Spira in movimento e campo magnetico di un filo
Ciao a tutti e buon anno! Oggi propongo un altro esercizio di fisica 2:
Si ha un filo indefinito percorso da corrente costante $i_0=1.67 A$ e una spira quadrata di lato $l=0.104 m$, con resistenza $R=2.59 \Omega$. La spira è posta complanare al filo e ha due lati paralleli ad esso, quello più vicino a distanza $a=0.108 m$. All'istante $t=0$ la spira viene messa in movimento con velocità costante di modulo $v_0=18.7 m/s$ che forma un angolo $\phi=\pi/6$ con il filo. Trovare l'intensità di corrente che scorre sulla spira in funzione del tempo e calcolarne in valore quando il lato più vicino si trova alla distanza $d=2a$.
Purtroppo non ho la figura, ma per esercizio supponiamo che il filo sia steso orizzontale sull'asse $x$ e sopra di lui, a distanza $a$ si trovi la spira con il vettore superficie $d\vec{S}$ che esce dal foglio/schermo. Quindi la velocità avrà componenti $v_y=v_0sin(\phi)$ e $v_x=v_0cos(\phi)$ se non vado errato.
Tentativo:
Ci interessa soltanto la componente $y$ della velocità. Calcolo il flusso del campo magnetico sapendo che:
$y(t)=a+v_yt$ e $dy=v_ydt$. Quindi, con $\dvec{S}=ldy\hat{k}=lv_ydt\hat{k}$:
\[ \Phi(B)= \frac{\mu_0i_0}{2\pi}\int_S{\frac{1}{y(t)}\cdot dS (\hat{k}\cdot\hat{k})} =\frac{\mu_0i_0}{2\pi} \cdot \int_0^t{\frac{1}{(a+v_yt')}\cdot l v_ydt'} \]
Allora avremo \[RI_{spira}=-\frac{d}{dt}(\Phi(B))=\frac{\mu_0i_0}{2\pi} \cdot{\frac{1}{(a+v_yt)}\cdot l v_y} \]
E si ricava $I(t)$ dividendo per la resistenza ambo i lati. Tuttavia questo procedimento non mi dà i risultati giusti. Dove sto sbagliando?
Grazie per aver letto! ^^
Si ha un filo indefinito percorso da corrente costante $i_0=1.67 A$ e una spira quadrata di lato $l=0.104 m$, con resistenza $R=2.59 \Omega$. La spira è posta complanare al filo e ha due lati paralleli ad esso, quello più vicino a distanza $a=0.108 m$. All'istante $t=0$ la spira viene messa in movimento con velocità costante di modulo $v_0=18.7 m/s$ che forma un angolo $\phi=\pi/6$ con il filo. Trovare l'intensità di corrente che scorre sulla spira in funzione del tempo e calcolarne in valore quando il lato più vicino si trova alla distanza $d=2a$.
Purtroppo non ho la figura, ma per esercizio supponiamo che il filo sia steso orizzontale sull'asse $x$ e sopra di lui, a distanza $a$ si trovi la spira con il vettore superficie $d\vec{S}$ che esce dal foglio/schermo. Quindi la velocità avrà componenti $v_y=v_0sin(\phi)$ e $v_x=v_0cos(\phi)$ se non vado errato.
Tentativo:
Ci interessa soltanto la componente $y$ della velocità. Calcolo il flusso del campo magnetico sapendo che:
$y(t)=a+v_yt$ e $dy=v_ydt$. Quindi, con $\dvec{S}=ldy\hat{k}=lv_ydt\hat{k}$:
\[ \Phi(B)= \frac{\mu_0i_0}{2\pi}\int_S{\frac{1}{y(t)}\cdot dS (\hat{k}\cdot\hat{k})} =\frac{\mu_0i_0}{2\pi} \cdot \int_0^t{\frac{1}{(a+v_yt')}\cdot l v_ydt'} \]
Allora avremo \[RI_{spira}=-\frac{d}{dt}(\Phi(B))=\frac{\mu_0i_0}{2\pi} \cdot{\frac{1}{(a+v_yt)}\cdot l v_y} \]
E si ricava $I(t)$ dividendo per la resistenza ambo i lati. Tuttavia questo procedimento non mi dà i risultati giusti. Dove sto sbagliando?
Grazie per aver letto! ^^
Risposte
Il primo integrale è integrando nello spazio
$Phi(B)=mu_0i_0/(2 pi) int_y^(y+l) 1/s l*ds =mu_0 l i_0/(2 pi) ln(1+l/y)$
Quindi derivando nel tempo
$epsilon=-mu_0 l i_0/(2 pi) (-l/(y(l+y))*v)=(mu_0 l^2 i_0*v)/(2 pi y(l+y))$
Prova a controllare se così torna
$Phi(B)=mu_0i_0/(2 pi) int_y^(y+l) 1/s l*ds =mu_0 l i_0/(2 pi) ln(1+l/y)$
Quindi derivando nel tempo
$epsilon=-mu_0 l i_0/(2 pi) (-l/(y(l+y))*v)=(mu_0 l^2 i_0*v)/(2 pi y(l+y))$
Prova a controllare se così torna
Così torna! Grazie milleee :] Nel primo integrale è stato scritto, nella fretta, $s$ al posto di $y$ o sbaglio?
No, l'ho fatto apposta. Ho preferito evitare di utilizzare la stessa variabile che compare negli estremi di integrazione anche nell'integranda.
ahh okey, perché mi stavo confondendo con $s$ di superficie 
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