Spira in campo magnetico
Perchè per una spira rettangolare percorsa da corrente immersa in un campo magnetico si definisce un'energia potenziale anche si il campo è non conservativo?
Risposte
"TS778LB":
... si definisce un'energia potenziale anche si il campo è non conservativo?
Che il campo non sia conservativo non impedisce di definire una energia potenziale di interazione fra una spira percorsa da corrente e un campo magnetico.
L'energia potenziale non si definisce solo in campo conservativi?
Non vedo perché.
Premesso che il campo magnetico non è un campo di forza, ovvero che la forza $\mathbf {F}$ sulla spira non è proporzionale al campo, definendo l'energia potenziale magnetica come
$U=\int_{0}^{\infty} \mathbf {F} \cdot \mathbf {ds } $
ovvero assumendo (convenzionalmente), in analogia al caso elettrico, che il suo valore sia nullo a distanza infinita, non vedo nessuna necessità della conservatività del campo.
Premesso che il campo magnetico non è un campo di forza, ovvero che la forza $\mathbf {F}$ sulla spira non è proporzionale al campo, definendo l'energia potenziale magnetica come
$U=\int_{0}^{\infty} \mathbf {F} \cdot \mathbf {ds } $
ovvero assumendo (convenzionalmente), in analogia al caso elettrico, che il suo valore sia nullo a distanza infinita, non vedo nessuna necessità della conservatività del campo.
Questa scrittura non implica che il lavoro della forza magnetica sia indipendente dalla traiettoria e dipendente solo dalla posizione iniziale e finale? E quindi conservatività?
Forse la definizione di conservatività basata sul concetto di lavoro è applicabile ai soli campi di forza. Per un generico campo vettoriale la conservatività richiede solo la possibilità di esprimere il campo come meno il gradiente di una funzione scalare e questo per il campo magnetico non è possibile per la legge di Ampere. Quello che non capisco è come si faccia a definire un'energia potenziale il cui gradiente col segno cambiato sia uguale alla forza magnetica agente sulla spira. Quale condizione deve verificare una forza per essere esprimibile come meno gradiente di una funzione?
Il formalismo matematico necessario per trattare i campo magnetici è al di là delle mie forze.
Ma certamente una spira percorsa da corrente immersa in un campo magnetico si comporta come se fosse imperniata su un asse nel piano della spira e perpendicolare al campo magnetico, e come se ci fosse una molla che tende a portare il piano della spira perpendicolare al campo.
Per allontanarla da questa posizione, devi compiere un lavoro. Se la lasci tornare indietro, questo lavoro viene restituito. Non ci sono perdite. Puoi parlare di energia potenziale come del lavoro immagazzinato in una posizione che non sia quella di equilibrio.
Ma certamente una spira percorsa da corrente immersa in un campo magnetico si comporta come se fosse imperniata su un asse nel piano della spira e perpendicolare al campo magnetico, e come se ci fosse una molla che tende a portare il piano della spira perpendicolare al campo.
Per allontanarla da questa posizione, devi compiere un lavoro. Se la lasci tornare indietro, questo lavoro viene restituito. Non ci sono perdite. Puoi parlare di energia potenziale come del lavoro immagazzinato in una posizione che non sia quella di equilibrio.
Per quel che ricordo, detto spannometricamente, per calcolare quel lavoro (indicato nel mio precedente messaggio), ipotizzando una corrente I costante nella spira, si va a integrare il lavoro elementare relativo allo spostamento infinitesimo ds di un tratto infinitesimo dl della spira, ovvero
$I(d\mathbf{\mathbf{l}} \times \mathbf{B})\cdot d\mathbf{s}=I\mathbf{B}\cdot (d\mathbf{s}\times d\mathbf{l})$
che, integrato lungo la curva chiusa della spira porta ad un lavoro
$dW=Id\Phi(B)$
ne segue che, spostando la spira da una posizione spaziale (non punto, ovviamente) iniziale ad una finale, avremo che il lavoro complessivo sarà
$W= I (\Phi_f \(B)-\Phi_i(B))$
che, rendendolo indipendente dal percorso fra le due posizioni, ci permette di definire una funzione "energia potenziale magnetica" come lavoro compiuto dalle forze del campo nel portare la spira da un punto iniziale O a un punto a distanza infinita dalle sorgenti del campo, caratterizzato da flusso nullo concatenato con la spira $\Phi_f(B)=0$, ovvero
$U=-I\Phi_i(B)$
energia che, per una spira che venga a trovarsi in una zona nella quale il campo possa essere ritenuto uniforme, può essere convenientemente riscritta via momento di dipolo magnetico
$U= - \mathbf{\mu} \cdot \mathbf{B}$
e in questo caso: una posizione a flusso nullo sarà anche quella con campo ortogonale al momento di dipolo, la forza totale sulla spira sarà (ovviamente) nulla, l'energia potenziale magnetica sarà minima per momento parallelo al campo e massima per momento in opposizione al campo, esisterà un momento meccanico sulla stessa che la forzerà ad allineare il suo momento di dipolo al campo (posizione a energia minima),
$\tau=-\frac{\partial U}{\partial \theta}$
ovvero
$\mathbf{\tau}=\mathbf{\mu}\times \mathbf{B}$
$I(d\mathbf{\mathbf{l}} \times \mathbf{B})\cdot d\mathbf{s}=I\mathbf{B}\cdot (d\mathbf{s}\times d\mathbf{l})$
che, integrato lungo la curva chiusa della spira porta ad un lavoro
$dW=Id\Phi(B)$
ne segue che, spostando la spira da una posizione spaziale (non punto, ovviamente) iniziale ad una finale, avremo che il lavoro complessivo sarà
$W= I (\Phi_f \(B)-\Phi_i(B))$
che, rendendolo indipendente dal percorso fra le due posizioni, ci permette di definire una funzione "energia potenziale magnetica" come lavoro compiuto dalle forze del campo nel portare la spira da un punto iniziale O a un punto a distanza infinita dalle sorgenti del campo, caratterizzato da flusso nullo concatenato con la spira $\Phi_f(B)=0$, ovvero
$U=-I\Phi_i(B)$
energia che, per una spira che venga a trovarsi in una zona nella quale il campo possa essere ritenuto uniforme, può essere convenientemente riscritta via momento di dipolo magnetico
$U= - \mathbf{\mu} \cdot \mathbf{B}$
e in questo caso: una posizione a flusso nullo sarà anche quella con campo ortogonale al momento di dipolo, la forza totale sulla spira sarà (ovviamente) nulla, l'energia potenziale magnetica sarà minima per momento parallelo al campo e massima per momento in opposizione al campo, esisterà un momento meccanico sulla stessa che la forzerà ad allineare il suo momento di dipolo al campo (posizione a energia minima),
$\tau=-\frac{\partial U}{\partial \theta}$
ovvero
$\mathbf{\tau}=\mathbf{\mu}\times \mathbf{B}$
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