Spostamento elementare e infinitesimo

[NickInter]

Buongiorno.Sto studiando Meccanica Razionale e non riesco a capire la differenza concettuale tra spostamento infinitesimo ed elementare.. So che
sp. inf. $dP=sum (del P)/ (del x_i) dx_i + (del P)/(del t) dt $
sp. elem. $ dP= (dP)/(dt) dt$ per un Moto
ma formalmente qual è la differenza fra i due? Grazie!

[yoshiharu]

"NickInter":So che
sp. inf. $dP=sum (del P)/ (del x_i) dx_i + (del P)/(del t) dt $
sp. elem. $ dP= (dP)/(dt) dt$ per un Moto
ma formalmente qual è la differenza fra i due?

Premetto che non sono familiare con questa terminologia, ma mentre la prima espressione e' il differenziale totale della funzione $P(x_1,...,x_N,t)$ (cioe' la forma differenziale che ha come componenti le derivate parziali risp. alle varie variabili), la seconda espressione sembra indicare che il differenziale viene proiettato su una traiettoria del moto di una particella con legge oraria data da $\underline x$.
Se fissi un pochino meglio il contesto forse e' possibile dire di piu'.

[NickInter]

Si esatto, per quanto riguarda lo spostamento infinitesimo è inteso proprio come differenziale totale di quella funzione, per quanto riguarda il secondo che intendi per differenziale proiettato su una traiettoria del moto? L'argomento di studio è la Dinamica (introduzione). Anche se farò uso solamente di quello infinitesimo, volevo sapere la differenza fra i due

[yoshiharu]

"NickInter":Si esatto, per quanto riguarda lo spostamento infinitesimo è inteso proprio come differenziale totale di quella funzione, per quanto riguarda il secondo che intendi per differenziale proiettato su una traiettoria del moto?

Intendo che (praticamente) prendi il differenziale totale, e ne fai il "prodotto scalare" con il vettore tangente alla traiettoria, praticamente prendi la forma differenziale $dP$ e la applichi al vettore tangente alla traiettoria nel punto di interesse.
Puoi pensare a questa operazione come una proiezione sulla traiettoria.

[NickInter]

Mmm forse io ho capito male quello che vuoi dire, e in questo caso mi scuso... Però $(dP)/(dt) $ è la derivata di P rispento al tempo (non so scrivere P punto e l'ho scritto come rapporto di differenziali) e t in questo caso non è il versore tangente ma il tempo

[yoshiharu]

"NickInter":Mmm forse io ho capito male quello che vuoi dire, e in questo caso mi scuso... Però $(dP)/(dt) $ è la derivata di P rispento al tempo (non so scrivere P punto e l'ho scritto come rapporto di differenziali) e t in questo caso non è il versore tangente ma il tempo

Guarda, faccio prima a scriverlo in formule.
Il vettore tangente alla traiettoria e'
[tex]\underline v = (\dot {\underline x},1)[/tex]
(l'ho esteso includendo anche il tempo) mentre la forma di cui parlo e'
[tex]dP = \sum_i \frac{\partial P(\underline x,t) }{\partial x_i} dx_i + \frac{\partial P(\underline x,t)}{\partial t} dt[/tex]

Il "prodotto scalare" e' quello che si ottiene applicando la forma differenziale al vettore, quindi
[tex]dP(\underline v) = \sum_i \frac{\partial P}{\partial x_i} \frac{d x_i}{dt} + \frac{\partial P}{\partial t}[/tex]
praticamente e' quello che si ottiene dalla derivata "a catena" (chain rule) di $P$ rispetto al tempo lungo la traiettoria.
Geometricamente e' come se tu facessi la proiezione della forma differenziale $dP$ sulla traiettoria (cioe' sullo spazio tangente alla traiettoria punto per punto).