Stabilità minimi $E_{pot}$

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Ho trovato un passaggio sul mio testo a proposito della stabilità dei minimi dell'energia potenziale che mi risulta alquanto oscuro... Dato il campo di forze \(m \boldsymbol r''(t)=\nabla U (\boldsymbol r)\) (\(\boldsymbol r\) è la posizione e \(U=-E_{pot}\) il potenziale) con energia totale costante \(h(\boldsymbol r,\boldsymbol v)=\frac{m}{2} ||\boldsymbol v(t)||^2-U(\boldsymbol r(t))\) "supponiamo [cito testualmente] che l'energia potenziale \(-U\) abbia un minimo locale stretto nella posizione \(\boldsymbol r_0\). Allora \(\nabla U (\boldsymbol r_0)=\boldsymbol 0\) ed il punto \((\boldsymbol 0,\boldsymbol r_0)\) è stazionario per il campo \(\boldsymbol f\) [dove \(\boldsymbol f(\boldsymbol r, \boldsymbol v)=(\boldsymbol v,m^-1 \nabla U(\boldsymbol r)\); dire che quel punto è stazionario credo significhi che \(\boldsymbol f (\boldsymbol r_0, \boldsymbol 0)=\boldsymbol 0\), cioè con dato iniziale \(\boldsymbol r_0\) con velocità \(\boldsymbol v=\boldsymbol 0\) si ha che \(\boldsymbol f\) è nullo, quindi la soluzione del problema di Cauchy \((\boldsymbol r'(t),\boldsymbol r''(t))=\boldsymbol f(\boldsymbol r, \boldsymbol v)\) è costante: si sta fermi in \(\boldsymbol r_0\)]. L'energia corrispondente è \(h_0=-U(\boldsymbol r_0)\). Consideriamo ora una soluzione \(\boldsymbol r_1,\boldsymbol v_1\) con valori iniziali in prossimità di \((\boldsymbol 0,\boldsymbol r_0)\) [ma non dovrebbe essere \((\boldsymbol r_0,\boldsymbol 0)\) sia qui sia sopra?]. Purché tali valori siano sufficientemente vicini la sua energia $h_1$ sarà prossima ad \(h_0:h_0-\eta \[\min[-U(\boldsymbol r)]=-U(\boldsymbol r_0)=h_0 \leq -U(\boldsymbol r_1(t))=h_1-\frac{m}{2} ||\boldsymbol v_1 (t)||^2\leq h_1 In particolare, ricordando che \(\frac{m}{2} ||\boldsymbol v_1 (t)||^2=h_1+U(\boldsymbol r_1(t)) \), otteniamo, per ogni $t$,
\(U(\boldsymbol r_1(t))<-h_0<\eta-h_1\) e \(||\boldsymbol v_1 (t)||^2<\frac{2\eta}{m}\).
Queste relazioni, valendo per ogni $t$, implicano la stabilità nel senso di Ljapunov. Infatti, fissato $\epsilon>0$, troviamo \(\eta \in (0,m \epsilon^2 /2)\) tale che
\(U(\boldsymbol r) \in (h_0-\eta,h_0) \Rightarrow ||\boldsymbol r-\boldsymbol r_0||<\epsilon\)". Fine citazione.
È tutto il giorno che cerco di capire da dove provenga questa ultima disuguaglianza, ma nulla da fare... Qualcuno potrebbe essere così gentile da aiutarmi?
$+oo$ grazie!!!!!!!

[DavideGenova1]

Comincio a pensare che, date le premesse, possa non essere da escludere che ci sia un refuso nell'ultima implicazione e che debba piuttosto essere "\(U(\boldsymbol r) \in (-h_0-\eta,-h_0) \Rightarrow\)..." però mi rimane da capire, dopo 4 giorni di scervellamento, da dove venga \(||\boldsymbol r-\boldsymbol r_0||<\epsilon\)...
Grazie di cuore ancora a chi potrà intervenire!!!

[sonoqui_1]

Combinando la definizione di continuità per la funzione potenziale (continua anche all'inverso dove invertibile) e il fatto che in $r_0$ ci sia un minimo relativo deve venire fuori quella disuguaglianza.

[DavideGenova1]

$+oo$ grazie!!! Mi hai salvato dall'emicrania! In effetti non ci avevo pensato perché il mio testo non tratta (almeno fino a questo punto) di invertibilità nel caso di variabili vettoriali... Però, dato che \(\boldsymbol r_0\) è un minimo stretto, mi è chiaro che \(-U(\boldsymbol r)\) è strettamente crescente in qualunque direzione \( \boldsymbol v\) in un intorno di \(\boldsymbol r_0\) e quindi la funzione di una variabile (con $t \geq 0$) \(E_{pot}(t)=-U(t\boldsymbol v + \boldsymbol r_0)\) è invertibile su ogni segmento con un estremo in \(\boldsymbol r_0\) contenuto in tale intorno, li quale segmento è di lunghezza \(||\boldsymbol r-\boldsymbol r_0||=|t|||\boldsymbol v|| \rightarrow 0\) per \(-U (\boldsymbol r) \rightarrow -U(\boldsymbol r_0)\), direi...
Grazie ancora!!!!

[sonoqui_1]

In effetti quello che ho scritto è valido solo in una variabile, andrebbe esteso a più variabili. Per esempio prendendo una generica curva passante per $r_0$ e fissando una variabile che identifica la posizione lungo questa curva si dovrebbe risolvere.

[DavideGenova1]

Grazie di nuovo!!! Ah, quindi mi pare che si possa prendere come curva passante per \(\boldsymbol r_0\) qualunque segmento \(\boldsymbol r_0+t \boldsymbol v\) con \(t \geq 0\) e con qualunque direzione \(\boldsymbol v\)... Essendo \(\boldsymbol r_0\) un minimo stretto, direi che esista, per ogni direzione \(\boldsymbol v\), un intorno di esso in cui \(E_{pot}=-U(\boldsymbol r_0+t \boldsymbol v)\) è strettamente monotona e quindi invertibile, da cui mi sembra che possa discendere la tesi come ho scritto prima...
Grazie di cuore!

[sonoqui_1]

La metterei in questi termini.
Essendo presente un minimo relativo, si può trovare un intorno di $r_0$ in cui il massimo dell'energia potenziale $-U(r)$ si trova sul contorno dell'intorno. L'energia cinetica assume valori positivi e il massimo dell'energia potenziale, a parità di energia meccanica si ha nei punti percorsi dalla massa nel generico moto in cui l'energia cinetica è nulla, se ci sono.
Riferendosi allo stesso intorno, scelto in maniera che si abbia anche su tutti i punti del contorno lo stesso valore di energia potenziale, si può trovare la distanza massima di un punto di questi da $r_0$, che non viene superata per alcuni valori dell'energia cinetica iniziale, sotto una certa soglia.

[DavideGenova1]

Grazie di cuore ancora!

[sonoqui_1]

Si ma non è completo, la massa ad un certo istante può scomparire dall'intorno considerato e comparire altrove, magari in un altro punto in cui l'energia potenziale rientra entro i limiti $h_0

Cita

Segnala

[DavideGenova1]

Eh, eh, sì, ma queste eventualità non sono contemplate dall'esempio di meccanica classica.
Ciao e grazie ancora!!!