Stabilità punti di equilibrio...e matrice Hessiana
Ciao a tutti,
ho una domanda che riguarda la stabilità dei punti di equilibrio.
Consideriamo un sistema in cui ho dei corpi rigidi collegati tra loro. Ci sono solo forze conservative. Il sistema ha due gradi di libertà, il che significa che posso descrivere in maniera univoca lo stato del sistema con due coordinate, che chiameremo $s$ e $phi$.
Ho che
$vec(F)= gradU= -gradV$
Voglio trovare i punti di equilibrio e verificarne la stabilità
1) Trovo i punti di equilibrio scrivendo
$ { ( (dV)/(ds)=0 ),( (dV)/(dphi)=0 ):} $
Supponiamo che abbia trovato un unico punto di equilibrio per
$ { ( s= a in RR ),( phi= b in RR ):} $
2) A questo punto studio la stabilità scrivendo la matrice Hessiana $H$:
$H(s,phi)= [ ( (d^2V)/(ds^2) , (d^2V)/(dsdphi) ),( (d^2V)/(dphids) , (d^2V)/(dphi^2) ) ] $
Valuto $H$ nei punti di equilibrio:
$H(a,b) = [ ( c , d ),( e , f ) ] $
con $c,d,e,f in RR$
DOMANDA
A questo punto, come faccio a sapere se è stabile o no?
Purtroppo nell'abitazione in cui mi trovo adesso non ho un libro di testo che tratta la questione in maniera chiara. Su internet idem.
Da alcuni siti internet ho letto che devo trovare gli autovalori della matrice $H(a,b)$ e...
- Se il prodotto degli autovalori è minore di zero, allora l'equilibrio è instabile;
- Se il prodotto degli autovalori è maggiore o uguale a zero, e la loro somma è maggiore di zero, allora l'equilibrio è instabile;
- Se il prodotto degli autovalori è maggiore o uguale a zero, e la loro somma è minore di zero, allora l'equilibrio è instabile;
- Se il prodotto degli autovalori è maggiore o uguale a zero, e la loro somma è uguale a zero, allora bisogna studiare gli autospazi.
Nota: il prodotto e la somma degli autovalori sono rispettivamente uguali al determinante e alla traccia della matrice diagonalizzata.
E' tutto corretto secondo voi? Ogni critica è ben accetta e gradita!
ho una domanda che riguarda la stabilità dei punti di equilibrio.
Consideriamo un sistema in cui ho dei corpi rigidi collegati tra loro. Ci sono solo forze conservative. Il sistema ha due gradi di libertà, il che significa che posso descrivere in maniera univoca lo stato del sistema con due coordinate, che chiameremo $s$ e $phi$.
Ho che
$vec(F)= gradU= -gradV$
Voglio trovare i punti di equilibrio e verificarne la stabilità
1) Trovo i punti di equilibrio scrivendo
$ { ( (dV)/(ds)=0 ),( (dV)/(dphi)=0 ):} $
Supponiamo che abbia trovato un unico punto di equilibrio per
$ { ( s= a in RR ),( phi= b in RR ):} $
2) A questo punto studio la stabilità scrivendo la matrice Hessiana $H$:
$H(s,phi)= [ ( (d^2V)/(ds^2) , (d^2V)/(dsdphi) ),( (d^2V)/(dphids) , (d^2V)/(dphi^2) ) ] $
Valuto $H$ nei punti di equilibrio:
$H(a,b) = [ ( c , d ),( e , f ) ] $
con $c,d,e,f in RR$
DOMANDA
A questo punto, come faccio a sapere se è stabile o no?
Purtroppo nell'abitazione in cui mi trovo adesso non ho un libro di testo che tratta la questione in maniera chiara. Su internet idem.
Da alcuni siti internet ho letto che devo trovare gli autovalori della matrice $H(a,b)$ e...
- Se il prodotto degli autovalori è minore di zero, allora l'equilibrio è instabile;
- Se il prodotto degli autovalori è maggiore o uguale a zero, e la loro somma è maggiore di zero, allora l'equilibrio è instabile;
- Se il prodotto degli autovalori è maggiore o uguale a zero, e la loro somma è minore di zero, allora l'equilibrio è instabile;
- Se il prodotto degli autovalori è maggiore o uguale a zero, e la loro somma è uguale a zero, allora bisogna studiare gli autospazi.
Nota: il prodotto e la somma degli autovalori sono rispettivamente uguali al determinante e alla traccia della matrice diagonalizzata.
E' tutto corretto secondo voi? Ogni critica è ben accetta e gradita!
Risposte
Io farei così
Per avere un massimo, e quindi una posizione di equilibrio stabile, ti calcoli il determinante dell' hessiano come fai in analisi II, se è maggiore di zero e un elemento della diagonale e negativo è stabile
Per avere un massimo, e quindi una posizione di equilibrio stabile, ti calcoli il determinante dell' hessiano come fai in analisi II, se è maggiore di zero e un elemento della diagonale e negativo è stabile
"Capitan Harlock":
Io farei così
Per avere un massimo, e quindi una posizione di equilibrio stabile, ti calcoli il determinante dell' hessiano come fai in analisi II, se è maggiore di zero e un elemento della diagonale e negativo è stabile
Domande:
1) basta che solo un autovalore sia negativo? Se lo sono entrambi?
2) Avrei bisogno di un modus operandi ben definito, perché non ho ben compreso.
Se non ho gli autovalori (matrice non diagonalizzata), c'è un modo di verificare la stabilità senza dover diagonalizzare la matrice?
Puoi applicare il seguente criterio sia con la matrice originale, sia con la matrice diagonalizzata:
- se il determinante è minore di zero, allora l'equilibrio è instabile;
- se il determinante è maggiore di zero e c'è anche solo un termine sulla diagonale con segno diverso dagli altri, allora l'equilibrio è instabile;
- se il determinante è maggiore di zero e tutti i termini sulla diagonale hanno lo stesso segno, allora l'equilibrio è stabile;
- se anche un solo temine sulla diagonale è uguale a zero, oppure se il determinante è uguale a zero, allora devi utilizzare criteri più laboriosi.
Chiedi conferma a @Capitan Harlock e ad altri utenti più esperti
- se il determinante è minore di zero, allora l'equilibrio è instabile;
- se il determinante è maggiore di zero e c'è anche solo un termine sulla diagonale con segno diverso dagli altri, allora l'equilibrio è instabile;
- se il determinante è maggiore di zero e tutti i termini sulla diagonale hanno lo stesso segno, allora l'equilibrio è stabile;
- se anche un solo temine sulla diagonale è uguale a zero, oppure se il determinante è uguale a zero, allora devi utilizzare criteri più laboriosi.
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Bravo, comunque con gli autovalori puoi farci qualcosa, senza durissima tirare fuori qualcosa,se non qualitativamente (Ljapunov)
E lo vedi nel caso drammatico di autovalori nulli
E lo vedi nel caso drammatico di autovalori nulli
"Capitan Harlock":
Bravo, comunque con gli autovalori puoi farci qualcosa, senza durissima tirare fuori qualcosa,se non qualitativamente (Ljapunov)
E lo vedi nel caso drammatico di autovalori nulli
Scusate...una domanda:
"se il determinante è maggiore di zero e c'è anche solo un termine sulla diagonale con segno diverso dagli altri, allora l'equilibrio è instabile"
come mai questo? e se invece ho termini di segno diversi ma il prodotto degli autovalori è positivo?
Il determinante non conta nulla, per la stabilità devi vedere il segno degli autovalori, a questo serve l'hessiano.
Comunque i sistemi lineari, con due gradi di libertà, si studiano semplicemente abbastanza bene.
Consideriamo autovalori distinti non nulli $ lamda_1!= lamda_2!=0 $
Quindi abbiamo due autovalori distinti reali.
Se $ lamda_1
Comunque in altro modo puoi considerare la matrice A,
Autovalori reali distinti, si ha un punto di della se det(A)<0
qualunque sia la traccia
Autovalori coincidenti, quindi nodo stabile o instabile, det(A)>0, e rispettivamente tr(A)>0 o minore
Poi ci sono i casi di autovalori complessi e cognugati ma non ricordo bene dovrei guardare
Comunque i sistemi lineari, con due gradi di libertà, si studiano semplicemente abbastanza bene.
Consideriamo autovalori distinti non nulli $ lamda_1!= lamda_2!=0 $
Quindi abbiamo due autovalori distinti reali.
Se $ lamda_1
Comunque in altro modo puoi considerare la matrice A,
Autovalori reali distinti, si ha un punto di della se det(A)<0
qualunque sia la traccia
Autovalori coincidenti, quindi nodo stabile o instabile, det(A)>0, e rispettivamente tr(A)>0 o minore
Poi ci sono i casi di autovalori complessi e cognugati ma non ricordo bene dovrei guardare
Questo è il teorema per due variabili:
Minimo relativo significa equilibrio stabile se consideri la funzione energia potenziale così definita $V: -gradV= vec(F)$
Sarebbe curioso capire come mai proprio la derivata seconda rispetto alla prima variabile.
Ho provato a pensarci ma non ne sono venuto fuori
Capitan Harlock o anonymous_be0efb voi sapete come mai , con due variabili, per avere un punto di minimo relativo, è necessario che proprio la derivata seconda rispetto alla prima variabile debba essere maggiore di zero? Come mai quella e non, per dire, la derivata seconda rispetto alla seconda variabile?
Mi pongo questo dubbio perché scegliere una variabile come prima variabile è una decisione arbitraria.
Capitan Harlock o anonymous_be0efb voi sapete come mai , con due variabili, per avere un punto di minimo relativo, è necessario che proprio la derivata seconda rispetto alla prima variabile debba essere maggiore di zero? Come mai quella e non, per dire, la derivata seconda rispetto alla seconda variabile?
Mi pongo questo dubbio perché scegliere una variabile come prima variabile è una decisione arbitraria.
La prima o la seconda è lo stesso.
È un fatto base di Analisi II, dovresti saperlo.
È un fatto base di Analisi II, dovresti saperlo.
Non studiai la dimostrazione a suo tempo. E si vede purtroppo!
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