Stabilità equilibrio con forze non conservative.
Vi chiedo aiuto perchè non sono riuscito a trovare come risolvere questa questione e cioè:
Come si studia la stabilità, una volta trovate le posizioni di equilibrio ponendo soluzioni costanti nelle equazioni del moto di Lagrange, di un sistema meccanico a cui sono applicate ad esempio 2 forze, la forza peso e una forza elastica il cui centro è mobile su una retta quindi la sua ascissa è una funzione del tempo?
Non penso di poter applicare i teoremi di Dirichlet e Liapounov perchè questi si applicano a sistemi con forze conservative o a lavoro virtuale nullo come la forza di Coriolis, mentre qui ho una forza elastica con centro variabile nel tempo e che quindi non è nè conservativa , nè a lavoro virtuale nullo, nè completamente dissipativa.
Come si può fare? Non riesco a trovare nulla poichè tutti i libri trattano il caso di forze conservative o non conservative completamente dissipative (tipo resistenza viscosa).
Vi ringrazio anticipatamente anche perchè non so proprio come operare.
Ciao a tutti.
Come si studia la stabilità, una volta trovate le posizioni di equilibrio ponendo soluzioni costanti nelle equazioni del moto di Lagrange, di un sistema meccanico a cui sono applicate ad esempio 2 forze, la forza peso e una forza elastica il cui centro è mobile su una retta quindi la sua ascissa è una funzione del tempo?
Non penso di poter applicare i teoremi di Dirichlet e Liapounov perchè questi si applicano a sistemi con forze conservative o a lavoro virtuale nullo come la forza di Coriolis, mentre qui ho una forza elastica con centro variabile nel tempo e che quindi non è nè conservativa , nè a lavoro virtuale nullo, nè completamente dissipativa.
Come si può fare? Non riesco a trovare nulla poichè tutti i libri trattano il caso di forze conservative o non conservative completamente dissipative (tipo resistenza viscosa).
Vi ringrazio anticipatamente anche perchè non so proprio come operare.
Ciao a tutti.
Risposte
Potresti provare ad inserire nelle equazioni di lagrange un valorie della coordinata generalizzata di poco superiore al valore di equilibrio e zero al posto della velocità e vedere se riesci a determinare il segno dell'accelerazione. Ad esempio, per l'oscillatore armonico avresti
\(\displaystyle m\ddot x=-kx \)
La posizione di equilibrio è $x=0$. Se sostituisci $x=\epsilon >0$, ottieni $\ddot x=\frac{-k\epsilon}{m}<0$ il che significa che la forza agente sul sistema tende a farlo muovere nel verso opposto allo spostamento iniziale e quindi l'equilibrio è stabile. Viceversa, l'equilibrio sarebbe instabile.
Mi pare di ricordare che le equazioni di lagrange sono sempre scrivibili in forma normale (cioè le accelerazioni sono sempre esplicitabili) e quindi non ci dovrebbero essere problemi a determinare il segno delle accelerazioni.
\(\displaystyle m\ddot x=-kx \)
La posizione di equilibrio è $x=0$. Se sostituisci $x=\epsilon >0$, ottieni $\ddot x=\frac{-k\epsilon}{m}<0$ il che significa che la forza agente sul sistema tende a farlo muovere nel verso opposto allo spostamento iniziale e quindi l'equilibrio è stabile. Viceversa, l'equilibrio sarebbe instabile.
Mi pare di ricordare che le equazioni di lagrange sono sempre scrivibili in forma normale (cioè le accelerazioni sono sempre esplicitabili) e quindi non ci dovrebbero essere problemi a determinare il segno delle accelerazioni.
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