura 4m. L'angolo tra la fune in B e l'asta è $\theta=60°$ . Nel punto C è appesa una massa m=30 kg tramite una seconda fune. il sistema è all'equilibrio.
Calcolare le tensioni di entrambe le funi:
- dato che il sistema è all'equilibrio, so che la $T_1$ della fune che mantiene il corpo è pari a: $T_1= m_c g= 294 N$.
La tensione 2 la trovo invece con l'equilibrio rotazionale dell'asta, considerando il punto A come fulcro:
$ - \tau_w -\tau_(T_1) + \tau_(T_2)$. i bracci delle tensioni sono rispettivamente $b_1= 6 m $ e $b_2= 4 m sin \theta$, mentre il braccio della forza peso, visto che questa è applicata nel baricentro di una figura regolare quale l'asta, sarà $b= 3 m $. da qui mi ricavo $T_2= 594 N$.
Calcolare la reazione vincolare della cerniera sull'asta:
io avevo considerato che avesse solo componente x perciò dall'equilibrio traslazionale: $R= T_2 cos \theta= 297 N$; tuttavia per controprova quando provo a calcolare la componente y non esce 0. Perciò dovrebbe avere anche componente y.
Quindi questa reazione vincolare non necessariamente "attraversa" il corpo su cui agisce?
Calcolare le tensioni di entrambe le funi:
- dato che il sistema è all'equilibrio, so che la $T_1$ della fune che mantiene il corpo è pari a: $T_1= m_c g= 294 N$.
La tensione 2 la trovo invece con l'equilibrio rotazionale dell'asta, considerando il punto A come fulcro:
$ - \tau_w -\tau_(T_1) + \tau_(T_2)$. i bracci delle tensioni sono rispettivamente $b_1= 6 m $ e $b_2= 4 m sin \theta$, mentre il braccio della forza peso, visto che questa è applicata nel baricentro di una figura regolare quale l'asta, sarà $b= 3 m $. da qui mi ricavo $T_2= 594 N$.
Calcolare la reazione vincolare della cerniera sull'asta:
io avevo considerato che avesse solo componente x perciò dall'equilibrio traslazionale: $R= T_2 cos \theta= 297 N$; tuttavia per controprova quando provo a calcolare la componente y non esce 0. Perciò dovrebbe avere anche componente y.
Quindi questa reazione vincolare non necessariamente "attraversa" il corpo su cui agisce?
Risposte
Si, non è proprio detto che la reazione "attraversi" il corpo su cui agisce.
Sai per dove passa la reazione della cerniera ? Prolunga la retta verticale a cui appartiene la fune che regge la massa sospesa.
Prolunga la retta a cui appartiene la fune obliqua.
Queste due rette si incontrano in un punto, in basso. Per questo punto deve passare pure la retta si cui giace la reazione della cerniera: perché ? Spiegamelo tu.
Sai per dove passa la reazione della cerniera ? Prolunga la retta verticale a cui appartiene la fune che regge la massa sospesa.
Prolunga la retta a cui appartiene la fune obliqua.
Queste due rette si incontrano in un punto, in basso. Per questo punto deve passare pure la retta si cui giace la reazione della cerniera: perché ? Spiegamelo tu.
Prima di rifare i calcoli e cercare di risponderti vorrei sapere se il valore numerico di $T_2= 594 N$ è giusto. Mi è venuto il dubbio
Non ho fatto mica i calcoli ! Cerca di spiegarmi quello che ti ho detto.
Comunque ogni problema di statica piana si risolve con due equazioni di equilibrio alla traslazione e una equazione di equilibrio alla rotazione .
Comunque ogni problema di statica piana si risolve con due equazioni di equilibrio alla traslazione e una equazione di equilibrio alla rotazione .
Dovrebbe essere così
L'unico motivo molto banale che mi viene in mente è che avendo le componenti la somma delle forze lungo x e y è pari a zero: quindi si ottiene l'equilibrio traslazionale oltre che rotazionale. Ma non so se è una risposta esaustiva
L'unico motivo molto banale che mi viene in mente è che avendo le componenti la somma delle forze lungo x e y è pari a zero: quindi si ottiene l'equilibrio traslazionale oltre che rotazionale. Ma non so se è una risposta esaustiva
"FraV":
Prima di rifare i calcoli e cercare di risponderti vorrei sapere se il valore numerico di $T_2= 594 N$ è giusto. Mi è venuto il dubbio
Mi pare un dubbio lecito. Sono circa 1050N (fatto a mente, quindi ricontrolla)
30 x 6 x 9.81 + 10 x 3 x 9.81 = circa 2100 (un po meno).
T*cos60*4=2T
da cui T = 2100/2 = 1050N
Fermo un attimo. Ci siamo dimenticati che anche l'asta ha un suo peso ! Anzi, non lo avevo proprio considerato!
Quindi ti ho fatto sbagliare! Infatti , la reazione della cerniera non passa per quel punto che ti ho detto. Devi prima calcolare la risultante dei due pesi, quello dell'asta e quello della massa sospesa, e piazzare questa risultante sul disegno, se vuoi determinare graficamente "per dove passa" la reazione della cerniera.
Quindi ti ho fatto sbagliare! Infatti , la reazione della cerniera non passa per quel punto che ti ho detto. Devi prima calcolare la risultante dei due pesi, quello dell'asta e quello della massa sospesa, e piazzare questa risultante sul disegno, se vuoi determinare graficamente "per dove passa" la reazione della cerniera.
"professorkappa":
T*cos60*4=2T
Perchè si usa il coseno? non è $\tau= F * r * sin \theta?$
Lascai perdere la soluzione grafica, per ora.
Scrivi per bene le equazioni di equilibrio alla traslazione verticale, alla traslazione orizzontale, e alla rotazione rispetto a un polo; come polo va bene la cerniera.
L'equilibrio alla rotazione rispetto ad A si scrive :
$T_1*l + P_a * l/2 - T_2sen\theta* AB = 0 $ , dove ho indicato con $P_a$ il peso dell'asta .
Inoltre , per la traslazione orizzontale, detta $R$ la reazione di A , che ha due componenti :
$ R_o - T_2cos\theta = 0 $
per la traslazione verticale :
$R_v + P_a - T_2sen\theta + T_1 = 0 $
non sappiamo a priori il senso di $R_v$ . Percio lo assumiamo come quello del peso. Se viene positivo, bene; se viene negativo vuol dire che è diretta verso l'alto.
Scrivi per bene le equazioni di equilibrio alla traslazione verticale, alla traslazione orizzontale, e alla rotazione rispetto a un polo; come polo va bene la cerniera.
L'equilibrio alla rotazione rispetto ad A si scrive :
$T_1*l + P_a * l/2 - T_2sen\theta* AB = 0 $ , dove ho indicato con $P_a$ il peso dell'asta .
Inoltre , per la traslazione orizzontale, detta $R$ la reazione di A , che ha due componenti :
$ R_o - T_2cos\theta = 0 $
per la traslazione verticale :
$R_v + P_a - T_2sen\theta + T_1 = 0 $
non sappiamo a priori il senso di $R_v$ . Percio lo assumiamo come quello del peso. Se viene positivo, bene; se viene negativo vuol dire che è diretta verso l'alto.
OK
1- $T_2 = (P_a * l/2 + T_1 * l)/ (AB sin \theta) = (98 * 3 + 294 * 6)/ (4 sin 60) = 594 N$.
2- $R_x= T_2 cos \theta= 297 N$ (positiva rispetto al mio asse di riferimento che vede l'ascissa in linea con l'asta)
3- $R_y= 98 + 294 - 594 sin 60= - 122 N$ (negativa, in pratica la reazione sarebbe rivolta in basso a destra rispetto ad A).
ora con Pitagora: $R= 321 N$ . Per non sbagliare più dunque considero sempre le componenti di R; poi se una delle due è zero tanto meglio.
Voglio proprio osare (perchè so che rischio orrori qua): calcolo l'angolo $\alpha$ tra R e l'asta
$tan \alpha = (R_y)/ (R_x) $ da cui(operazione inversa con calcolatrice): $\ alpha = 22°$.
Ovviamente spero di aver considerato bene i lati, sapendo che la tangente è pari a cateto opposto / cateto adiacente.
1- $T_2 = (P_a * l/2 + T_1 * l)/ (AB sin \theta) = (98 * 3 + 294 * 6)/ (4 sin 60) = 594 N$.
2- $R_x= T_2 cos \theta= 297 N$ (positiva rispetto al mio asse di riferimento che vede l'ascissa in linea con l'asta)
3- $R_y= 98 + 294 - 594 sin 60= - 122 N$ (negativa, in pratica la reazione sarebbe rivolta in basso a destra rispetto ad A).
ora con Pitagora: $R= 321 N$ . Per non sbagliare più dunque considero sempre le componenti di R; poi se una delle due è zero tanto meglio.
Voglio proprio osare (perchè so che rischio orrori qua): calcolo l'angolo $\alpha$ tra R e l'asta
$tan \alpha = (R_y)/ (R_x) $ da cui(operazione inversa con calcolatrice): $\ alpha = 22°$.
Ovviamente spero di aver considerato bene i lati, sapendo che la tangente è pari a cateto opposto / cateto adiacente.
"professorkappa":
[quote="FraV"]Prima di rifare i calcoli e cercare di risponderti vorrei sapere se il valore numerico di $T_2= 594 N$ è giusto. Mi è venuto il dubbio
Mi pare un dubbio lecito. Sono circa 1050N (fatto a mente, quindi ricontrolla)
30 x 6 x 9.81 + 10 x 3 x 9.81 = circa 2100 (un po meno).
T*cos60*4=2T
da cui T = 2100/2 = 1050N[/quote]
si scs.
fatto a mente, sin60 = 0.87
0.87*4=circa 3.3
2100/3.3 circa 600
Grazie comunque professorkappa 
Ho controllato i calcoli, va tutto benissimo, anche se hai approssimato un po' i risultati. Anche l'angolo di $vecR_a$ con la trave.
Ciao ragazzi, questo esercizio mi è molto servito, ho ancora qualche dubbio a livello concettuale, mi spiego meglio:
1) navigatore quando scrive le 3 equazioni, scrive che "non sappiamo a priori il senso di Rv . Percio' lo assumiamo come quello del peso. Se viene positivo, bene; se viene negativo vuol dire che è diretta verso l'alto." Ok, quindi questo mi fa pensare che il sistema di riferimento considerato sia positivo verso il basso, per quanto riguarda la y, e positivo verso destra, per quanto riguarda la x. Quello che non capisco è perché allora considero positiva la T1(la tensione tra C e peso) di segno opposto a T2, non dovrebbero essere entrambe negative?
2) Nella stessa equazione visto che considero la T1 che fine fa la forza peso del corpo?
Grazie in anticipo. Spero mi aiutate a capire.
1) navigatore quando scrive le 3 equazioni, scrive che "non sappiamo a priori il senso di Rv . Percio' lo assumiamo come quello del peso. Se viene positivo, bene; se viene negativo vuol dire che è diretta verso l'alto." Ok, quindi questo mi fa pensare che il sistema di riferimento considerato sia positivo verso il basso, per quanto riguarda la y, e positivo verso destra, per quanto riguarda la x. Quello che non capisco è perché allora considero positiva la T1(la tensione tra C e peso) di segno opposto a T2, non dovrebbero essere entrambe negative?
2) Nella stessa equazione visto che considero la T1 che fine fa la forza peso del corpo?
Grazie in anticipo. Spero mi aiutate a capire.
Allora, ci ho ragionato un po' su, vediamo se ho capito bene. Per quanto riguarda la T1(la tensione tra C e peso) avrò, una T rivolta verso il basso (positiva) se prendo in esame l'asta, una T verso l'alto(negativa) se lavoro sul corpo. Se è vero quello che ho scritto allora la forza peso nel corpo non compare in quella equazione perché si sta lavorando solo sulle forze agenti sull'asta. E' giusto?
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