Stabilità degli equilibri di un pendolo doppio-Mecc Lagrangiana

[M.lle Palomar]

Salve a tutti, non riesco a capire come trattare gli equlibri di un pendolo doppio.
La lagrangiana è: $ L=1/2ml^2(2vartheta_1^2+vartheta_2^2+2cos(vartheta_1-vartheta_2)dot(vartheta_1)dot( vartheta_2))+mgl(2cosvartheta_1+cosvartheta_2) $

Dopo lo studio della matrice hessiana del potenziale calcolata negli equilibri, per il Teorema di Lagrange-Dirichlet arrivo a concludere che (0,0) è un equilibrio stabile.
Per gli altri equilibri? So trattare i casi in cui la lagrangiana non possiede termini lineari nelle velocità, ma qui l'energia cinetica ha un termine $ dot(vartheta_1)dot( vartheta_2) $ . Questo termine è quadratico? o no? Forse sta qui la mia incomprensione.

Grazie in anticipo!

[anonymous_0b37e9]

Per determinare la stabilità, è sufficiente studiare l'energia potenziale. Per quale motivo ti preoccupi dell'energia cinetica?

[M.lle Palomar]

Perchè ci sono due teoremi: Sotto hp di lagrangiana senza termini lineari nelle velocità e indipendente dal tempo. Se la Matrice hessiana del potenziale ha almeno un autovalore negativo, allora l'eq è instabile; l'altro (palamodov) sotto le stesse hp con l'aggiunta che la lagrangiana è reale analitica, se un punto critico del potenziale non è minimo allora è config di eq instabile.

Entrambi coinvolgono tutta la Lagrangiana e non solo il potenziale.

[anonymous_0b37e9]

Il termine $[dot(vartheta_1)dot( vartheta_2)]$ è senz'altro quadratico, come lo sarebbe $[xy]$ in un polinomio nelle medesime variabili.

[M.lle Palomar]

Okay, grazie