Spira quadrata in campo magnetico
Buongiorno, sto avendo difficoltà con un esercizio tratto da un appello vecchio di cui non ho le soluzioni...
Riporto il testo dell'esercizio:
Si ha una spira quadrata di lato L sul piano xy costituita di ottimo conduttore. Una sbarretta omogenea anch'essa conduttrice di massa M e lunghezza 2L con il centro vincolato al centro del quadrato e complanare al quadrato stesso, sta strisciando con 2 suoi punti sulla spira ruotando intorno a z.
C'è un campo magnetico statico B perpendicolare al piano della spira diretto lungo z. Il centro della sbarretta e del quadrato sono connessi da una resistenza R.
a) Scrivere l'accelerazione angolare della sbarretta
b) Calcolare la potenza dissipata su R in funzione dell'angolo $ vartheta (t) $ che la sbarretta forma con un asse del quadrato e della derivata temporale di tale angolo $ Omega (t)=(dvartheta )/dt $
Più che del semplice risultato vorrei capire come ragionare in questi casi, grazie
Riporto il testo dell'esercizio:
Si ha una spira quadrata di lato L sul piano xy costituita di ottimo conduttore. Una sbarretta omogenea anch'essa conduttrice di massa M e lunghezza 2L con il centro vincolato al centro del quadrato e complanare al quadrato stesso, sta strisciando con 2 suoi punti sulla spira ruotando intorno a z.
C'è un campo magnetico statico B perpendicolare al piano della spira diretto lungo z. Il centro della sbarretta e del quadrato sono connessi da una resistenza R.
a) Scrivere l'accelerazione angolare della sbarretta
b) Calcolare la potenza dissipata su R in funzione dell'angolo $ vartheta (t) $ che la sbarretta forma con un asse del quadrato e della derivata temporale di tale angolo $ Omega (t)=(dvartheta )/dt $
Più che del semplice risultato vorrei capire come ragionare in questi casi, grazie
Risposte
"Alis22":
... Non riesco a capire come faccia a venire quel circuito equivalente
Provo a ridisegnartelo in un altro modo, più vicino alla geometria originale
[fcd="fig.2"][FIDOCAD]
FJC C 0.5
FJC A 0.2
FJC B 0.2
TY 39 37 4 3 0 0 0 * ε
TY 58 22 4 3 0 0 0 * ε
EV 42 39 51 48 0
EV 60 26 69 35 0
TY 38 43 4 3 0 0 0 * +
TY 67 22 4 3 0 0 0 * +
LI 33 37 76 37 0
FCJ 0 0 3 2 1 0
LI 56 15 56 58 0
FCJ 0 0 3 2 1 0
TY 52 31 4 3 0 0 0 * O
SA 56 37 0
SA 73 25 0
LI 60 42 59 44 0
LI 59 44 63 42 0
LI 63 42 61 46 0
LI 61 46 65 44 0
LI 65 44 63 48 0
LI 63 48 67 46 0
LI 67 46 65 50 0
LI 65 50 68 49 0
LI 68 49 73 54 0
LI 60 42 56 37 0
TY 66 39 4 3 0 0 0 * R
SA 38 50 0
LI 35 52 77 22 2
TY 74 23 4 3 0 0 11 * A
RV 38 20 73 54 11
TY 33 24 4 3 0 0 11 * A
TY 44 54 4 3 0 0 11 * A
TY 73 53 4 3 0 0 11 * A[/fcd]
nel quale ho cercato di evidenziare il fatto che il punto di contatto fra barra e spira, da te chiamato in precedenza A, dal punto di vista elettrico presenta un potenziale uguale a quello di tutti i punti della spira quadrata [nota]Ed è per questa ragione che ho potuto collegare il morsetto destro del resistore ad un diverso punto della spira.[/nota] e da questa considerazione discende il circuito equivalente.
NB La fem $\epsilon$ dei generatori è solo quella relativa ai tratti di barra interni, che vanno dal centro O alla spira, i tratti esterni della barra pur essendo sede di fem indotte sono ininfluenti per la corrente circolante nel circuito, di conseguenza la lunghezza utile non sarà $L$ ma bensì \( L/(2\cos \theta)\).
E fin qui mi è tutto chiaro, partendo da quest ultimo disegno mi sono ricondotta al precedente (il primo che mi avevi fatto).
Da qui, dalla legge di Ohm $ varepsilon=R*I $ posso determinare I ricordando che $ varepsilon=Blv $ e $ l=L/(2costheta) $ .
I generatori di fem sono 2 perchè riferiti a 2 tratti di sbarretta? Come vado avanti?
Da qui, dalla legge di Ohm $ varepsilon=R*I $ posso determinare I ricordando che $ varepsilon=Blv $ e $ l=L/(2costheta) $ .
I generatori di fem sono 2 perchè riferiti a 2 tratti di sbarretta? Come vado avanti?
"Alis22":
E fin qui mi è tutto chiaro, partendo da quest ultimo disegno mi sono ricondotta al precedente (il primo che mi avevi fatto).
Da qui, dalla legge di Ohm $ varepsilon=R*I $ posso determinare I ricordando che $ varepsilon=Blv $ e $ l=L/(2costheta) $ .
Stai dimenticando che, come ti dicevo, la relazione per la fem deve essere "riadattata", in quanto la velocità non è la stessa per tutti i punti della semi-barra, ma è proporzionale alla distanza dal centro O.
"Alis22":
I generatori di fem sono 2 perchè riferiti a 2 tratti di sbarretta?
Sì.
"Alis22":
...Come vado avanti?
Vai avanti determinando la corrente erogata dai generatori in funzione di $\theta$ e $\Omega$ e da questa la forza sulle semi-sbarre e la potenza dissipata nel resistore.
"RenzoDF":
Stai dimenticando che, come ti dicevo, la relazione per la fem deve essere "riadattata", in quanto la velocità non è la stessa per tutti i punti della semi-barra, ma è proporzionale alla distanza dal centro O.
Posso scrivere v come $ v=(dvartheta) /dt $ e quindi mi ricavo $ varepsilon=B*L/(2cosvartheta)*(dvartheta)/dt $ .
A questo punto dalla legge di Ohm mi ricavo la corrente I e poi la forza alla quale è soggetta la sbarretta, $ F=I*l*B $ .
Conoscendo questa forza e il braccio, mi calcolo il momento $ tau $ e poi dall'equazione di moto per la sbarretta $tau=I*(d^2vartheta)/(d^2t) $ (con I momento di inerzia della sbarretta) determino $ alpha $ .
La potenza dissipata sul resistore me la calcolo come $ P=varepsilon^2*R $ .
"Alis22":
... Posso scrivere v come $ v=(dvartheta) /dt $ ... .
Scusa ma se spari relazioni di questo tipo, abbandono il dialogo.
Mi sono accorta di aver scritto una cosa errata ma non so come riadattarla...
Sto cercando di ragionarci su ma qualcosa mi sfugge...
Sto cercando di ragionarci su ma qualcosa mi sfugge...
Scusa ma penso tu sappia scrivere la velocità di un generico punto della barra in rotazione, alla generica distanza $r$ dall'origine, no?
... che sia forse $v(r)=\Omega\ r$
Di conseguenza, per ottenere $\epsilon$, dovresti andare a considerare la fem infinitesima $\text{d}\epsilon$ indotta in ogni tratto infinitesimo $\text{d}r$ di quella barra, via
$\text{d}\epsilon=B \ v(r) \ \text{d}r =B\ \Omega\ r \ \text{d}r$
ed andare ad integrare per $r$ che va da $0$ a $l$ ma, grazie alla dipendenza lineare da $r$, puoi evitare l'integrale ed andare a considerare solo la velocità media \(v_m=v(l/2)\), ovvero scrivere
$\epsilon=B \ l \ v_m=B \ l \ \Omega \ l/2$,
nella quale, come già sappiamo, $l$ è funzione di $\theta$.
... che sia forse $v(r)=\Omega\ r$
Di conseguenza, per ottenere $\epsilon$, dovresti andare a considerare la fem infinitesima $\text{d}\epsilon$ indotta in ogni tratto infinitesimo $\text{d}r$ di quella barra, via
$\text{d}\epsilon=B \ v(r) \ \text{d}r =B\ \Omega\ r \ \text{d}r$
ed andare ad integrare per $r$ che va da $0$ a $l$ ma, grazie alla dipendenza lineare da $r$, puoi evitare l'integrale ed andare a considerare solo la velocità media \(v_m=v(l/2)\), ovvero scrivere
$\epsilon=B \ l \ v_m=B \ l \ \Omega \ l/2$,
nella quale, come già sappiamo, $l$ è funzione di $\theta$.
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