Spira conduttrice entrante in un campo magnetico

[carmecut99]

Ho un dubbio. In quest'esercizio abbiamo un campo magnetico entrate nel piano del foglio, quindi usando la regola della mano destra otteniamo un verso della corrente antiorario, giusto? Perchè abbiamo il campo entrante e la forza magnetica che si oppone, quindi punta verso sinistra.

Però se consideriamo che il campo aumenta man mano che la spira entra nella zona, abbiamo un derivata del flusso maggiore di zero, quindi si viene a creare un'altro campo B' che si oppone all'aumento, e per fare questo la corrente deve circolare in senso orario, no?

[RenzoDF]

"Carmelo99":... e per fare questo la corrente deve circolare in senso orario, no?

No.

... per la famosa regola del cavatappi , la corrente deve circolare in senso antiorario per contrastare l'aumento del flusso concatenato con la spira stessa causato dal suo movimento verso destra.

[carmecut99]

Ok, allora ho scritto male gli appunti ahah

Per la risoluzione invece ho proseguito così:

Ho trovatil il flusso del campo in questo modo: $ int_(0)^(x) B (2b) dx =2Bbx $
Perchè se A=B^2 allora dA=2bdx

Ho trovato la forza elettromotrica: $ fem=-d/(dt)Phi (B)=-2Bb(dx)/(dt)=-2Bbv(t) $

Trovo la corrente: $ i=(|fem|)/R=(Bb)/Rv(t) $

Trovo la forza magnetica: $ F=-iBl=-iBb=-(B^2b^2)/Rv(t) $

Applico la legge della dinamica: $ -(B^2b^2)/Rv(t)=m(dv)/(dt) $

$ int_(0)^(t) -(B^2b^2)/R dt =int_(Vi)^(V) (m)1/(v) dv $
$ -(B^2b^2)/(mR) t =ln(v/(vi)) $ $ v(t)=vie^(-(B^2b^2)/(mR)t) $

Sostituisco t1 e trovo la velocità a t1. Fin qui dovrebbe essere corretto, giusto?

Per calcolare l'energia dissipata al tempo t1:

$ W=-Delta K=1/2m(Vi)^2-1/2m(Vt1)^2 $

Come faccio a trovre la velocità V2, ovvero la velocità nell'istante in cui la spira è tutta dentro alla zona con campo magnetico?

[carmecut99]

Mi viene da fare questo ragionamento. Se la forza elettromotrice è data dalla variazione del flusso, una volta che la spira è tutta dentro non c'è più forza elettromotrice e di conseguenza non circolerà corrente nella spira.

Questo mi porta a pensare che la velocità V2 sia nulla. È giusto il ragionamento?

[ingres]

"Carmelo99":Perchè se A=B^2 allora dA=2bdx

Se vedi il disegno hai un rettangolo di lati x e b per cui il flusso è Bbx.

Per fortuna (?) il 2 di troppo poi lo perdi e quindi il resto è corretto.

Quanto a v2, hai la velocità v(t) e quindi puoi calcolare x(t) e pertanto basterà imporre x(t2)=b, trovare t2 e quindi v2.

[carmecut99]

Ok, quindi:

$ x(t)=v0int_(0)^(t) e^(-(B^2b^2)/(mR)t) dt $

$ x(t)=v0(-(mR)/(B^2b^2)*e^-((b^2B^2)/(mR)t)) $ [da valutare da 0 a t]

$ x(t)=v0(-(mR)/(B^2b^2)*e^-((b^2B^2)/(mR)t)+(mR)/(B^2b^2))=0,2m $

Fin qui è giusto il calcolo?

[carmecut99]

Ho proseguito, ma probabilmete ho sbagliato:

$ -v0*(mR)/(B^2b^2)*e^(-(B^2 b^2)/(mR)t)=0,2-(mR)/(B^2 b^2) $

$ e^(-(B^2 b^2)/(mR)t)=(0,2-(mR)/(B^2 b^2))/(-v0*(mR)/(B^2b^2)) $

$ -(B^2 b^2)/(mR)t=ln((0,2-(mR)/(B^2 b^2))/(-v0*(mR)/(B^2b^2))) $

$ t2=(ln((0,2-(mR)/(B^2 b^2))/(-v0*(mR)/(B^2b^2))))/(-(B^2 b^2)/(mR)) $

Molto probabilmete mi sono perso nei calcoli...

[ingres]

Ti conviene semplificarti un poco la vita con la notazione. Poniamo

$tau= (mR)/(B^2b^2)$

Quindi

$x(t) = tau*v_0*(1-e^(-t/tau))$

$b=tau*v_0*(1-e^(-t_2/tau))$

$t_2=-tau*ln(1-b/(tau*v_0))$

[carmecut99]

Perfetto, grazie! Invece per trovare la carica ho usato la legge di Felici.

$ Q=(Delta Phi )/R=-(Bb^2)/R $