Spira circolare rotante in campo magnetico non uniforme

[spina3003]

Ciao a tutti, vorrei avere qualche conferma sull'impostazione di questo problema. Il ragionamento mi sembra giusto ma il risultato numerico non è corretto, quindi potrei aver sbagliato qualcosa.

In un sistema di riferimento cartesiano, una spira circolare di raggio $a$ si trova sul piano xy
con centro nell'origine. La spira isolante è caricata uniformemente con una densità di carica per unità di
lunghezza $lambda$ e ruota con velocità angolare costante $omega_z$ attorno all'asse z. La spira
è immersa in un campo magnetico non uniforme $vecB = B_z(x)veck$, diretto lungo l'asse z con $B_z(x) = B_0(1+ x/(2a))$, con $B_0$ = cost . Calcolare l'intensità della forza totale che agisce sulla spira.

I miei conti:

$dF = IdlB = I*a*dphi*B$

$I(t) = lambda d/dt(l(t)) = lambda*omega*a$

Riscrivo B in funzione di $phi$: $B_z = B_0 (1 + cos phi/2)$

$F = int_0^(2pi) lambda*omega*a^2 * B_0 (1+cos phi/2) dphi = lambda*omega*a^2 * B_0 * 2pi$

Qualcuno sa dirmi se sbaglio da qualche parte? Grazie in anticipo

[ingres]

Sommando (integrando) tutti i $dF$ si ammette implicitamente che abbiano tutti la stessa direzione e verso, ma in realtà, con il campo B diretto in direzione z e la corrente in direzione tangenziale, la forza $dF$ risultante sarà radiale e quindi varierà in direzione e verso lungo la spira.
Addirittura se B fosse costante, la forza risultante sarebbe nulla, in antitesi con il risultato ottenuto.

[spina3003]

Grazie ingres! Secondo delle soluzioni che ho a disposizione, dovrebbe rimanere solo la componente lungo x (quindi dovrei moltiplicare dF per $cos phi$), ma non riesco a capire "visivamente"... le componenti lungo y per un dato valore di x si annullano per simmetria, non capisco come si sommano quelle lungo x...

[ingres]

Poichè il campo B è più intenso per le x positive e meno intenso per le x negative, lo stesso varrà per le forze.
Questa dissimetria rende non nulla la forza totale lungo la direzione x.

Nell'integrale in pratica proiettando dF in direzione x si avrà un temine in $cos^2 phi$ che non si annulla integrando.