Spire in movimento
Una spira di raggio r1, percorsa da una corrente di intensità i1 è fissa nel piano xy col centro
nell’origine degli assi. Una seconda spira, di raggio r2 e resistenza R, si avvicina alla prima
mantenendosi costantemente parallela ad essa: il centro della spira in moto si sposta lungo l'asse z con
modulo della velocità v. Il raggio r2 è piccolo rispetto a r1 cosicché in tutti i punti della spira in moto
la componente del campo magnetico secondo l'asse z può considerarsi praticamente costante.
a) Si determini l'intensità della corrente i2 che circola nella spira in moto, in funzione della
coordinata z del suo centro.
b) Si calcoli la forza magnetica risentita dalla spira e la forza meccanica che si deve applicare per
fare muovere la spira nel modo specificato.
c) Si verifichi che il lavoro meccanico speso tra due istanti qualsiasi si ritrova completamente in
effetto Joule.
il punto a) l'ho svolto applicando la legge di faraday (essendo il campo magnetico sull'asse z $ B=(mu_0i_1r_1^2)/(2(r_1^2+z^2)^(3/2)) $ ) : $ f.e.m=-A(dB)/(dt)=-Av(dB)/(dz)=3/2(Avmu_0i_1r_1^2z)/(r_1^2+z^2)^(5/2) $ e quindi $ i_2=(f.e.m.)/R $
Per il punto b) ho dei dubbi, cioè la forza risultante agente sulla spira 2 è nulla per la simmetria della spira stessa, quindi per far muovere la spira non si deve applicare nessuna forza meccanica, ma allora come faccio a dimostrare ciò che mi viene chiesto al punto c)?
nell’origine degli assi. Una seconda spira, di raggio r2 e resistenza R, si avvicina alla prima
mantenendosi costantemente parallela ad essa: il centro della spira in moto si sposta lungo l'asse z con
modulo della velocità v. Il raggio r2 è piccolo rispetto a r1 cosicché in tutti i punti della spira in moto
la componente del campo magnetico secondo l'asse z può considerarsi praticamente costante.
a) Si determini l'intensità della corrente i2 che circola nella spira in moto, in funzione della
coordinata z del suo centro.
b) Si calcoli la forza magnetica risentita dalla spira e la forza meccanica che si deve applicare per
fare muovere la spira nel modo specificato.
c) Si verifichi che il lavoro meccanico speso tra due istanti qualsiasi si ritrova completamente in
effetto Joule.
il punto a) l'ho svolto applicando la legge di faraday (essendo il campo magnetico sull'asse z $ B=(mu_0i_1r_1^2)/(2(r_1^2+z^2)^(3/2)) $ ) : $ f.e.m=-A(dB)/(dt)=-Av(dB)/(dz)=3/2(Avmu_0i_1r_1^2z)/(r_1^2+z^2)^(5/2) $ e quindi $ i_2=(f.e.m.)/R $
Per il punto b) ho dei dubbi, cioè la forza risultante agente sulla spira 2 è nulla per la simmetria della spira stessa, quindi per far muovere la spira non si deve applicare nessuna forza meccanica, ma allora come faccio a dimostrare ciò che mi viene chiesto al punto c)?
Risposte
"Silvere":
...Per il punto b) ho dei dubbi, cioè la forza risultante agente sulla spira 2 è nulla per la simmetria della spira stessa,
Direi che ti stai sbagliando, mi sa che un dipolo magnetico (la spira di raggio r2) immerso in un campo magnetico non uniforme come quello, viene a essere sottoposto ad una qualche forza, non credi?
"RenzoDF":
...campo magnetico non uniforme...
Ma se il testo del problema dice:
"Problema":
Il raggio r2 è piccolo rispetto a r1 cosicché in tutti i punti della spira in moto
la componente del campo magnetico secondo l'asse z può considerarsi praticamente costante.
Non significa che il campo magnetico è uniforme?
"Silvere":
... Non significa che il campo magnetico è uniforme?
No, significa che è "quasi uniforme"; se fosse uniforme (lungo z) non ci sarebbe forza elettromotrice per uno spostamento dz lungo z, come quello che hai usato per determinarla.
La forza la posso calcolare come la derivata lungo z dell'energia potenziale del momento dipolare magnetico relativo alla spira 2? cioè: $ F=-(dU)/(dz)=-(d(-mu_2B_1))/(dz)=mu_2(dB_1)/dz=-3/2(i_2pir_2^2mu_0i_1r_1^2z)/(r_1^2+z^2)^(5/2) $
Proprio così, anche se ti sei perso per strada $\mu_2$ o anche [nota]In questo caso sarà meglio usare la lettera m per il momento magnetico[/nota],
$\vec F = \nabla (\vec m_2 \cdot \vec B_1)$
e a questo punto ti dovrebbe essere facile rispondere anche al punto c).
$\vec F = \nabla (\vec m_2 \cdot \vec B_1)$
e a questo punto ti dovrebbe essere facile rispondere anche al punto c).
Si infatti ora tutto torna, grazie Renzo
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