Spira che entra in un campo magnetico

[Smaarnau]

In un sistema di riferimento cartesiano, nel semipiano individuato dalla relazione X≥0, è presente il campo magnetico \(\displaystyle B(x) = B_z(x) K \), con \(\displaystyle B_z(x) = \frac {B_0 x}{r} \), dove \(\displaystyle B_0 = 1.76 Tesla \) e \(\displaystyle r=1.33m \). Una spira piana rigida di materiale conduttore di resistenza trascurabile, di forma quadrata con lato \(\displaystyle a = 0.714m \) e massa \(\displaystyle m=0.0201 Kg \) si muove di moto rettilineo uniforme con velocità \(\displaystyle v_0 = v_{0x} i \), con \(\displaystyle v_{0x} = 4.30m/s \), nel seminiamo XY, con X<0, mantenendo i lati paralleli agli assi X e Y. All'istante t=0 il lato della spira più vicino all'asse Y entra nel semipiano X>0. Assumendo che la spira abbia resistenza nulla e coefficiente di autoinduzione\(\displaystyle L = 1.98 Henry \), ed indicando con x la posizione del lato parallelo all'asse Y con coordinata X maggiore,

1) Calcolare l'intensità della corrente indotta sulla spira, in Ampere, per \(\displaystyle x = \frac a 2 \).
2) Calcolare la componente lungo l'asse x della forza magnetica, in Newton, che agisce sulla spira per \(\displaystyle x = \frac a 2 \).
3) Calcolare la velocità della spira, in m/s, quando essa si trova in X = a/2
4) Calcolare la velocità iniziale \(\displaystyle v_c \) minima, in m/s, che deve avere la spira per entrare completamente nel semipiano X>0, verificando che con i dati numerici assegnati questa condizione è soddisfatta.
5) Calcolare la penetrazione massima, in m, della spira nel semipiano X>0.

Domanda 1
Ho calcolato la corrente sfruttando la formula \(\displaystyle \phi (B) = L \cdot I \), ottenendo \(\displaystyle I = \frac {\phi (B)}{L} = \frac {B_0 \cdot a^3}{4 \cdot r \cdot L} = 0.0608A \),dove ho considerato X = a/2.
Il risultato del libro è 0.0304A, che corrisponde alla metà di quanto da me trovato.

Domanda 2
Utilizzando il valore della corrente pari a I = 0.0304 A ho trovato la forza magnetica sfruttando l'equazione \(\displaystyle F= - B \cdot I \cdot L = - \frac {B_0}{r} \cdot \frac a 2 \cdot a \cdot I = - 0.0103N \)

Domanda 3
Per trovare la velocità nel punto di coordinata X = a/2 ho utilizzato la formula \(\displaystyle v = v_0 - v_f \) con \(\displaystyle v_0 = 4.30 m/s \) e per quanto riguarda \(\displaystyle v_f \) l'ho trovata utilizzando la formula \(\displaystyle F = - B \cdot l \cdot v \), utilizzando il valore della forza trovato nel punto precedente e il valore del campo magnetico per x = a/2, ottenendo \(\displaystyle v = \frac {-F} {B(a/2) \cdot a} = 0.0304 m/s \).
Velocità della spira: \(\displaystyle v =( 4.30 - 0.0304)m/s = 4.27 m/s \). Risultato del libro: 4.29m/s.

Domanda 4 e Domanda 5
Non mi è chiaro come procedere

[ingres]

Domanda 1

$dPhi=B_0/r*s*a*ds$

Integrando tra 0 e x

$Phi = B_0/r*a*x^2/2$

dovendo essere

$(dPhi)/dt=L*(dI)/dt$

$I=Phi/L=B_0/r*a^3/(8L)$

[ingres]

Domanda 3
Il sistema è conservativo e pertanto l'energia cinetica persa deve finire come energia accumulata nell'induttore. Quindi

$1/2mv_0^2=1/2mv^2+1/2LI^2$

$v=sqrt(v_0^2-(LI^2)/m)$

Domanda 4 e 5
Sfrutta il la relazione precedente imponendo le condizioni adeguate.

[Smaarnau]

Grazie mille per l'aiuto!

Sfruttando l'equazione utilizzata nella domanda 3 ho risolto il punto 4 determinando la corrente indotta nel caso in cui la spira sia completamente contenuta nel semipiano X>0: \(\displaystyle I = \frac {B_0 \cdot a^3}{2r \cdot L} \) e poi sostituendo il valore trovato nell'espressione \(\displaystyle v_0 = \sqrt {0 + \frac {L \cdot I^2}{m}} \) dove ho considerato che dal momento che viene richiesta la velocità iniziale minima, la velocità finale è pari a zero.

Per quanto riguarda invece l'ultima domanda avevo pensato di considerare ancora una volta la velocità finale pari a zero e di scrivere la velocità iniziale massima (4.30 m/s) come \(\displaystyle 4.30 m/s = \sqrt {\frac L m} \cdot I \) con \(\displaystyle I = \frac {B_0 \cdot a \cdot x^2}{2r} \), dove l'unica incognita che abbiamo è la X.

[ingres]

Ottimo

Nota: ci manca una L al denominatore