Spira che cade in un campo magnetico
Ciao a tutti, supponiamo che una spira quadrata di lato $l$ giacente in $xy$ stia cadendo lungo $z$, in un campo$B=B_0(1+cz)e_z$. Ho trovato la fem indotta come $V(t)=B_0l^2cg t$, considerando la dipendenza di $z$ dal tempo come \(\displaystyle z(t)=-gt^2/2 \). Il verso della corrente: siccome il flusso del campo magnetico è positivo, perché diretto come la normale, la corrente deve generare un flusso opposto, cioè verso il basso, e quindi in questo caso è oraria. Corretto?
Tolto questo dubbio, ne ho un altro ben più grave. Mi si chiede la forza che agisce sulla spira. Ma dato che ogni lato subisce una forza uguale e opposta a quello ad esso parallelo, la forza magnetica totale è zero! E quindi l'unica forza che agisce sarebbe gravitazionale. Il problema è che come ultima richiesta mi si chiede risolvere l'equazione di moto della spira per tempi grandi. L'equazione di moto però se la forza è puramente gravitazionale è banale! Cosa sto errando?
Tolto questo dubbio, ne ho un altro ben più grave. Mi si chiede la forza che agisce sulla spira. Ma dato che ogni lato subisce una forza uguale e opposta a quello ad esso parallelo, la forza magnetica totale è zero! E quindi l'unica forza che agisce sarebbe gravitazionale. Il problema è che come ultima richiesta mi si chiede risolvere l'equazione di moto della spira per tempi grandi. L'equazione di moto però se la forza è puramente gravitazionale è banale! Cosa sto errando?
Risposte
"Nagato":
Ma dato che ogni lato subisce una forza uguale e opposta a quello ad esso parallelo, la forza magnetica totale è zero!
Cosa sto errando?
Le forze sul lato in alto e quello in basso non sono uguali perchè il campo $vec B$ varia con $z$
Ma la spira giace senza ruotare nel piano $xy$, quindi per ogni lato $z$ è costante...
"Nagato":
Ma la spira giace senza ruotare nel piano $xy$, quindi per ogni lato $z$ è costante...
Già, scusa, mi ero confuso. Però se è così le forze non si annullano affatto, sono dirette verso l'alto su tutti e quattro i lati.
Scusa, se prendo ad esempio il lato orizzontale in cui la corrente circola da sinistra a destra (verso positivo dell'asse $x$), la forza sarebbe \(\displaystyle \mathbf{F}=id\mathbf{l}\times\mathbf{B}\) e considerando solo le direzioni, quella di $F$ sarebbe \(\displaystyle \mathbf{e}_x\times\mathbf{e_z}=-\mathbf{e}_y \), che si annulla con quella che agisce sul lato opposto. O no?
Già, devo aver fatto ancora confusione. Però... ho ragionato diversamente, cioè, visto che nella spira circola corrente, questo non può essere che a spese dell'energia potenziale gravitazionale, quindi la spira DEVE subire un frenamento nella caduta, ci dev'essere una forza verso l'alto... E' anche chiaro che se il campo non dipendesse da z non ci sarebbe corrente, quindi la variazione con z è essenziale... proverò a pensarci meglio
E' un bel problemino...
Mi viene in mente che forse la soluzione sta nel fatto che un campo B diretto come z e con intensità dipendente da z non può esistere in quanto non ha divergenza zero. Bisogna che abbia componenti anche secondo x e y (ossia le linee devono convergere o divergere) cosi che le forze sulla spira hanno una componente lungo z
E' possibile vedere una IMMAGINE del testo completo?
Intendevo una foto del testo originale del problema, completa di eventuali immagini presenti nello stesso.
Quel disegno che hai postato è opera tua?
Quel disegno che hai postato è opera tua?
Yes 
comunque non ci sono foto originali, ma direi che non c'è molto altro che si può rappresentare...
comunque non ci sono foto originali, ma direi che non c'è molto altro che si può rappresentare...
Vuoi forse dirmi che è un testo che ti è stato "tramandato per via orale" e che l'unica informazione utile che ti è arrivata è che quella spira ha lato l e cade lungo z in quell'assurdo campo 
Ripensandoci, mi pare di aver avuto una idea buona.
Un campo $vec B$ fatto in quel modo non può esistere, il flusso attraverso un cilindro con asse parallelo a $z$ non è zero, come invece deve essere.
Ne segue che se il campo deve intensificarsi al crescere di $z$ le linee del campo devono concentrarsi e quindi non essere parallele a $z$, cosicchè la forza di Lorentz sui lati della spira avrà una componente diretta come $z$ che frena la caduta.
Forse il problema può essere risolto per altra via, da considerazioni energetiche, tenendo conto che il lavoro elettrico dissipato nella spira deve essere sottratto all'energia cinetica acquisita nella caduta, quindi, dando per buono il calcolo della f.e.m. e con un po' di salti mortali si dovrebbe poter arrivare - non io
- alle equazioni di moto
Un campo $vec B$ fatto in quel modo non può esistere, il flusso attraverso un cilindro con asse parallelo a $z$ non è zero, come invece deve essere.
Ne segue che se il campo deve intensificarsi al crescere di $z$ le linee del campo devono concentrarsi e quindi non essere parallele a $z$, cosicchè la forza di Lorentz sui lati della spira avrà una componente diretta come $z$ che frena la caduta.
Forse il problema può essere risolto per altra via, da considerazioni energetiche, tenendo conto che il lavoro elettrico dissipato nella spira deve essere sottratto all'energia cinetica acquisita nella caduta, quindi, dando per buono il calcolo della f.e.m. e con un po' di salti mortali si dovrebbe poter arrivare - non io
- alle equazioni di moto
Se, come sembra, quelli postati nel post iniziale, sono gli unici dati noti, vedo impossibile qualsiasi soluzione.
Non capisco però perché Nagato non intenda soddisfare le mia curiosità sul testo di questo problema.
Non capisco però perché Nagato non intenda soddisfare le mia curiosità sul testo di questo problema.
Allora... FORSE mi sono trovato ad affrontare una situazione identica un paio di mesi fa.
Una spira di massa e resistenza nota cade da altezza H parallela al piano orizzontale in un campo magnetico che cresce durante la caduta e che investe uniformemente tutta la spira.
Calcolare il tempo di caduta.
Come ha detto @mgrau, per la natura del magnetismo (che non ha sorgenti di campo), è impossibile una configurazione tale da far variare il campo solo nella direzione verticale.
Forse, però, ci sarà una maniera grossolana per ricreare una situazione simile.
Per esempio, nemmeno le masse magnetiche esistono, eppure se prendiamo due magneti lunghissimi e li avviciniamo, sembra che esistano i monopoli.
In ogni caso, come detto da @mgrau, tramite considerazioni energetiche il problema potrebbe essere risolto.
L'energia del circuito è $ E=VIt=(V^2t)/R=((partial phi )/(partial t)) ^2t/R=((partial B )/(partial t)) ^2S^2/Rt $ dove S=lato^2.
Questa energia non può essere creata dal nulla.
A "pagarla" è l'energia cinetica.
La somma fra energia cinetica ed energia del circuito è un valore costante pari all'energia potenziale iniziale, quando la spira è ferma e non circola corrente.
$ ((partial B )/(partial t)) ^2l^4/Rt+mv^2/2=mgH $
Se B=Bo-kh dove Bo è il campo iniziale e k è una costante di dimensione T/m...
$ ((partial (Bo-kh) )/(partial t)) ^2l^4/Rt+m/2((dh)/dt) ^2=mgH $
Questa equazione è risolutiva ma difficile da risolvere perchè personalmente non saprei esprimere h in funzione di t (mi ricorda il problema dei due corpi, di cui ho discusso su un post con @mgrau qualche giorno fa).
Quello che è sicuro è che nell'espressione di h compare l'accelerazione gravitazionale g.
Nel complesso, dato che non ci siano forze, come giustamente scritto da Nakato, il discorso risulta paradossale.
Una spira di massa e resistenza nota cade da altezza H parallela al piano orizzontale in un campo magnetico che cresce durante la caduta e che investe uniformemente tutta la spira.
Calcolare il tempo di caduta.
Come ha detto @mgrau, per la natura del magnetismo (che non ha sorgenti di campo), è impossibile una configurazione tale da far variare il campo solo nella direzione verticale.
Forse, però, ci sarà una maniera grossolana per ricreare una situazione simile.
Per esempio, nemmeno le masse magnetiche esistono, eppure se prendiamo due magneti lunghissimi e li avviciniamo, sembra che esistano i monopoli.
In ogni caso, come detto da @mgrau, tramite considerazioni energetiche il problema potrebbe essere risolto.
L'energia del circuito è $ E=VIt=(V^2t)/R=((partial phi )/(partial t)) ^2t/R=((partial B )/(partial t)) ^2S^2/Rt $ dove S=lato^2.
Questa energia non può essere creata dal nulla.
A "pagarla" è l'energia cinetica.
La somma fra energia cinetica ed energia del circuito è un valore costante pari all'energia potenziale iniziale, quando la spira è ferma e non circola corrente.
$ ((partial B )/(partial t)) ^2l^4/Rt+mv^2/2=mgH $
Se B=Bo-kh dove Bo è il campo iniziale e k è una costante di dimensione T/m...
$ ((partial (Bo-kh) )/(partial t)) ^2l^4/Rt+m/2((dh)/dt) ^2=mgH $
Questa equazione è risolutiva ma difficile da risolvere perchè personalmente non saprei esprimere h in funzione di t (mi ricorda il problema dei due corpi, di cui ho discusso su un post con @mgrau qualche giorno fa).
Quello che è sicuro è che nell'espressione di h compare l'accelerazione gravitazionale g.
Nel complesso, dato che non ci siano forze, come giustamente scritto da Nakato, il discorso risulta paradossale.
La resistenza della spira non la vedo fra i dati.
Se poi l’OP precisasse che il campo fornito non è B, ma solo Bz, ipotizzando una simmetria assiale, potremmo anche ricavarci la componente radiale di B dalla $\nabla \cdot \mathbf{B}=0$, ma se non c’è collaborazione, senza la sfera di cristallo, non si fa nulla.
Se poi l’OP precisasse che il campo fornito non è B, ma solo Bz, ipotizzando una simmetria assiale, potremmo anche ricavarci la componente radiale di B dalla $\nabla \cdot \mathbf{B}=0$, ma se non c’è collaborazione, senza la sfera di cristallo, non si fa nulla.
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