Spira di rame con campo magnetico generato da filo infinito
Salve raga, ho un dubbio su questo esercizio: "Una sbarra conduttrice si appoggia a due rotaie conduttrici distanziate $l=30cm$,. La sbarra viene fatta muovere con velocità costante $v_0$ rimanendo perpendicolare alle due rotaie. Il sistema è immerso nel campo magnetico generato da un filo infinito percorso da corrente $I=45A $ che giace nello stesso piano delle rotaie e della sbarra.
Nell'istante iniziale la sbarra è a distanza $d=0,2m$ dal filo (coincidente con l'inizio della rete).
a. Se la FEM misurata nel circuito, quando la sbarra si trova nella posizione $x_1=0,5m $ dal filo è pari al $0,002V$, determinare la velocità iniziale della sbarra.
b. Se la sbarra è costituita da filo di rame di raggio $r=1mm$ e la resistenza delle rotaie è trascurabile, calcolare il modulo della forza che agisce sulla sbarra nella posizione $x_1$
Dati: $\rho_{cu}=17⋅10^{−9} \Omegam$, $\mu_0=4\pi*10^{−7}$"
L'unico mio dubbio è che non ho determinato il flusso tramite l''integrale $\intBds$ ma ho determinato il flusso infinitesimo
$d\phi=\frac{\mu_0IL}{2\pix(t)}dx$ da cui
$\epsilon(t)=\frac{d\phi}{dt}=\frac{\mu_0IL}{2\pix(t)}\frac{dx}{dt}$ con $\frac{dx}{dt}=v_0$
Dopodiché sapendo che $x(t_0)=x_1=d+v_0t_0 \Rightarrow t_0=\frac{x_1−d}{v_0}$ allora:
$\epsilon=v_0\frac{\mu_0IL}{2\pix(t)} \Rightarrow \epsilon=v_0\frac{\mu_0IL}{2\pi(d+vo*\frac{x_1-d}{v_0}}$
Quindi $v_0=\frac{\epsilon2\pix_1}{\mu_0IL}=370,37m/s$
Il secondo punto ho determinato la resistenza in questo modo:
R=\rho\frac{a}{S} con $a=2l+2(x_1−d)$
$i=\epsilonR$
$F=i*l*\frac{\mu_0I}{2\pix_1}$ con la corrente $i$ in senso orario dato che il flusso diminuisce nel tempo
Cosa ne pensate? Soprattutto per il "bypass" dell'integrale?
Nell'istante iniziale la sbarra è a distanza $d=0,2m$ dal filo (coincidente con l'inizio della rete).
a. Se la FEM misurata nel circuito, quando la sbarra si trova nella posizione $x_1=0,5m $ dal filo è pari al $0,002V$, determinare la velocità iniziale della sbarra.
b. Se la sbarra è costituita da filo di rame di raggio $r=1mm$ e la resistenza delle rotaie è trascurabile, calcolare il modulo della forza che agisce sulla sbarra nella posizione $x_1$
Dati: $\rho_{cu}=17⋅10^{−9} \Omegam$, $\mu_0=4\pi*10^{−7}$"
L'unico mio dubbio è che non ho determinato il flusso tramite l''integrale $\intBds$ ma ho determinato il flusso infinitesimo
$d\phi=\frac{\mu_0IL}{2\pix(t)}dx$ da cui
$\epsilon(t)=\frac{d\phi}{dt}=\frac{\mu_0IL}{2\pix(t)}\frac{dx}{dt}$ con $\frac{dx}{dt}=v_0$
Dopodiché sapendo che $x(t_0)=x_1=d+v_0t_0 \Rightarrow t_0=\frac{x_1−d}{v_0}$ allora:
$\epsilon=v_0\frac{\mu_0IL}{2\pix(t)} \Rightarrow \epsilon=v_0\frac{\mu_0IL}{2\pi(d+vo*\frac{x_1-d}{v_0}}$
Quindi $v_0=\frac{\epsilon2\pix_1}{\mu_0IL}=370,37m/s$
Il secondo punto ho determinato la resistenza in questo modo:
R=\rho\frac{a}{S} con $a=2l+2(x_1−d)$
$i=\epsilonR$
$F=i*l*\frac{\mu_0I}{2\pix_1}$ con la corrente $i$ in senso orario dato che il flusso diminuisce nel tempo
Cosa ne pensate? Soprattutto per il "bypass" dell'integrale?
Risposte
Il calcolo della fem è corretto, perché se
$Phi = int_0^x (d Phi)/(d xi) * d xi$
allora vale (prescindendo dal segno)
$epsilon(t) = (dPhi)/dt = (dPhi)/dx * dx/dt$
che poi alla fine è quello che hai scritto. Non mi sono messo a verificare i restanti conti della domanda a.
Invece ho qualche osservazione sulla domanda b.
1) Intanto la resistenza del circuito prescinde dalle rotaie che sono dichiarate di resistenza trascurabile. Quindi a = 2l o più probabilmente a =l perchè la chiusura delle rotaie sarà dello stesso materiale delle rotaie
2) Risulta $i=epsilon/R$ invece di $i= epsilon*R$
$Phi = int_0^x (d Phi)/(d xi) * d xi$
allora vale (prescindendo dal segno)
$epsilon(t) = (dPhi)/dt = (dPhi)/dx * dx/dt$
che poi alla fine è quello che hai scritto. Non mi sono messo a verificare i restanti conti della domanda a.
Invece ho qualche osservazione sulla domanda b.
1) Intanto la resistenza del circuito prescinde dalle rotaie che sono dichiarate di resistenza trascurabile. Quindi a = 2l o più probabilmente a =l perchè la chiusura delle rotaie sarà dello stesso materiale delle rotaie
2) Risulta $i=epsilon/R$ invece di $i= epsilon*R$
"Manovalanza":
... con la corrente $i$ in senso orario dato che il flusso diminuisce nel tempo ...
Il flusso, scelto con verso entrante, concatenato con il circuito, aumenta nel tempo, di conseguenza la corrente, così come la fem, scelte con verso orario, saranno entrambe negative, mentre la resistenza da considerare sarà ovviamente quella della sola "barra".
Per evitare l’antiestetica spaziatura causata dall'uso della virgola come separatore, basta racchiuderla fra virgolette (dritte).
$3","14$
$3","14$
BTW Per le unità di misura si dovrebbe usare il carattere “dritto” e leggermente spaziato
$0","5\ \text{m}$
Perfetto, ho fatto un po' di errori di distrazione 
... Grazie mille ad entrambi, alla fine però penso di esserci come ragionamento su questi esercizi! 
... Grazie mille ad entrambi, alla fine però penso di esserci come ragionamento su questi esercizi!
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