Spira a forma di triangolo rettangolo isoscele

[ludwigZero]

Salve
Non riesco a capire come funziona una spira a forma di triangolo rettangolo isocele e come applicare la formula di Biot-Savart:

[img]http://uploadpie.com/tefoZ[/img]

devo calcolare il campo di induzione magnetica nel punto P

Il modulo del campo è:
$B= \int (μ_0 I)/(4π) 1/r^2 sin⁡θ dr$

Ma non comprendo su che intervallo integrare
Volevo scrivere inoltre il $sin⁡θ$ in modo che dipendesse da $L$
Vorrei che qualcuno mi guidasse ...

Grazie

[chiaraotta1]

Per favore puoi mettere la figura?

[ludwigZero]

http://postimg.org/image/ge7autaob/

l'ho uppata qui, vedi se si riesce ad aprire

grazie

[anonymous_af8479]

Secondo me, è meglio calcolare i tre contributi di campo che in $P$ creano i tre conduttori che costituiscono il triangolo. Poi li sommi.

Per calcolare i singoli contributi passi dall'integrale indefinito:

$\int (a^2+y^2)^{-3/2}dy=\frac{y}{a^2 \sqrt{a^2+y^2}}+c$.

[ludwigZero]

Per te $a$ cosa sarebbe?

[anonymous_af8479]

Dimenticavo... è la distanza del punto dove misuri il campo dal conduttore.

[ludwigZero]

Poniamo il triangolo all'origine degli assi ...
$a$ prende tre valori: $L$ , $L$ , $sqrt(2) L$
perchè distanza dai vertici del triangolo a P... giusto?

Quindi il campo è somma di tre contributi di questa forma qui:
$B= (μ_0 I)/(4π) [ y/(a^2 sqrt(a^2 + y^2))] $

[bestboy81]

E' da parecchio che non faccio di queste cose quindi mi scuso se ci sono errori.
Come è stato detto in genere si procede calcolando i contributi di ogni singolo lato che compone la spira, eventualmente sfruttando le possibili simmetrie, e infine sommandoli. Nel nostro caso i tre fili contribuiscono con un vettore perpendicolare al piano dello schermo con verso uscente da esso. Per il modulo di ogni contributo Iniziamo con il calcolare il campo prodotto dal filo verticale.



Se consideriamo un pezzettino di filo dx il campo da esso generato sarà:

$B= (μ_0 i)/(4π) \sin\alpha/r^2dx$

da cui, integrando per tutta la lunghezza, il campo generato dal filo è:

$B= (μ_0 i)/(4π) \int_L \sin\alpha/r^2dx$

Adesso, con riferimento alla figura, possiamo fare delle sostituzioni che semplificano i calcoli dell'integrale.
Notiamo infatti che:

$\sin\alpha=\cos\theta$

$r=L/\cos\theta$

$x=L\tan\theta$

dall'ultima equazione, differenziando, otteniamo:

$dx=L/\cos^2\theta d\theta$

Adesso effettuando le sostituzioni e considerando i nuovi estremi di integrazione rispetto a $\theta$ otteniamo:

$B= (μ_0 i)/(4πL) \int_{0}^{\pi/4} \cos\theta d\theta=(μ_0 i \sqrt{2})/(8πL)$

Per il filo in posizione orizzontale la situazione è la stessa, quindi si ha lo stesso contributo. Mentre per il filo a 45° il procedimento si ripete perfettamente uguale, tranne per il fatto che questa volta la distanza del punto dal filo è $\sqrt{2}/2L$ e gli estremi di integrazione vanno da $-\pi/4$ a $\pi/4$, quindi alla fine avremo:

$B= (μ_0 i)/(4π(\sqrt{2}/2L)) \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \cos\theta d\theta=(μ_0 i)/(2πL)$

Il campo totale è:

$B=2(μ_0 i \sqrt{2})/(8πL)+(μ_0 i)/(2πL)=(μ_0 i \sqrt{2})/(4πL)+(μ_0 i)/(2πL)$

PS Avevo dimenticato un fattore $\sqrt{2}$ nel primo caso, adesso ho corretto.

[anonymous_af8479]

$L$ al denominatore? Vorrebbe dire che il campo diverge quando la lunghezza dei fili tende a zero...

[anonymous_af8479]

viewtopic.php?f=19&t=145715

[bestboy81]

Giusta osservazione. Infatti bisogna tenere conto che quello non è il risultato generale ma il risultato di questo particolare esercizio dove la distanza dal punto al filo è uguale alla lunghezza del filo. Ovviamente se L tende a zero anche il punto si avvicina sempre di più fino a coincidere con il filo.
Se vogliamo essere più generali possibili, cioè calcolare il campo di un filo di lunghezza $L$ su un punto P a distanza $d>0$ da esso e percorso da una corrente $i$ (dall'alto in basso) possiamo procedere con lo stesso ragionamento per ottenere un risultato generale.



Come al solito il campo generato dal filo è:

$ B= (μ_0 i)/(4π) \int_L \sin\alpha/r^2dx $

e dalla nuova figura, valgono le solite relazioni con l'opportuna modifica dei parametri, quindi:

$ \sin\alpha=\cos\theta $

$ r=d/\cos\theta $

$ x=d\tan\theta $

dall'ultima equazione, differenziando, otteniamo:

$ dx=d/\cos^2\theta d\theta $

Adesso facciamo le nostre sostituzioni, tenendo conto che stavolta non sappiamo l'angolo estremo di integrazione che chiamiamo $\theta_L$

$ B= (μ_0 i)/(4π) \int_{0}^{\theta_L} \cos\theta \cos^2\theta/d^2 d/\cos^2\theta d\theta =(μ_0 i )/(4πd) \int_{0}^{\theta_L} \cos\theta d\theta=(μ_0 i )/(4πd)\sin \theta_L$ (1)

Ora possiamo dire che:

$\sin\theta_L=L/\sqrt(L^2+d^2)$

da cui sostituendo in (1) otteniamo la formula generale (utile in tutti gli esercizi di questo tipo):

$B=(μ_0 i )/(4πd)L/\sqrt(L^2+d^2)$ (2)

Ora dalla (2):
1) se $L\rarr0$ allora $B\rarr0$;
2) se $L \rarr \infty $ allora $B=(μ_0 i )/(4πd)$. Da notare che se il filo si estende infinitamente in entrambe le direzioni, dato che bisogna considerare su P il contributo della parte superiore e quello della parte inferiore, per la formula precedente si ha: $B=2(μ_0 i )/(4πd)=(μ_0 i )/(2πd)$ che non è altro che la legge di Biot-Savart per il filo infinitamente lungo;
3) se $d=0$ allora il punto si trova sul filo e il discorso che abbiamo fatto non è più valido, ma in questo caso il calcolo è molto semplice (ma di poco interesse fisico) perchè il contributo di ogni singolo tratto di filo è nullo.